R´ evisions du programme de seconde

(1)

R´ evisions du programme de seconde

Voici les principaux chapitres ´etudi´es en seconde :

D´eveloppement

Factorisation

La proportionnalit´e (et %)

Pythagore

Thal`es

Mise en ´equation de probl`emes

Systèmes linéaires d’équations

In´equations

Syst`emes d’in´equations

Valeurs absolues

Etude de fonctions

Ensemble de d´efinition

Parit´e

Tableau de variation

Repr´esentation graphique

Substitution

G´eom´etrie

Les vecteurs

Sym´etries, translations, rotations

G´eom´etrie dans l’espace

Orthogonalit´e dans l’espace

Aires et volumes

Trigonom´etrie

Fonctions circulaires

Cercle trigonom´etrique

Mesures d’angles orient´es

Statistiques

Exercice 1

Ecrire plus simplement A8

3 5 8

4 9 B

42 5

2 15 C

42 3 5 D

2 5

7 4 2 3

2 5

Exercice 2

ABCD est un trap`eze. En centim`etres on a AB = 12, CD = 5 et IJ = 3.

(2)

1.A l’aide du théorème de Thalès expliquer pourquoi OI

OJ

OD OA et OD

OA

CD AB . 2.Notons OI = x. D´eduire de1.que x

x 3 5 12. 3.Calculer l’aire du triangle OCD.

Exercice 3

Une balle de tennis est lˆach´ee de la hauteur h d’un balcon. A chaque rebond, elle remonte aux3

4 de la hauteur atteinte au rebond pr´ec´edent.

1.Exprimer, en fonction de h, la hauteur atteinte au deuxième rebond, puis au troisième, puis au quatrième.

2.Supposons qu’en m`etres : h = 5.

Donner des valeurs approchées, arrondies au centimètre, des hauteurs trouvées au1..

Exercice 4 1.Exprimer

?

32 et

?

72 en fonction de

?

2 . 2.Ecrire plus simplement 5´

?

2

?

32

?

72.

Exercice 5

Factoriser chacune de ces ´ecritures : 1.(2x + 3)(x -5) - (2x + 3)(2x - 1) 2.81x²- 64

3.9x² + 12x + 4

4.(x + 4)² - 2(x + 4)(6 - x)

Exercice 6

R´esoudre les ´equations : 1.2^px3^q3

2x 74

1 8x 1

4

0 2. 3

4^p2x^q1

2^p6x 1^q 2 15 4 x0 3. 3x 1

x2 4

Exercice 7

Est-il possible de trouver trois naturels impairs cons´ecutifs dont la somme soit 99 ?

Exercice 8

Résoudre les systèmes d’inéquations 1.

"

2x3^¡5x1 x 4^¥3x2 2.585x11

3 3.

"

2x3^¡x 1 3x1^¤2x 7 4.4^¡83x^¡10

Exercice 9

Résoudre l’équation et l’inéquation :

(3)

|x - 3^|= 4

|x + 2^| 3

Exercice 10

R´esoudre l’in´equation x² ^¤5

Exercice 11

Une plaque m´etallique rectangulaire a pour dimensions en centim`etres : L 4,5 et l2,3.

Ces mesures ont été faites à 0,01 cm près avec un pied à coulisse.

1.Donner un encadrement de l, puis de L.

2.En d´eduire un encadrement de l’aire S de cette plaque m´etallique.

3.Traduire cet encadrement par une approximation de S.

Exercice 12

Deux r´eels ont pour somme 25 et pour diff´erence 5

2 . Quels sont ces deux r´eels ?

Exercice 13

Une fabrique de meubles utilise deux types de bois : du châtaignier et du merisier. Elle possède un stock de 60m³ de merisier et 40m³ de châtaignier. Voici les quantités de bois, en mètres cubes qui entrent dans la fabrication d’un lit et d’une armoire :

Chˆataignier Merisier

Lit 0,20 0,15

Armoire 0,10 0,20

Combien de lits et d’armoires peut fabriquer cette usine en utilisant tout le stock dont elle dispose ?

Exercice 14

En automobile, si je roule à 60 km/h, j’arrive à 13h ; mais si je roule à 80 km/h, j’arrive à 11h.

Quelle distance ai-je à parcourir et à quelle heure suis-je parti ? Indication :noter d la distance à parcourir et t l’heure de départ.

Exercice 15

Un malade est remboursé à 70% par la Sécurité Sociale. S’il a payé 40AC , combien reste-t-il à sa charge ?

Exercice 16

Un projectile est lancé à partir du sol à un instant pris comme origine. On note h(t) sa hauteur (en mètres)

`a l’instant t (en secondes).

Les physiciens estiment que l’on a, a tout instant t : h(t) = -5t² + 100t .

1.A quel instant le projectile retombera-t-il au sol ?`

2.D´emontrer que la fonction h est strictement croissante sur [0 ; 10] et strictement d´ecroissante sur [10 ; 20].

3.Quelle hauteur maximale a atteint le projectile ?

Exercice 17

Etudier compl`etement les deux fonctions´ x^ÞÑx² etx^ÞÑ^?x.

(4)

Exercice 18

1.Avec l’aide de la calculatrice, tabuler sur l’intervalle [-7 ; 7] avec le pas h=0,5 la fonction f :t^ÞÑ 1

t²2 . Placer les points correspondants dans un rep`ere orthonormal.

2.Pour avoir l’allure de la courbe repr´esentative de la fonction f, peut-on relier les point obtenus sans autre forme de proc`es ?

Exercice 19

Dans une ville, il n’y a que deux lyc´ees.

1.Dans l’un, il y a 80% de gar¸cons et dans l’autre 40%.

Peut-on affirmer que le nombre de gar¸cons de cette ville, allant au lycée, est supérieur au nombre de filles ? 2.Dans chacun des lycées de cette ville, le pourcentage des gar¸cons est supérieur à celui des filles.

Peut-on affirmer que le nombre de gar¸cons de cette ville, allant au lyc´ee, est sup´erieur au nombre de filles ?

Exercice 20

C est un cercle de centre O, [AB] est l’un de ses diam`etres. La m´ediatrice de [OB] coupe le cercle en C et D.

1.Pourquoi le triangle OBD a-t-il tous ses côtés de même longueur ? 2.Quelle est la mesure de l’angle ODA ?

Exercice 21

On a (RS) // (MN).

Calculer OM et RS

Exercice 22

ABC est un triangle équilatéral de côté 8cm. Calculer la longueur de l’une de ses hauteurs.

Exercice 23

Simplifier l’´ecriture des vecteurs :

~

u^ÝM A^Ý^Ñ^ÝM B^Ý^Ñ^ÝAB^Ý^Ñ

~

v^ÝAB^Ý^Ñ^ÝAC^Ñ ^ÝDC^Ý^Ñ^ÝDB^Ý^Ñ

Exercice 24

A,B,C,D sont quatre points.

1.Construire le point M tel que :

ÝÝÑ

AM ^ÝAB^Ý^Ñ ^ÝAC^Ñ^ÝBC^Ý^Ñ

2.Construire le point N tel que :

ÝÝÑ

AN ^ÝAB^Ý^Ñ^ÝAC^Ñ ^ÝAD^Ý^Ñ 3.D´emontrer que

ÝÝÑ

N M ^ÝAC^Ñ ^ÝDB^Ý^Ñ

(5)

Exercice 25

Dans un rep`ere, on donne les points : A (2 ; 3) et C (-1 ; 0).

Trouver une ´equation de la droite (AC).

Exercice 26

Dans un repère, la droite d a pour équation cartésienne : 2x - y + 1 = 0

Trouver une équation cartésienne de la droite d’ qui est parallèle à d et qui passe par le point B (3 ; 2).

Exercice 27

Le triangle ABC est-il rectangle ? A(-1 ; 3), B(-2 ; -1), C(8 ; 1).

Exercice 28

Un prisme droit a un volume de 36 cm³ et l’aire de son polygone de base est 12cm². Calculer la hauteur de ce prisme.

Exercice 29

Calculer l’aire de la surface latérale d’un cône de révolution dont la hauteur a pour longueur 4 m et dont le disque de base a un rayon de 2,5m.

(6)

Correction

Exercice 1 A205 B 7263 C 2

3 D93

52

Exercice 2

1.Dans les triangles ODI et OAJ, (DI) // (AJ) Donc le théorème de Thalès donne : OI

OJ

OD OA Dans les triangles ODC et OAB, (DC) // (AB) Donc le théorème de Thalès donne : OD

OA

CD AB 2.Par transitivit´e, on peut conclure de1.que OI/OJ = CD/AB

OI = x.

OJ = OI + IJ = x + 3.

CD = 5 AB = 12 On a donc x

x 3 5 12 3.AOCD = CDOI / 2 AOCD= 5x / 2

D’apr`es2.On a 12x = 5(x+3) et donc x=15/7 AOCD= 75 / 14

(AOCD 5,36)

Exercice 3

1.Premier rebond = 3/4 h

Deuxième rebond : 3/4(3/4 h) = 9/16 h Troisième rebond : 3/4(9/16 h) = 27/64 h Quatrième rebond : 3/4(27/64 h) = 81/256 h 2.Premier rebond = 3,75

Deuxième rebond : 3/4(3/4 h) 2,81 Troisième rebond : 3/4(9/16 h) 2,11 Quatrième rebond : 3/4(27/64 h)1,58

Exercice 4 1.

?

32

?

1624

?

2

?

72

?

3626

?

2 2.5

?

2

?

32

?

72

5

?

2 4

?

26

?

2

3

?

2

Exercice 5

1.(2x + 3)(x -5) - (2x + 3)(2x - 1) = (2x + 3) (-x - 4) 2.81x²- 64 = (9x + 8)(9x - 8)

(7)

3.9x² + 12x + 4 = (3x+2)²

4.(x +4)² - 2(x + 4)(6 - x) = (x + 4)(3x - 8)

Exercice 6 1.2^px3^q3

2x 74

1 8x 1

4

0 2x63

2x 71

2x10 66

Cette relation est toujours vraie, et ne d´epend pas de la variablex.

SR 2. 3

4^p2x^q1

2^p6x 1^q 2 15 4 x0 6

4 d³₄x3xd¹₂ 2 d¹⁵₄x0 30

Encore une fois, l’équation ne dépend pas de la variablex, or le résultat est incohérent, on en conclue que : S^H

3. 3x 1 x2 4 3x 14^px2^q 3x 14x8

x=9

Exercice 7

Soit n le premier naturel impair. Donc n=2p+1 On cherche `a r´esoudre :

2p + 1 + 2p + 3 + 2p + 5 = 99 p = 15

Donc les trois impairs consécutifs 31,33,35 ont leur somme égal à 99.

Exercice 9 1.^|x3^|4 On a soit :x34 x7 soit :x34 x1

Donc : S= -1 ;7 2.[/num]^|x2^|3

3x23

3 2x2 23 2

1x5 S=]-1 ;5[

Exercice 10 x² ^¤5

?

5^¤x^¤

?

5

Exercice 11 1.2,29l2,31

(8)

4,49L4,51 2.10,28S 10,42 3.S10,35

Exercice 12

On nomme xety les deux réels, ils doivent vérifier le système qui suit :

#

x y25 xy 5

En résolvant le système d’équations par substitution, on obtient :2

$

'

&

'

%

x55 4 y 45

4

Exercice 14

Pour cet exercice, il faut utiliser la formule :

v d

t , avecv la vitesse,dla distance et tle temps.

On adopte également la nomenclature proposée en indication, c’est à dire que t est en réalité le point de départ. On a deux situations décrites, on les interprête mathématiquement :

60 d

13t 60^p13t^qd

78060tdainsi que : 80 d 11t 80^p11t^qd

88080td

Pour déterminer d et t, on doit résoudre le système suivant :

"

88080td 78060td

Après avoir utilisé la méthode de substitution (cas trivial ici), on trouves :

"

t5h d480km

Conclusion : J’ai parcouru 480 km, en partant `a 5 h du matin.

Exercice 15

Le malade est remboursé à 70%, il aura donc a payer uniquement 30% des soins qui lui sont prescrits. Ici les soins s’élèvent à 40 euros, il devra donc payer :

30

100 4012 euros

Exercice 16

1.Le projectile retombera au sol, au moment o`u h(t) = 0, en d’autres termes, on doit r´esoudre : 100t5t²0

5t²100t t²20t t20

==^¡le projectile retombera `a l’instant t=20 secondes.

2.Pour étudier la variation d’une fonction f , on étudie le signe de f(a)-f(b) : On considère premièrement a=0 et b=10 :

f(a)-f(b)

(9)

f(0)-f(10) = 0-500 = -5000

On en d´eduit quef est croissante sur [0 ;10], `a valeur sur [10 ;20], en effet : f(10)-f(20) = 500-0 = 500^¡0

f est d´ecroissante sur [10 ;20].

3.Le sens de variation nous révèle que f est majorée en x=10 , c’est à dire que c’est le point le plus haut de la courbe , par conséquent à l’instant t=10, la hauteur maximale sera de 500 m.

Exercice 19

1. On ne peut pas affirmer que le nombre de gar¸con sera plus conséquent, dans la mesure où le pourcentage ne nous révèle pas la quantité dont il traite. Les 40% de gar¸cons d’un des lycées qui peut-être bien plus grand que l’autre, ne permet pas de conclure, il faudrait avoir le nombre d’élèves que cela engage.

2.En revanche ici, si les deux pourcentages indiquent une majorit´e de gar¸cons, alorson peut en conclure qu’il y a plus de gar¸cons de la ville qui font au lyc´ee que de filles.

Exercice 20

1. OB=OD(rayons du cercle), et D est sur la médiatrice de [OB], il est donc équidistant de O et B, par conséquent OD=DB. On aOB=OD=DB, donc le triangle OBD est équilatéral.

2.ABD est un triangle rectangle en D, puisqu’il est incrit dans un demi-cercle. On sais queODB^{60 donc :

ODA{BDA^{ODB^{ ODA{9060 ODA{ 30

Exercice 21

(RS)//(MN) , on peut appliquer le théorème de Thalès : RS

MN

RO

OM

SO RS ON

3.8 2.5

OM

2

Par simple produit en croix on obtient :4

OM=5 RS=1.9

Exercice 22

ABC est équilatéral, avec AB = BC = AC = 8cm . La nature du triangle possède une des propriété suivante :

”La hauteur d’un triangle équilatéral correspond également à sa médiatrice, sa médiane et sa bissectrice”.

On nomme H le projeté orthogonal de A sur [BC], celui-ci se situe sur m[BC] , donc HC=4 cm et AC=8cm ,or AHC est rectangle, on lui applique le théorème de pythagore :

AH² HC²AC² AH²AC²HC² AH²8²4² AH²6416 AH²48

AH=

?

484

?

3

Exercice 23

En utilisant la relation de Chasles :

~

u^ÝMA^Ý^Ñ^ÝMB^Ý^Ñ^ÝAB^Ñ

~

u^ÝMA^Ý^Ñ ^ÝBM^Ý^Ñ ^ÝBA^Ñ

~

u2^ÝBA^Ñ

~

v^ÝAB^Ñ^ÝAC^Ñ ^ÝDC^Ñ^ÝDB^Ñ

~

v^ÝAD^Ñ ^ÝDA^Ñ

(10)

~ v~0

Exercice 24

ÝÝÑ

AM^ÝAB^Ñ ^ÝAC^Ñ^ÝBC^Ñ

ÝÝÑ

AM2^ÝAB^Ñ

ÝÑ

AN^ÝAB^Ñ^ÝAC^Ñ ^ÝAD^Ñ

ÝÑ

AN^ÝAB^Ñ ^ÝCD^Ñ

ÝÝÑ

NM^ÝAC^Ñ^ÝAB^Ñ^ÝAD^Ñ 2^ÝAB^Ñ

ÝÝÑ

NM^ÝAC^Ñ^ÝAD^Ñ ^ÝAB^Ñ

ÝÝÑ

NM=^ÝAC+^Ñ ^ÝDB^Ñ

Exercice 25 A^p2; 3^q C^p1; 0^q

On sait qu’une droite dans le plan se caract´erise par :yax b, avecale coefficient directeur etbl’ordonn´ee

`

a l’origine, on remplace respectivement l’abscisse (x) et l’ordonnée (y) des points données (leurs coordonnées) ainsi :

"

32a b 0a b

Après résolution du système par subsititution, on obtient a = 1 et b=1 , l’équation de la droite (AC) est donc :

y=x+1

Exercice 26

Soit d la droite d’équation :y2x 1 . On souhaite déterminer l’équation d’une droite d’ , parallèle à d et passant par un point B de coordonnées (3 ;2) . Cette droite d’ aura lemême coefficient directeur que d (parallélisme), il ne reste plus qu’à trouver b, ce qui est relativement facile, on remplace tout bonnement les coordonnées b dans y=ax+b en sachant que a = 2 soit :

223 b b4

On en conclut que : (d’) : y2x4

Exercice 27

A^p1; 3^q;B^p2;1^q;C^p8; 1^q

On calcule les diff´erentes longueurs qui composent le triangle ABC :

AB

a

pXbXa^q2

pYbYa^q2

AB

a

p2 1^q² ^p13^q²

AB

?

17

BC

?

104

AC

?

85

On applique la réciproque du théorème de pythagore : AB² AC²102

BC²104

AB² AC²BC²

On en conclut que le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exercice 28

Le volume du prisme droit est de 36cm³, et sa base `a une surface de 12cm². Or Volume = BaseHauteur: 12h36

h 36 12 h=3 cm.