S´ eries de Dirichlet : une introduction

(1)

(2)

Table des mati` eres

S´eries de Dirichlet : une introduction 1

1. Séries de Dirichlet, l’exemple des séries de type zéta 1

2. L’abscisse de convergence simple 2

3. Les abscisses de convergence uniforme ou born´ee 8

4. L’abscisse de concergence absolue 9

5. S´eries de Dirichlet et convolution 11

Bibliographie 27

v

(3)

(4)

S´ eries de Dirichlet : une introduction

1. Séries de Dirichlet, l’exemple des séries de type zéta

Soit (an)_n≥1une suite de nombres complexes et (λn)_n≥1une suite de nombres positifs ou nuls strictement croissante. Unesérie de Dirichletde typeλ= (λn)_n≥1 (cette suite est dite suite des exposants) est une série S de fonctions entières du type

S=X

n≥1

a_ne^−λⁿ^z.

La suite des nombres complexes (an)_n≥1 est dite suite des coefficients de la s´erie de DirichletP

n≥1a_ne^−λⁿ^z.

Example1 (les séries de type zéta). Si la suite (λ_n)_n≥1est la suite (log(n))_n≥1 est si (a_n)_n≥1est une suite de nombres complexes arbitraire, la série de Dirichet

X

n≥1

a_ne^−(logⁿ⁾^z=X

n≥1

a_nn^−z

est ditesérie de Dirichlet de type zéta. On peut introduire (pour modifier la liste (an)_n≥1des coefficients) le groupe dual du groupe multiplicatif discret (Q^+∗,×). La donnée d’un homomorphisme$ : (Q^+∗,×)→(T,×) équivaut (d’après le théorème fondamental de l’arithmétique) à la donnée de la liste des nombres complexes de module un{$(pι) =eîθ^ι}ι, où{pι}ιdécrit la liste des nombres premiers{2,3, ...}; on pose en effet, étant donnée une telle suite infinie ($ι =eîθ^ι)ι de nombres complexes de module 1, pour toutx∈Q^+∗,

$(x) =Y

ι

$_ι^ν^x^(p^ι⁾,

où νx(pι)∈Z∪ {+∞}dénote la valuationp-adique dex(kxkp_ι=p^−νι ^x^(p^ι⁾), ce qui définit χ de manière unique. Le groupe (Q^+∗,×)^∗ s’identifie au groupe compact des caractères multiplicatifs χ : N^∗ → T, c’est-à-dire des applications χ de N^∗ dansTvérifiantχ(mn) =χ(m)χ(n) (on poseχ$(m) =Q

ι$ι^ν^m^(p^ι⁾, ce qui permet d’identifier $ au caractère χ$). Ce groupe dual (compact) est le polycercle unité (deC^{p^ι^}^ι) de Bohrque l’on noteraT^∞(on noteraD^∞le polydisque, ditpolydisque de Bohr, dont ce polycercle est la frontière de Shilov). Étant donné un pointχdu polycercle de Bohret une série de DirichletS=P

n≥1ann^−zde type zéta, on définit une nouvelle série de DirichletSχ de type zéta par

Sχ=X

n≥1

χ(n)ann^−z=X

n≥1

an

∞

Y

ι=1

p^−z_ι χ(pι)^νn(p_ι)

=X

n≥1

an

∞

Y

ι=1

knk^z_p_ι

χ(pι)^νn(p_ι)

.

1

(5)

La clause de multiplicativité imposée à χest importante : par exemple la série de Riemann alternée

X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹n^−z

ne s’exprime pas comme une sérieS_χ à partir de la série de RiemannP

n≥1n^−z: il faudrait trouver un caractèreχà valeurs dans{−1,1}tel queχ(n) = 1 sinest pair et χ(n) =−1 sinest impair ; or le produit de deux nombres impairs reste impair, tandis que (−1)×(−1) = 1. On peut envisager le pointχ du polydisque de Bohr sous l’angle stochastique : au lieu des nombres déterministes χ(p_ι) (coordonnées d’un point du polycercleT^∞ de Bohr), on peut envisager les coordonnéesχ(p_ι) de ce point comme des variables aléatoires χ_p₁,χ_p₂, ..., toutes définies sur le même espace de probabilité, à valeurs dansT=R/Z, mutuellement indépendantes.

Definition 2 (transformation de Mellin¹ d’une s´erie de Dirichlet). Soit une s´erie de DirichletP

n≥1ane^−λⁿ^z. Sa transformée de MellinM[f] est par définition la série de Dirichlet

M[f](z) =X

n≥1

ane^−e^λn^z.

Example3. La transformée de Mellin d’une série de Dirichlet de type zéta est une série de Dirichlet du type :

M X

n≥1

ann^−z

=X

n≥1

ane^−nz.

Il s’agit donc d’une série entière enw(de terme constant nul), dans laquelle on a opéré la substitution w=e^−z.

2. L’abscisse de convergence simple Soitf =P

n≥1a_ne^−λⁿ^z une série de Dirichlet. Dans cette section, nous nous intéressons à la description des ouverts maximaux de convergence pour la série de fonctionsP

n≥1a_ne^−λⁿ^z.

Pour les s´eries enti`eres, on rappelle le lemme fondamental d’Abel : Lemma4 (lemme d’Abel). SoitP

n≥0anzⁿ une série entière. Si cette série de fonctions P

n≥0anzⁿ converge en un point z0 du plan complexe, elle converge :

— simplement dans tout le disque ouvertD(0,|z₀|);

— uniform´ement dans tout compact K(z₀, κ) ={z∈C;|z−z₀| ≤κ

|z₀| − |z|

} (κ≥1) du disque ferm´e de centre0 et de rayon|z0|.

Démonstration. — La première assertion de ce lemme résulte du critère de Cauchy pour la convergence des séries entières : si

(1) R:= 1/lim sup

n→+∞

|a_n|^1/n∈[0,+∞],

1. On justifiera plus loin (`a la section 5.4) la relation avec la transformation de Mellinf → M[f] d´efinie formellement par

M[f] :λ7−→

Z

R^+∗

t^λ−1f(t)dt= Z

R^+∗

e^−λτf(e^−τ)dτ.

sif :R^+∗→Cdésigne une fonction numérique ; la fonction méromorphe Γ est par exemple la transformée de Mellin det∈R^+∗7−→e^−t.

(6)

2. L’ABSCISSE DE CONVERGENCE SIMPLE 3

la s´erie enti`ereP

n≥0anzⁿ converge pour toutz∈D(0, R) et diverge pour tout ztel que |z|> R.

— La seconde assertion de ce lemme résulte de la formule d’intégration par parties discrète (aussi appeléerègle d’Abel) :

Lemma 5 (formule d’int´egration par parties discr`ete). Soient(an)_n∈_N^∗ et (bn)_n∈_N^∗ deux suites de nombres complexes.

Posons ∀m, m⁰, p∈N^∗ tels quem≤petm < m⁰ : A_m,p=

p

X

n=m

a_n, S_m,m⁰ =

m⁰

X

n=m

a_nb_n Alors :

S_m,m⁰ =A_m,m⁰b_m⁰+

m⁰−1

X

n=m

A_m,n(b_n−b_n+1)

D´emonstration. Soient m et m⁰ des entiers naturels tels que l’on ait 1 ≤ m < m⁰. Remarquons que pour tout n dans [m, m⁰], on a an = A_m,n−A_m⁰_,n−1. On en d´eduit, au moyen d’un changement d’indexation :

Sm,m⁰ =

m⁰

X

n=m

(Am,n−A_m,n−1)bn=

m⁰

X

n=m

Am,nbn−

m⁰

X

n=m

A_m,n−1bn

=

m⁰−1

X

n=m

Am,nbn+Am,m⁰bm⁰ −

m⁰

X

n=m

Am,n−1bn

=Am,m⁰bm⁰+

m⁰−1

X

n=m

Am,nbn−

m⁰−1

X

n=m−1

Am,nbn+1

=Am,m⁰bm⁰+

m⁰−1

X

n=m

Am,n(bn−bn+1).

Pour prouver la seconde assertion, on factorise

anzⁿ=anzⁿ₀ ×(z/z0)ⁿ

et on valide le crit`ere de Cauchy uniforme pour la s´erie de fonctionsP

n≥0anzⁿ dans K(z0, κ) en exploitant préciément la règle d’intégration par parties d’Abel.

Le lemme d’Abel sur les séries entières est ainsi démontré.

Pour les s´eries de Dirichlet, ce lemme d’Abel 4 subsiste.

Lemma 6 (lemme d’Abel pour les s´eries de Dirichlet). Soit P

n≥1a_ne^−λⁿ^z une s´erie de Dirichlet. Si cette s´erie de fonctions converge simplement en un point z₀∈C, alors elle converge

— simplement dans tout le demi-plan{z∈C; Rez >Rez₀};

(7)

— uniform´ement dans tout secteur conique

Γ(z0, γ) ={z∈C;|z−z0| ≤γ(Re(z)−Re(z0)} (γ≥1).

Démonstration. La preuve est identique à celle du résultat dans le cadre des séries entières. On factorise

a_ne^−λⁿ^z=e^−λⁿ^(z−z⁰⁾×e^−λⁿ^z⁰

(lorsque la s´erie de DirichletS converge simplement en z0).

On introduit ainsi l’abscissexcde simple convergence d’une s´erie de Dirichlet. Cette abscisse est d´efinie par

(2) x_c:= inf{x∈R;X

n≥1

a_nxⁿ converge simplement} ∈[−∞,+∞].

Si xc < +∞, le demi-plan {z ∈ C; Rez > xc} est dit demi-plan de convergence (simple) de la s´erie de Dirichlet.

L’abscisse de convergence simplexcd’une série de Dirichlet se calcule via une paire de formules constituant le pendant de la règle de Cauchy (1) exprimant le rayon de convergence d’une série entière.

Theorem7 (r`egle de Cahen, 1894). SoitP

n≥1anzⁿune s´erie de Dirichlet. On dispose des deux r`egles suivantes permettant de calculer l’abscisse de convergence simple xc.

(1) Si

(3) lim sup

n→+∞

log|Pn k=1ak|

λ_n =l >0, alorsxc =l; sinonxc∈[−∞,0].

(2) Sixc<0 , on a

(4) xc= lim sup

n→+∞

log|P∞ k=n+1ak|

λ_n+1 .

Remarque8 (procédure de décision de Cahen). Le couplage de ces règles fournit (malheureusement seulement théoriquement) un procédé algorithmique pour calculer l’abscisse de convergence simple d’une série de Dirichlet . On commence par effectuer le premier test, à savoir calculer la limite supérieure (3). Si le nombre obtenu (dansR∪ {+∞}) est strictement positif, on obtient bien la valeurx_c. Sinon,

`

a condition toutefois que la s´erie num´erique P

k≥1ak soit convergente, on effectue le second test ; si le résultat de ce test donne une valeur strictement négative, alors la valeur retournée est bien celle de x_c; sinon, on peut en conclure que x_c = 0.

Reste le cas litigieux : celui où le premier test donne une valeur ≤0, mais où la série P

k≥1a_k diverge ; dans ce cas, il est impossible que x_c < 0 et l’on a donc xc= 0.

Remarque 9 (la formule de Kojima (1914)). Une autre version de la formule de Cahen a été proposée par Kojima. On a en fait la formule suivante

xc= lim sup

x→+∞

1 xlog

X

{k;E[x]≤λk≤x}

ak

.

Cette formule pourra s’av´erer utile.

(8)

preuve du premier volet. On suppose tout d’abordl ≤0. De par la d´efinition de lim sup, on a :∀ >0 ,∃n0 tel que ∀n≥n0on a :

1 λn

log

n

X

k=1

a_k

≤l+, c’est-`a-dire

n

X

k=1

a_k

≤e^λⁿ^(l+).

En prenant=−l/2>0, on a ainsi, pournassez grand,

n

X

k=1

ak

≤e^λⁿ^l/2

avecλnl/2<0 et limn→+∞λnl/2 =−∞, ce qui nous assure bien la convergence de la série de terme généralan, la somme de cette série valant 0. Ainsi on a convergence de la série de Dirichlet en 0, ce qui implique quex_c≤0.

On suppose maintenant que l≥0. On a toujours∀ >0 ,∃n0 tel que∀n≥n0 on a :

n

X

k=1

a_k

≤e^λⁿ^(l+).

Soitx >0 tel quex > l+ 2. Pourq≥p≥1 on a (grˆce au lemme d’Abel 5) :

q

X

k=p

ake^−λ^k^x=

q−1

X

k=p

Ak(e^−λ^k^x−e^−λ^k+1^x)−Ap−1e^−λ^p^x+Aqe^−λ^q^x

avecAk =

k

X

j=1

aj. Or pour p assez grand (p≥n0+ 1 ) on a∀k≥p−1 :

|Ak| ≤e^λ^k^(l+).

Ainsi cela nous permet de dire que pourpassez grand on a, pour toutq > p,

q

X

k=p

ake^−λ^k^x

≤

q−1

X

k=p

e^λ^k^(l+)(e^−λ^k^x−e^−λ^k+1^x) +e^λ^p−1^(l+)e^−λ^p^x+e^λ^q^(l+)e^−λ^q^x Or

x Z λ_k+1

λ_k

e^−txdt=e^−λ^k^x−e^−λ^k+1^x.

Ainsi on a, pourpassez grand (supérieur ou égal àn₀+ 1) etq > p,

q

X

k=p

ake^−λ^k^x

≤

q−1

X

k=p

e^λ^k^(l+) x

Z λ_k+1

λk

e^−txdt

+e^(l+)λ^p−1^−λ^p^x+e^(l+)λ^q^−λ^q^x, et donc :

q

X

k=p

ake^−λ^k^x

≤x

q−1

X

k=p

Z λ_k+1

λk

e^(l+−x)tdt+e^(l+)λ^p−1^−λ^p^x+e^(l+)λ^q^−λ^q^x.

(9)

Comme x > l+ 2 , on a l+−x < − , de plus λp−1 ≤ λp (car la suite est croissante), on obtient :

q

X

k=p

ake^−λ^k^x

≤x

q−1

X

k=p

Z λ_k+1

λ_k

e^−tdt+e^−λ^p+e^−λ^q.

Enfin, du fait quee^−λ^q≤e^−λ^pcarp≤qet (λn)n≥1croissante, on a, pourpassez grand :

∞

X

k=p

ake^−λ^k^x

≤x Z ∞

λ_p

e^−tdt+ 2e^−λ^p

Comme lim_n→∞λn= +∞on peut rendre le terme de droite aussi petit que l’on veut (en choisissantpassez grand, plus grand en tout cas que le premier choixp≥n0+1), et ainsi prouver que la série qu’on étudie est de Cauchy, donc convergente. Ainsi on a convergence de la série de Dirichlet enz=x+iy dès que x > l+ 2, ce pour tout >0, ce qui implique :

xc≤l.

Si en particulierl= 0, on a bienxc≤0.

On va d´esormais supposerl >0 et montrer quexc≥l. Pour cela on suppose quez0

est un point de partie réelle strictement positive où la série de Dirichlet converge.

On noteKun majorant des sommes partielles de cette s´erie convergente. On utilise encore une fois le lemme d’Abel :

n

X

k=1

a_k

=

n

X

k=1

a_ke^−λ^k^z⁰e^λ^k^z⁰

≤K

n

X

k=1

(e^λ^k+1^Re(z⁰⁾−e^λ^k^Re(z⁰⁾) +Ke^λⁿ^Re(z⁰⁾

= 2Ke^λⁿ^Re(z⁰⁾−Ke^λ¹^Re(z⁰⁾, d’o`u :

n

X

k=1

ak

≤2Ke^λⁿ^Re(z⁰⁾. Ainsi, de par la d´efinition del, on a :

l≤lim sup

n→∞

1 λn

log(2Ke^λⁿ^Re(z⁰⁾) = lim sup

n→∞

log

(2K)^λn¹ e^Re(z⁰⁾

.

Comme lim_n→∞λn= +∞, on a enfin que : l≤log

e^Re(z⁰⁾

= Re(z₀).

Ainsi, dès que la série de Dirichlet converge en un point d’abscisse strictement positive, l est inférieur ou égal à l’abscisse de ce point, ce qui par définition dexc

nous donne alorsl≤xc. Commexc≤l et quel≤xc, on a bienxc=l dans ce cas

(l >0).

preuve du second volet. On note l⁰= lim sup

n→+∞

log|P∞ k=n+1a_k| λn+1

.

(10)

Si l’on al⁰>0, on peut construire une sous suite d’entiers telle que log

∞

P

k=n_p+1

ak

λn_p+1

>l⁰ 2. Ceci implique

∞

X

k=n_p+1

a_k ≥e

l0 λnp+1

2 ,

et donc la série de Dirichlet diverge en 0 car son terme général ne tend pas vers 0.

On aurait doncxc>0, ce qui est contraire `a l’hypoth`ese.

Supposons que la s´erie de Dirichlet P

n≥1ane^−λⁿ^z converge en un point x0 réel strictement négatif. Ceci signifie que la série numérique P

n≥1ane^−λⁿ^z⁰ converge et en particulier que la suite de terme g´en´eral

r_n(x₀) =

∞

X

k=n+1

a_ke^−λ^k^z⁰

tend vers 0 lorsque ntend vers l’infini. Par cons´equent, pour passez grand, on a

|r_k(x₀)| ≤1 pour toutk≥p. On peut `a nouveau utiliser Abel et ´ecrire, siq > p,

q

X

k=p+1

a_k = (r_p(x₀)−r_p+1(x₀))e^λ^p+1^x⁰+· · ·+ (r_q−1(x₀)−r_q(x₀))e^λ^q^x⁰ =

=rp(x0)e^λ^p+1^z⁰−

q−1

P

k=p+1

rk(x0)(e^λ^k^x⁰−e^λ^k+1^x⁰)−rq(x0)e^λ^q^x⁰. On a donc l’estimation

∞

X

k=p+1

a_k

≤2e^λ^p+1^x⁰.

Ceci implique (en prenant le logarithme des deux membres) quel⁰ ≤x0. Ainsi on a toujoursl⁰≤xc lorsquexc ≤0.

Sixc <0, on a, d’après ce qui précède,l⁰<0. On se donnestrictement positif, tel quel⁰+ 2 reste strictement négatif et l’on considèrexde partie réelle strictement négative et au moins égale àl⁰+ 2. On a, pourpassez grand, pour toutk≥p,

∞

X

k+1

a_k

≤e^(l⁰^+)λ^k+1.

On noter_k =a_k+1+· · ·. On reprend la m´ethode d’Abel pour estimer, siq > p et pest assez grand

q

X

k=p+1

ake^−λ^k^x . On a

q

X

k=p+1

ake^−λ^k^x = (rp−rp+1)e^−λ^p+1^x+· · ·+ (r_q−1−rq)e^−λ^q^x=

=r_pe^−λ^p+1^x+

q−1

P

k=p+1

r_k(e^−λ^k+1^x−e^−λ^k^x)−r_qe^−λ^q^x.

(11)

Si l’on utilise l’estimationrk≤e^(l⁰^+)λ^k+1 pourk≥petpassez grand, on trouve

q

X

k=p+1

a_ke^−λ^k^x

≤e^−λ^p+1^(x−l⁰⁻⁾+x

k=q−1

P

k=p+1

e^(l⁰^+)λ^k+1Rλ_k+1

λk e^−txdt+e^λ^q+1^(l⁰^+)−λ^q^x

≤e^−λ^p+1^(x−l⁰⁻⁾+x

k=q−1

P

k=p+1

Rλk+1

λ_k e^−t(x−l⁰⁻⁾dt+e^−λ^q+1^(x−l⁰⁻⁾

≤e^−λ^p+1^x+xR∞

λp+1e^−tdt+e^−λ^q+1.

Lorsque p tend vers l’infini, cette quantité tend vers 0 et on a donc prouvé la convergence en x de la série de Dirichlet. Ceci nous prouve donc que l⁰ ≥ xc et

ach`eve la preuve.

Example 10 (application aux séries zéta). L’abscisse de convergence d’une série de type zéta

X

n≥1

χ(n)ann^−z

(où la suite (an)_n≥1 est dans `^p(N^∗) et χ est un point du polycercle T de Bohr) est inférieur ou égal à 1/q= 1−1/p. En effet, on observe en utilisant l’inégalité de Hölder que|Pn

k=1χ(k)a_k| ≤ kak_pn^1/q. On en d´eduit lim sup

n→+∞

log|Pn

k=1χ(k)ak| logn ≤1/q.

D’après le premier volet du théorème 7, on a donc bienx_c≤1/q.

3. Les abscisses de convergence uniforme ou born´ee

Après avoir introduit l’abscisse de convergence xc d’une série de Dirichlet, on introduit les abscissesxudite de convergence uniforme etxcde convergence bornée.

Definition11 (abscisses de convergence uniforme et de convergence born´ee). L’abscisse x_u de convergence uniforme de la s´erie de Dirichlet P

n≥1a_ne^−λⁿ^z est d´efinie comme

x_u:= inf

x∈R; X

n≥1

a_ne^−λⁿ^zconverge uniformément dans Π⁺_x ={z; Rez > x} . L’abscisse xb de convergence bornée² de la série de Dirichlet P

n≥1ane^−λⁿ^z est d´efinie comme

x_b:=

inf

x∈R;X

n≥1

a_ne^−λⁿ^zconverge dans Π⁺_x vers une fonction born´ee dans Π⁺_x . On a toujoursxc≤xb≤xu.

L’abscisse de convergence uniforme se calcule par une règle similaire à la règle de Cahen, sur laquelle on greffe une clause d’uniformité.

Proposition 1 (r`egle de Cahen pour l’abscisse de convergence uniforme). L’abscisse de convergence uniformexu se calcule suivant les deux r`egles suivantes :

2. Introduite par Bohr dans sa th`ese en 1905.

(12)

4. L’ABSCISSE DE CONCERGENCE ABSOLUE 9

— Si

lim sup

n→∞

logkPn

k=1a_ke^−iλ^k^θk_∞,_R_θ λn

=l >0, alorsxu=`; sinon xu∈[−∞,0].

— Sixu<0, on a

xu= lim sup

n→+∞

logkP

k≥n+1ake^−iλθk∞,Rθ

λ_n+1 .

On dispose aussi de la formule de Kunieda (1916), pendant de la formule de Ko- jima :

x_u= lim

x→+∞

1

xlogk X

{k; [x]≤λ_k≤x}

a_ke^−iλθk_∞,_R_θ.

Theorem 12 (Bohr). Pour une s´erie de Dirichlet P

n≥1ann^−z, les abscisses x_u etx_b co¨ıncident.

D´emonstration. (voir par exemple [Ort]). Il suffit de prouverxu≤xb. Sup- posons que la s´erie de Dirichlet P

n≥1ann^−z converge vers une fonction bornée dans un demi-plan droit Π⁺_x (ce qui équivaut à supposer x > xb). Un résultat de Balasubramanian, Calado, Queffélec (voir l’exemple 16 plus loin) assure que

sup

z∈Π⁺x

N

X

n=1

akk^−z

≤C log(N+ 1) sup

Π⁺_x

|f|

(avecCconstante absolue) sif désigne la somme de la série de Dirichlet. Pour tout >0 et pour toutN∈N, on écrit, si

SM(z) =

M

X

n=1

ann^−z (M ∈N^∗),

p+N

X

n=p+1

ann^−z−=

p+N−1

X

n=p+1

Sn(z)(n⁻−(n+ 1)⁻) +N⁻Sp+N(z).

Comme logN = o(N), le crit`ere de Cauchy uniforme est satisfait pour la s´erie P

n≥1a_nn^−z dans Π⁺_x+. On a donc x+≥x_u. Comme >0 est arbitraire, on a x≥xu. Ceci est vrai pour toutx > xb, doncxb≥xu.

4. L’abscisse de concergence absolue

C’est la plus grande de toutes les abscisses de convergence : on la d´efinit par x_a= inf{x∈R;

∞

X

n≥1

|an|e^−λⁿ^x<+∞}.

On note bien sˆur quex_a ≥x_b ≥x_u ≥x_c. Six > x_a, la somme de la s´erie de DirichletP

n≥1a_ne^−λⁿ^z est born´ee parP

n≥1|a_n|e^−λⁿ^x dans Π⁺_x.

Les abscisses xa et xc diffèrent en général, ce qui constitue un nouveau point où la théorie des séries entières et celle des séries de Dirichlet divergent. Par exemple, pour la série

X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹n^−z,

(13)

on observe quexc= 0 (d’après le critère de convergence des séries alternées) mais que xa = 1. Cependant, l’écart entre xa et xc se trouve toujours contrôlé par la proposition suivante.

Proposition 2. SoitP

n≥1ane^−λⁿ^z une s´erie de Dirichlet. Si l’on note µ= lim sup

n→∞

logn λn

alors xa −xc ≤ µ; en particulier, si µ = 0, comme c’est le cas pour les s´eries enti`eres, on a :

xa =xc.

Démonstration. On supposeµ fini (si µ = +∞ il n’y a rien à prouver car tout nombre réel ou éventuellement +∞, commex_a−x_c, est majoré par +∞). On a :

µ= lim sup

n→∞

logn λ_n = lim

n→∞sup

k≥n

logk

λ_k (par d´efinition de limsup ) Ainsi∀ >0 ,∃n₀∈Ntel que pourn≥n₀ on a :

sup

k≥n

logk λk

≤µ+

2 ( par d´efinition de la limite ).

Ainsi on a pour nassez grand (n≥n0) que logk ≤λk(µ+₂) pour tout k ≥n, c’est-`a-dire que l’on a en particulier pour toutk≥n₀ :

−λk(µ+)≤ −logkµ+

µ+₂ =−logk2(µ+) 2µ+ Soientz, z0∈Ctels que Re(z0)> xc et Re(z)>Re(z0) +µ+. On a, pour toutk≥1,

Or ake^−λ^k^z⁰ est le terme géneral d’une série convergente (car Re(z0)> xc) , donc cette suite converge vers 0, donc son module aussi converge vers 0, ce qui implique que la suite (|ake^−λ^k^z⁰|)_k≥n₀ est bornée.

Ainsi la série de terme générala_ke^−λ^k^zest une série absolument convergente, comme l’est la série de Riemann

∞

X

k=1

1 k^2(µ+)^2µ+

puisque

2(µ+) 2µ+ >1

Ceci est vrai pour tout z tel que Re(z)>Re(z₀) +µ+, ce pour tout z₀ tel que Re(z0)> xc et pour tout >0.

Ainsi on a bien absolue convergence enzdès que la partie réelle dezest strictement supérieure àx₀+µ. Ce qui, du fait de la définition dex_a, nous donne bien :

x_a≤µ+x_c.

(14)

5. S ´ERIES DE DIRICHLET ET CONVOLUTION 11

Example 13 (le cas des séries de type zéta). Pour une série de type zéta P

n≥1ann^−z, on axa−xc≤1. Cette inégalité est la meilleure possible en général comme le montre l’exemple de la sérieP

n≥1(−1)ⁿ⁻¹n^−z o`u xa= 1 etxc= 0.

L’abscisse de convergence absolue joue un rˆole de seuil important pour les sommes de Dirichlet de type z´eta. Soit P

n≥1a_nn^−z une telle série d’abcisse de convergence absoluexa≤xc+ 1 etχ= (eîθⁿ)_n∈N^∗∈T^∞. Sip= (pn)_n∈N^∗ désigne la liste des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant, il résulte du théorème de convergence dominée de Lebesgue que, pourx > xa, on a laformule d’Euler:

X

n≥1

a_nχ(n)n^−z= X

`∈N^(N^∗⁾

a_eh`,logpi

∞

Y

n=1

(p^−z_n e^iθⁿ)^`ⁿ o`uN⁽^N

∗)désigne l’ensemble des suites`= (`_n)_n∈_N^∗ d’éléments deNdont toutes les entrées sont nulles à partir d’un certain cran.

5. S´eries de Dirichlet et convolution

5.1. Une dernière abscisse : l’abscisse l’holomorphie. On peut introduire pour les séries de Dirichlet une dernière abscisse, la plus délicate à estimer, diteabscisse d’holomorphie. On met ici en évidence un point essentiel différentiant séries entières et séries de Dirichlet : du fait que le bord du disque de convergence D(0, R) d’une série entière est compact, il ne saurait exister (lorsque le rayon de convergenceR est fini) de possibilité de prolonger analytiquement la somme f de la série entière en une fonction holomorphe dans un domaine D(0, R)∪D(ζ, rζ) (avecrζ >0) pour chaque pointζ du cercle de rayonR. Au contraire, ceci s’avère possible pour la somme d’une série de Dirichlet : on verra par exemple, comme conséquence du théorème d’Hardy-Fekete (théorème 23, basé sur l’utilisation de la transformée de Mellin des séries de Dirichlet, voir la définition 2) que la fonction

z∈Π⁺₀ 7−→X

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹n^−z se prolonge en une fonction enti`ere (alors quex_c= 0).

Definition 14 (abscisse d’holomorphie). Si P

n≥1ane^−λⁿ^z est une série de Dirichlet telle quexc<+∞, on définit l’abcisse d’holomorphiexh comme la borne inférieure desx∈[−∞, xc] tels que la sommef de la série de Dirichlet dans Π⁺_x_cse prolonge en une fonction holomorphe dans Π⁺_x.

On dispose en ce qui concerne cette question d’abscisse d’holomorphie d’un concept plus pr´ecis, celui d’´etoile horizontale de Marcel Riesz:

Definition 15 (´etoile horizontale de Marcel Riesz). Soit P

n≥1a_ne^−λⁿ^z une s´erie de Dirichlet d’abscisse de convergence simple −∞ < xc < +∞. Pour tout τ ∈ R, on note xh(τ) l’abscisse du premier point singulier xn(τ) +iτ que l’on rencontre lorsque l’on essaye de prolonger analytiquement la somme f de la s´erie P

n≥1ane^−λⁿ^z depuis le demi-plan droit Π⁺_x_c le long de la demi-droite horizontale ]− ∞, xc] +iτ. L’´etoile horizontale de Marcel Riesz est le domaine simplement connexe

{σ+iτ; σ > xh(τ)}.

(15)

5.2. Transformation de Fourier et convolution verticale pour les sommes de séries de Dirichlet de type ζ. Soit Ψ une fonction intégrable surRet de spectre Φ à support compact.

Proposition 3 (représentation de Saksman des sommes partielles d’une série de type zéta, voir par exemple [QF2]). SoitP

n≥1a_nn^−z une série de type zéta et x > xb. Si Ψest une fonction intégrable sur Rde spectre Φà support compact, on a la formule

(5) ∀z∈Π⁺_x,

∞

X

n=1

anΦ(logn)n^−z= Z

R

f(z+it) Ψ(t)dt.

Démonstration. Le membre de gauche de cette formule se représente sous forme intégrale puisque

anΦ(logn)n^−z=an

Z

R

Ψ(t)n^−z−itdt.

Supposons que Rez > xa (on sait quexa−xc≤1, ce qui prouve que sixc<+∞, on a aussi x_a < +∞). Pour un tel z, on justifie grâce au théorème de Fubini l’interversion des intégrales dans

∞

X

n=1

an

Z

R

n^−z−itΨ(t)dt=

∞

X

n=1

anΦ(logn)n^−z

(la fonction Ψ est en effet int´egrable). On obtient la formule voulue pour un telz.

Cette formule reste valide pour tout x > xb puisque les deux membres d´efinissent

des fonctions dez holomorphes dans Π⁺_x.

Si l’on suppose quexb<0 (ce que l’on peut toujours supposer quitte `a modifier lesa_n), on obtient en prenant pour Ψ la fonction Ψ_λ=λΨ(λ(.)) la formule

N

X

n=1

a_nΦ(logn/λ)n^−z=λ Z

R

f(z+it) Ψ(λt)dt ∀z∈Π⁺₀ et par conséquent (siλ= logN) l’inégalité

N

X

n=1

anΦ(logn/logN) ≤sup

Π⁺₀

|f| kΨk1.

Example16 (l’inégalité de Balasubramanian-Calado-Queffelec).On peut prendre comme exemple de fonction Φ la fonction (N/2)χ_[−1,1]χ_[−1/N,1/N]. Le spectre de Φ est la fonction intégrable

t7→2Nsin(t)/t×2 sin(t/N).

On vérifie quekΦkb 1≤8 + 4N. Grâce à la formule d’inversion, on voit que Φ est le spectre d’une fonction Ψ telle quekΨk1≤(4+2N)/π. On obtient ainsi l’inégalité de Balasubramanian -Calado - Queffélec exploitée pour prouver le théorème de Bohr (xu=xb pour une telle série de Dirichlet), voir [QF2].

(16)

5.3. Transformation de Laplace et convolution circulaire pour les sommes de séries de Dirichlet. On considère dans cette section une série de Dirichlet P

n≥1ane^−λⁿ^z de sommef(z), d’abscisse de convergence xc <+∞. Ce n’est pas cette série de Dirichletf que nous allons tenter de représenter sous forme intégrale mais, comme dans la sous-section précédente, une version transforméefΦ

de la série de Dirichletf (on préserve les exposantsλn def, seuls les coefficients an def sont modifiés).

Pour effectuer cette transformation, on introduit cette fois une fonction Φ, enti`ere surC, telle que

∃B >0, t.q.∀ >0,∃C>0, |z|> C=⇒ |Φ(z)| ≤e^(B+)|z|

(la fonction Φ est dite de type exponentiel). Comme Φ est une fonction enti`ere, on peut ´ecrire :

Φ(z) =

∞

X

n=0

cnzⁿ, cn = Φ⁽ⁿ⁾(0)/n! ∀n∈N.

On se propose de calculer cette fois la transform´ee de Laplace de Φ_[0,∞[, d´efinie (pour l’instant formellement) par :

Laplace (Φ)(z) = Z ∞

0

Φ(t)e^−tzdt= Z ∞

0

X^∞

n=0

c_ntⁿ e^−tzdt lorsque Re (z)> B.

Commen¸cons par montrer que cette transform´ee de Laplace est vraiment d´efinie en un telz. On a

Z ∞

0

|Φ(t)| |e^−tz|dt= Z C

0

|Φ(t)| |e^−tz|dt+ Z ∞

C

e(B+−Re (z))tdt.

Si B +−Re (z) < 0, l’int´egrale ci-dessus est convergente. Comme > 0 est arbitraire, la fonction

z∈Π⁺_B 7−→

Z ∞

0

Φ(t)e^−tzdt

est définie et holomorphe. On peut ainsi intervertir série et intégrale (théorème de Fubini) pour obtenir, pour toutz∈Π⁺_B,

Laplace (Φ)(z) =

∞

X

n=0

Z ∞

0

cntⁿe^−tzdt=

∞

X

n=0

cn

Z ∞

0

tⁿe^−tzdt

=

∞

X

n=0

c_nn z

Z ∞

0

e^−tztⁿ⁻¹dt

(la dernière égalité correspond à une intégration par parties). On peut d’ailleurs répéter l’intégration par parties et obtenir ainsi par récurrence

∀z∈Π⁺_B, Laplace (Φ)(z) =

∞

X

n=0

c_nn!

zⁿ Z ∞

0

e^−tzdt=

∞

X

n=0

c_n n!

zⁿ⁺¹. On notera

∀z∈Π⁺_B, H(z) =

∞

X

n=0

c_n n!

zⁿ⁺¹ =

∞

X

n=0

Φ⁽ⁿ⁾(0) n!

zⁿ⁺¹.

(17)

Etant donn´´ ee la s´erie de Dirichletf(z) =P∞

n=1ane^−λⁿ^z d’abscisse de convergence xc <+∞ et une telle fonction entière Φ, on introduit la série de Dirichlet trans- formée fΦdéfinie par

fΦ(z) =

∞

X

n=1

anΦ(λn)e^−λⁿ^z.

On va désormais montrer un théorème de Cramer (que l’on généralisera ensuite à un théorème de Pólya-Cramer une fois introduit le concept de fonctionnelle analytique), nous donnant une représentation intégrale de la série de Dirichlet trans- formée f_Φ(permettant ultérieurement d’envisager éventuellement le prolongement analytique de cette série de DirichletfΦau dela de son demi-plan de convergence).

Theorem17 (théorème de Cramer). Soientf une série de Dirichlet d’abscisse de convergencexc<+∞etΦune fonction entière comme précédemment. La série de Dirichlet fΦ a aussi une abscisse de convergence Xc ≤ xc +B < +∞ et sa somme (notée aussifΦ) vérifie

∀z∈Π⁺_x

c+B, ∀r > B, fΦ(z) = 1 2iπ

Z

|ζ|=r

f(z−ζ)H(ζ)dζ, o`uH est la fonction holomorphe dansC\D(0, B)d´efinie par

H(z) =

∞

X

n=0

Φ⁽ⁿ⁾(0)

zⁿ⁺¹ si |z|> B.

Démonstration. On va tout d’abord montrer que la série de fonctions définis- santH(z) est bien normalement convergente sur domaine{|z|> B+ 3}pour tout >0, ce qui impliquera queH ainsi définie dans {|z|> B} est bien une fonction holomorphe.

Pour tout >0, on a, grâce aux inégalités de Cauchy

|Φ⁽ⁿ⁾(0)|

n! ≤ inf

r>C

e^r(B+) rⁿ . Or la fonctiong :r∈]0,∞[→ ê^r(B+)_rn a pour dérivée

r∈]0,∞[→ rⁿ⁻¹e^r(B+)

r²ⁿ (r(B+)−n)

et donc atteint son minimum lorsqueg⁰(r) = 0 ce qui ´equivaut `at=n/(B+). On a donc, pournassez grand (en fonction de)

|Φ⁽ⁿ⁾(0)|

n! ≤ inf

r>C

e^r(B+) rⁿ = inf

r>0

e^r(B+)

rⁿ =e(B+) n

n

. On va montrer que pournassez grand (d´ependant encore de ), on a

e(B+) n

ⁿ

≤(B+ 2)ⁿ n! .

Pour cela on utilise la formule de Stirling, nous donnant une ´equivalence de n! en +∞:

n!∼n→∞

n e

ⁿ√ 2πn.

Ainsi on obtient que

e(B+) n

n

∼_n→∞(B+)ⁿ

√2nπ n! .

(18)

Or, commeB+ 2 > B+, on a pournassez grand (d´ependant toujours de) : (B+)ⁿ√

2πn≤(B+ 2)ⁿ et donc

e(B+) n

ⁿ

≤(B+ 2)ⁿ n! .

En revenant à notre inégalité on obtient pournassez grand (disonsn > N())

|Φ⁽ⁿ⁾(0)|

n! ≤ (B+ 2)ⁿ n!

et donc

∞

X

n=N()

Φ⁽ⁿ⁾(0) zⁿ⁺¹

≤

∞

X

n=N()

(B+ 2)ⁿ zⁿ⁺¹

.

Or la série du second membre converge normalement dans{|z|> B+ 3}, ce pour tout > 0. La série de fonctions définissant H converge donc vers une fonction holomorpheH dans{|z|> B}.

Soit z ∈ C et r > B. On a alors (grâce à la convergence normale de la série de fonctions définissantH sur le cercle de rayonr) :

1 2iπ

Z

|ζ|=r

e^zζH(ζ)dζ = 1 2iπ

∞

X

n=0

Z

|ζ|=r

Φ⁽ⁿ⁾(0) e^zζ ζⁿ⁺¹dζ

= 1

2iπ

∞

X

n=0

Φ⁽ⁿ⁾(0) Z

|ζ|=r

e^zζ ζⁿ⁺¹dζ.

On calcule maintenant, pourn∈N: I_n =

Z

|ζ|=r

e^zζ ζⁿ⁺¹dζ=

Z 2π

0

e^zRe^iθ

(e^iθ)ⁿ⁺¹(ire^iθ)dθ= Z 2π

0

ie^rze^iθ rⁿe^niθdθ.

Comme la série entière définissant l’exponentielle converge normalement sur le cercle de rayonr|z|, et que l’on on a

ie^rze^iθ rⁿe^niθ =i

∞

X

k=0

r^k−nz^k

k!e^iθ(k−n) ∀θ∈[0,2π]

et, pour toutn6=k, Z 2π

0

e^iθ(k−n)dθ=

e^iθ(k−n) i(k−n)

^2π

0

= 0, on en d´eduit que :

In=i Z 2π

0

h r^n−kzⁿ

n!e^iθ(n−k)i

k=ndθ=i Z 2π

0

zⁿ

n!dθ= 2iπzⁿ

n! ∀n≥0.

En reportant ce r´esultat on obtient finalement, pour toutz∈C, 1

2iπ Z

|ζ|=r

e^zζH(ζ)dζ = 1 2iπ

∞

X

n=0

Φ⁽ⁿ⁾(0) 2iπzⁿ n! =

∞

X

n=0

Φ⁽ⁿ⁾(0)zⁿ

n! = Φ(z)

(19)

(On obtient ici une formule réalisant l’inversion de la transformée de Laplace ex- plicitée plus haut). On remarque ainsi que pour toutN ∈N^∗ :

1 2iπ

Z

|ζ|=r

X^N

n=1

a_ne^−λⁿ^(z−ζ⁾

H(ζ)dζ = 1 2iπ

N

X

n=1

Z

|ζ|=r

a_ne^−λⁿ^(z−ζ))H(ζ)dζ

= 1

2iπ

k

X

n=1

ane^−λⁿ^z Z

|ζ|=r

e^λⁿ^ζH(ζ)dζ

=

N

X

n=1

ane^−λⁿ^zΦ(λn).

On a par hypoth`eses queP

n≥1ane^−λⁿ^zconverge uniformément dansD(z, r) pourvu que l’on ait Re (z)> xc+rcarD(z, r) est alors un compact du demi-plan de convergence simple de la série de Dirichletf ce qui implique dans ce compact la convergence uniforme de cette série de Dirichletf. Ainsi, en fixant un telzde partie réelle strictement supérieure àxc+r,ζ→P

n≥1ane^−λⁿ^(z−ζ)converge versζ→f(z−ζ) uniformément sur{|ζ|=r}. On peut donc prendre la limite lorsqueN →+∞dans la dernière égalité obtenue en préservant cette égalité afin d’obtenir :

∞

X

n=1

a_nΦ(λ_n)e^−λⁿ^z= 1 2iπ

Z

|ζ|=r

∞

X

n=1

a_ne^−λⁿ^(z−ζ)H(ζ)dζ= 1 2iπ

Z

|ζ|=r

f(z−ζ)H(ζ)dζ.

Ceci prouve la convergence simple au pointz de la série de Dirichlet transformée fΦ (et explicite sous forme intégrale l’expression de la somme de cette série de DirichletfΦen un tel pointzde partie réelle strictement supérieure àxc+r). Ceci

´

etant applicable pour toutr > B on a bienXc≤xc+B et la formule voulue pour l’expression de la sommeF defΦau pointztel que Re (z)> xc+B.

Remarque 18. Grâce à la représentation de la somme f_Φ de la série de Di- richlet P

n≥1ane^−λⁿ^z sous forme intégrale (on reconnait d’ailleurs l’opération de convolution), on voit que l’on peut éventuellement prolonger f_Φ en une fonction holomorphe sur un domaine plus large que celui du théorème (à savoir le demi-plan Π⁺_x

c+B), ce en étudiant de près les singularités de la fonction H figurant dans le noyau intégrant, ainsi que le domaine maximal d’holomorphie def. Voir l’exemple ci-dessous.

Example 19. On prend Φ(z) = cos(Bz), avec B > 0, et on v´erifie qu’elle respecte bien les hypoth`eses : comme |cosz| ≤ e^|z|, elle respecte les conditions.

Calculons alors la fonctionH.

cos(Bz) =

∞

X

n=0

(−1)ⁿB²ⁿ (2n)! z²ⁿ.