Probl`emes de
G´eom´etrie R´ecr´eative
S´electionn´es par Jacques Duma
I Un Parall´ elogramme
On consid`ere le parall´elogrammeABCD et I le milieu deAB.
Cette configuration partage le parall´elogramme ABCD en 4 zones disjointes dont une a pour surface 5, comme on le voit sur la figure ci-dessous :
I B
C D
A
5
Quelles sont les surfaces des 3 zones restantes ?
II Deux Parall´ elogrammes
On consid`ere les deux parall´elogrammes entrelac´es ABDC et ABED et leurs diagonales AE et BC.
Cette configuration partage le quadrilat`ere ABEC en 8 zones disjointes dont une a pour surface 2, comme on le voit sur la figure ci-dessous :
D C
A B
E
2
Quelles sont les surfaces des 7 zones restantes ?
III Cercles Tangents ` a un Triangle Rectangle
Soit un triangle rectangle dont les cˆot´es de l’angle droit ont pour mesure 3 et 4.
A l’int´erieur de ce triangle rectangle, deux cercles de mˆeme rayon sont tangents entre eux` ext´erieurement, et tangents chacun `a deux des cˆot´es du triangle.
Quelle sont les mesures possibles de leur rayons ? Une solution totalement graphique est possible . . .
IV Cube D´ emontable
Le cube d´emontable, pr´esent´e ci-dessous, est constitu´e de deux pi`eces de bois pleines de couleurs diff´erentes emboˆıt´ees l’une au dessus de l’autre.
Si l’on retourne le cube, on constate que les quatre faces lat´erales sont identiques !
Pouvez-vous dessiner les deux pi`eces s´epar´ement ?
V Quadrilat` ere Central
On consid`ere un quadrilat`ereABCD quelconque.
A
B
C
D E
A!
L
F
B!
G
H
C!
I
J D!
K
Chaque cˆot´e est coup´e en trois parties ´egales :
AE =EF =F B BG=GH =HC CI =IJ =JD DK =KL=LA
Quelles est l’aire du quadrilat`ere A!B!C!D! central
exprim´ee en fonction de l’aire du quadrilat`ere ABCD de d´epart ?
VI Triangle Rectangle Minimum
On consid`ere un carr´e unitaire OIΩJ et le triangle rectangleOAB tel que : – le pointA est sur la droite OI
– le pointB est sur la droite OJ – les points A, Ω et B sont align´es
O I
J Ω
A B
Comment placer A et B pour que l’aire du triangle OAB soit minimum ? Il existe une solution g´eom´etrique, purement graphique . . .
VII Sph` ere Perc´ ee
Une sph`ere est perc´ee d’un trou cylindrique dont l’axe est un axe de la sph`ere.
La hauteur du trou est 1.
1
VIII Trisection du Demi-Cercle
Voici comment les bˆatisseurs de cath´edrales effectuaient un partage du demi-cercle en trois arcs identiques :
– on construit un triangles ´equilat´eral ABC sur le diam`etre BC du demi-cercle – on partageBC en trois segments ´egauxBB!, B!C! et C!C
– on traceAB! qui coupe le demi-cercle enB!! etAC! qui coupe le demi-cercle enC!!
A
B C
B! B!!
C! C!!
• O
Cette construction est-elle exacte ?
IX Pentagone Heptagone
Un Pentagone et un Heptagone r´eguliers sont contenus dans des anneaux d´elimit´es par les cercles inscrits et circonscrits `a chaque polygone. Les deux anneaux ont la mˆeme aire.
Montrer que Pentagone et Heptagone ont des cˆot´es de mˆeme longueur ?
X Triangle Coup´ e en Quatre
Dans un triangleABC, le pointM est sur AB et le pointN surBC. Le triangle ABC est ainsi partag´e en quatre parties (un quadrilat`ere et trois triangles).
Trois de ces quatre parties ont la mˆeme air e x.
A
B
C M
N
Quelle est l’aire x en fonction de celle du triangle ABC?
XI Arcs et Cercles Tangents
Dans cette figure carr´ee, sym´etrique par rapport `a son centre, arcs et cercles sont tangents.
XII Trouvez les Angles
A•
B• α C•
50˚30˚
D•
60˚ 20˚
•E β F•
•G Quels sont les angles
α
etβ
?XIII Plus Court Chemin ?
ABC est un triangle ´equilat´eral inscrit dans un cercle de centre O.
P est un point quelconque du petit arc BC, celui qui ne contient pasA.
+O
•P A
B C
On compare la longueur AP avec la somme des longueurs BP et CP.
Quel est le Plus Court Chemin ?