le 16 Novembre 2004 UTBM
MT11
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Questions de cours) - 5 points Les r´esultats suivants sont-ils justes ? i)∀n ∈N,∃a∈R,∀q ∈Q, n=aq.
Si oui, justifier, sinon, donner la n´egation de la proposition.
[ cette proposition est fausse. Sa n´egation est : ∃n ∈N,∀a ∈R,∃q ∈Q, n 6=
aq.]
ii) Sur Z, la relationR d´efinie par aRb ⇐⇒”a−b est multiple de 5” est une relation d’´equivalence.
Justifier votre r´eponse.
[ cette proposition est vraie car la relation est reflexive (a−a = 0 multiple de 5), sym´etrique (si a−b est multiple de 5 alors b−a l’est aussi) et transitive (si a−b est multiple de 5 et b−c est multiple de 5 alorsa−c = (a−b) + (b−c) est multiple de 5).]
iii) Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites num´eriques r´eelles avec ∀n ∈ N, vn 6= 0. Si la suite (uvnn)n∈N converge vers l6= 0 alors (un)n∈N et (vn)n∈N convergent vers un r´eel.
Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.
[ cette proposition est fausse. Exemple : un =n+ 1 et vn = n+ 1 alors les deux suite ne convergent pas vers un reel et le quotient converge vers 1.]
iv) Pourx∈R, on note E(x)∈N, la partie enti`ere dex (E(x) = max{n∈N/n≤x}).
Si (un)n∈N converge vers l alors (E(un))n∈N converge vers E(l).
Si oui, justifier, sinon, donner un contre-exemple.
[ cette proposition est fausse. Exemple :un = 1−n+11 alors la suite tend vers 1 mais pour tout n∈ N, E(un) = 0, donc (E(un)) converge vers 0 6= E(1).]
v) Il existe A, B ∈ M3(R) avec A6= 0M3(R) et B 6= 0M3(R) tels que A.B = 0M3(R). Si oui, donner un exemple, sinon, justifier.
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[ cette proposition est vraie. Exemple :
A=
1 0 0 0 0 0 0 0 0
, B =
0 0 0 1 0 0 0 0 0
,
alors A.B = 0.]
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 5 points Soit l’application
f : R3 −→ R2
V =
x y z
7→ f(V) =
µx+ 2.y 3.z
¶
1) Cette application est-elle injective ? surjective ?
[ Cette application n’est pas injective car f(
2 0 1
) = f(
0 1 1
). Cette appli-
cation est surjective car ∀a, b∈ R, f(
a 0b 3
) = µa
b
¶
? ] 2) Quelle est l’ensemble E0 des ant´ec´edents de 0 par f?
[ E0 = {
x y z
∈R3/f(
x y z
) =
µx+ 2.y 3.z
¶
= µ0
0
¶ }
={
−2.y y z
, y, z ∈ R}.]
3) Montrer queE0 est un sous-groupe de (R3,+).
[ On va montrer que E0 est un sous groupe de (R3,+).
(i)
0 0 0
∈E0;
(ii) Soit
2.y y z
∈E0 alors −
2.y y z
=
2.(−y)
−y
−z
∈E0;
(iii) Soit
2.y1 y1 z1
,
2.y2 y2 z2
∈ E0 alors
2.y1 y1 z1
+
2.y2 y2 z2
=
2.(y1 +y2) y1+y2 z1+z2
∈
E0.
Donc E0 est un sous groupe de (R3,+)].
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Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 10 points Soit la matrice, pour n∈N∗
An=
µcos(2.πn ) −sin(2.πn ) sin(2.πn ) cos(2.πn )
¶
et l’application
fAn : µR2 −→ R2 x
y
¶
7→ An. µ x
y
¶
I - Etude de A5
1 - Quelle est l’application gn : C −→ C correspondant `a fAn quand on associe `a µ a
b
¶
∈R2 son affixe a+i.b∈C?
Quelle est l’interpr´etation g´eom´etrique de cette application ? [ On v´erifie facilement que cette application correspond `a
gn : C −→ C
x+iy 7→ ei2n:.(x+iy)
G´eom´etriquement cette application est donc une rotation d’angle 2n.]
2 - On fixe n = 5. En d´eduire, sans calculs, l’inverse de la matrice A5. Expliquer.
[ L’inverse de l’application correspond donc `a une rotation d’angle −25, donc l’inverse de A5 est A51 =
µ cos(25:) sin(25:)
−sin(25:) cos(2:5 )
¶ .]
3 - D´eduire de 1) A55 et A45+A35+A25+A5 (indication : factoriser, grˆace `a sa racine r´eelle, le polynˆome X5−1). En d´eduire, sans calculs, l’inverse de A35+A25+A5+I2 .
[(ei2:5 )5 = 1 donc A55 = I2. Donc (A5)5 −1 = 0, or X5 −1 = (X −1)(x4 + X3+X2+X + 1) d’o`u A45+A35+A25 +A5 =−I2. On en d´eduit que l’inverse de A35 +A25+A5 +I2 est −A5.]
II - Etude de An et Ann 1
Soit E un ensemble. Pour f :E −→E, on note fn l’application f ◦f◦...◦f (n fois).
1 - Pour z ∈C fix´e, donner la limite pour n tendant vers +∞ de gn(z) et gnn−1(z).
[(gn(z) = e2ni.z) qui converge vers z et (gnn 1(z) = e2i(nn 1).z) qui converge
´
egalement vers z.]
2 - Quelle est la convergence, coefficients par coefficients, des suite de matrices(An)n∈N∗ et (Ann−1)n∈N∗.
[On d´eduit directement de la question pr´ec´edente que (An)n2N et (Ann 1)n2N
convergent vers I2.]
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