Cours de TS 1 IRIS TS-1-IRIS.tex
R´ evisions : Alg` ebre ´ el´ ementaire
1) Th´eor`eme fondamental de la factorisation.
Soit un polynˆome de degr´en:
P(x) =anxn+an−1xn−1+ . . . +a2x2+a1x+a0 Th´eor`eme : S’il existe une valeur α telle que P(α) = 0
Alors, P(x) se factorise en un produit de (x−α) par un polynˆome de degr´e n−1.
P(x) = (x−α)×(bn−1xn−1+ . . . +b1x+b0) 2) L’´equation du second degr´e.
On associe au polynˆome du second degr´e P(x) =a x2+b x+c (a#= 0) l’´equation suivante : a x2+b x+c = 0
a) Existence des solutions, somme et produit des racines.
Si cette ´equation a une solutionα, alors, elle a obligatoirement une seconde solution β Les solutions de a x2+b x+c = 0 v´erifient
α+β = −b a α×β = c
a b) R´esolution g´en´erale.
Soit le discriminant de l’´equation : ∆ =b2−4ac
Si ∆>0 alors α= −b+√
∆
2a et β = −b−√
∆ 2a Si ∆ = 0 alors α=β = −b
2a
Si ∆<0 alors α et β n’existent pas dans R c) Formes canoniques factoris´ees des polynˆomes qui s’annulent pour α etβ
x2−S x+P = (x−α) (x−β) avec :
% α+β = S α×β = P
a x2+b x+c = a(x−α) (x−β) avec :
α+β = −b a α×β = c
a 3) Cons´equences
Dans R un polynˆome de degr´e n peut se d´ecomposer en au plus n facteurs du premier degr´e.
Il peut cependant y avoir moins de facteurs du premier degr´e et la factorisation peut contenir des polynˆomes du second degr´e non factorisables (avec ∆<0).
Dans C un polynˆome de degr´e n se d´ecompose toujours en un produit de n facteurs du premier degr´e.
♣♦♥♠ 1 LATEX
