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I Un Parall´ elogramme

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Probl`emes de

G´eom´etrie R´ecr´eative

S´electionn´es par Jacques Duma

(2)

I Un Parall´ elogramme

On consid`ere le parall´elogrammeABCD et I le milieu deAB.

Cette configuration partage le parall´elogramme ABCD en 4 zones disjointes dont une a pour surface 5, comme on le voit sur la figure ci-dessous :

I B

C D

A

5

Quelles sont les surfaces des 3 zones restantes ?

II Deux Parall´ elogrammes

On consid`ere les deux parall´elogrammes entrelac´es ABDC et ABED et leurs diagonales AE et BC.

Cette configuration partage le quadrilat`ere ABEC en 8 zones disjointes dont une a pour surface 2, comme on le voit sur la figure ci-dessous :

D C

A B

E

2

Quelles sont les surfaces des 7 zones restantes ?

(3)

III Cercles Tangents ` a un Triangle Rectangle

Soit un triangle rectangle dont les cˆot´es de l’angle droit ont pour mesure 3 et 4.

A l’int´erieur de ce triangle rectangle, deux cercles de mˆeme rayon sont tangents entre eux` ext´erieurement, et tangents chacun `a deux des cˆot´es du triangle.

Quelle sont les mesures possibles de leur rayons ? Une solution totalement graphique est possible . . .

IV Cube D´ emontable

Le cube d´emontable, pr´esent´e ci-dessous, est constitu´e de deux pi`eces de bois pleines de couleurs diff´erentes emboˆıt´ees l’une au dessus de l’autre.

Si l’on retourne le cube, on constate que les quatre faces lat´erales sont identiques !

Pouvez-vous dessiner les deux pi`eces s´epar´ement ?

(4)

V Quadrilat` ere Central

On consid`ere un quadrilat`ereABCD quelconque.

A

B

C

D E

A!

L

F

B!

G

H

C!

I

J D!

K

Chaque cˆot´e est coup´e en trois parties ´egales :

AE =EF =F B BG=GH =HC CI =IJ =JD DK =KL=LA

Quelles est l’aire du quadrilat`ere A!B!C!D! central

exprim´ee en fonction de l’aire du quadrilat`ere ABCD de d´epart ?

(5)

VI Triangle Rectangle Minimum

On consid`ere un carr´e unitaire OIΩJ et le triangle rectangleOAB tel que : – le pointA est sur la droite OI

– le pointB est sur la droite OJ – les points A, Ω et B sont align´es

O I

J

A B

Comment placer A et B pour que l’aire du triangle OAB soit minimum ? Il existe une solution g´eom´etrique, purement graphique . . .

VII Sph` ere Perc´ ee

Une sph`ere est perc´ee d’un trou cylindrique dont l’axe est un axe de la sph`ere.

La hauteur du trou est 1.

1

(6)

VIII Trisection du Demi-Cercle

Voici comment les bˆatisseurs de cath´edrales effectuaient un partage du demi-cercle en trois arcs identiques :

– on construit un triangles ´equilat´eral ABC sur le diam`etre BC du demi-cercle – on partageBC en trois segments ´egauxBB!, B!C! et C!C

– on traceAB! qui coupe le demi-cercle enB!! etAC! qui coupe le demi-cercle enC!!

A

B C

B! B!!

C! C!!

O

Cette construction est-elle exacte ?

IX Pentagone Heptagone

Un Pentagone et un Heptagone r´eguliers sont contenus dans des anneaux d´elimit´es par les cercles inscrits et circonscrits `a chaque polygone. Les deux anneaux ont la mˆeme aire.

Montrer que Pentagone et Heptagone ont des cˆot´es de mˆeme longueur ?

(7)

X Triangle Coup´ e en Quatre

Dans un triangleABC, le pointM est sur AB et le pointN surBC. Le triangle ABC est ainsi partag´e en quatre parties (un quadrilat`ere et trois triangles).

Trois de ces quatre parties ont la mˆeme air e x.

A

B

C M

N

Quelle est l’aire x en fonction de celle du triangle ABC?

XI Arcs et Cercles Tangents

Dans cette figure carr´ee, sym´etrique par rapport `a son centre, arcs et cercles sont tangents.

(8)

XII Trouvez les Angles

A•

B• α C•

50˚30˚

D•

60˚ 20˚

•E β F•

•G Quels sont les angles

α

et

β

?

XIII Plus Court Chemin ?

ABC est un triangle ´equilat´eral inscrit dans un cercle de centre O.

P est un point quelconque du petit arc BC, celui qui ne contient pasA.

+O

•P A

B C

On compare la longueur AP avec la somme des longueurs BP et CP.

Quel est le Plus Court Chemin ?

AP

ou

BP + CP

?

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