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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Lauzeral, J. (1996). Structures dissipatives en physique des matériaux: anisotropie, dérive, localisation (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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Structures dissipatives en physique des matériaux: anisotropie, dérive, localisation
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade scientifique de Docteur en Sciences Physiques
* Jacques Lauzeral Novembre 1996
Université Libre de ®’
0031G0540
Table des matières
I ntroduction 5
1 Rappels: structures spatiales hors d’équilibre 7
1.1 Instabilités linéaires... 7
1.2 Equations d’amplitudes... 10
1.2.1 L’équation des rouleaux ou des bandes... 10
1.2.2 Structures multi-modales... 13
1.3 Dynamique de phase... 15
1.3.1 Elimination adiabatique... 15
1.3.2 Expansion en gradients... 17
1.4 Rôle des défauts... 18
1.4.1 Mouvements de fronts... 18
1.4.2 Activation des transitions au coeur des défauts... 19
1.4.3 Défauts et turbulence de phase ... 20
1.5 Equation de type paramètre d’ordre... 20
1.5.1 Le modèle de Swift et Hohenberg... 20
1.5.2 Diagramme de stabilité du modèle de Haken... 21
1.5.3 Observations numériques... 23
1.6 Conclusions... 26
2 Effets d’anisotropie. 27 2.1 L’instabilité EHD... 27
2.1.1 Observations expérimentales... 29
2.1.2 L’expérience réalisée par Joëts et Ribotta... 30
2.1.3 Principe de l’instabilité: l’interprétation de Helfrich... 32
1
2.3.2 Rouleaux obliques... 43
2.3.3 Structures bimodales... 44
2.4 Résultats numériques... 47
2.4.1 Stabilité intrinsèque des structures ... 47
2.4.2 Rampe en e... 48
2.4.3 Systèmes trempés... ... . 48
2.5 Conclusions... 50
3 Structures de défauts dans les matériaux irradiés. 53 3.1 Production de défauts par irradiation... 55
3.1.1 Paires de Frenkel... 55
3.1.2 Déplacements en cascade... 56
3.2 Vers une description macroscopique... . 57
3.2.1 Diffusion des défauts ponctuels... 57
3.2.2 Absorption biaisée des défauts ponctuels... 58
3.2.3 Dynamique des défauts spatialement étendus... 58
3.3 Analyse du modèle... 60
3.3.1 Le modèle adimentionalisé... 60
3.3.2 Distribution homogène... 60
3.3.3 Stabilité de la distribution homogène... 61
3.3.4 Evolution temporelle de la courbe de dispersion... 63
3.4 Résultats numériques... 66
3.4.1 Sélection de longueur d’onde à une dimension... 66
3.4.2 Effets d’anisotropie à deux dimensions... 70
3.5 Conclusions... 73
Table des matières 3
4 Irradiation Laser de Films Minces 75
4.1 Introduction... 75
4.2 Modélisation en termes de couplage densité de défauts - déformation... 76
4.2.1 Instabilités de ”Génération-Difîusion-Déformation” ... 76
4.2.2 Equations de "Génération-Diffusion”... 77
4.2.3 Equation de déformation d’un film mince... 78
4.3 Irradiation uniforme ... 78
4.3.1 Ecriture d’un modèle à 3 variables... 79
4.3.2 Analyse de stabilité linéaire... 80
4.3.3 Equation de paramètre d’ordre ... 81
4.3.4 Sélection de structures... 83
4.3.5 Intégrations numériques... 85
4.4 Irradiation localisée... 88
4.4.1 Les équations avec dépendance radiale... 88
4.4.2 Analyse de stabilité qualitative... 89
4.4.3 Analyse en modes de Bessel... 92
4.4.4 Résultats numériques... 95
4.5 Conclusions... 95
5 inthèse et perspectives 99 A Equations de phase 101 A.l Diffusion de phase dans les structures hexagonales... 101
A.2 Equation de phase des rouleaux dans Proctor-Sivashinsky anisotrope . . . 103
Introduction
L’interaction permanente, au cours de ces 25 dernières années, entre travaux théoriques, résultats expérimentaux et analyses numériques est à l’origine de progrès considérables dans l’étude des systèmes hors d’équilibre.
Du point de vue théorique, l’introduction du concept de structure dissipative a permis la description et l’interprétation de phénomènes d’auto-organisation variés; ondes spirales en chimie, agrégation de micro-organismes en biologie, rouleaux convectifs en hydrody
namique. .. Dans ce contexte, l’éloignement de l’équilibre thermique, la présence de fluc
tuations, les non-linéarités de la dynamique, sont les fondements de l’apparition d’ordre à échelle macroscopique. Le développement de la théorie des bifurcations, de méthodes de dérivation d’équations d’amplitudes et d’équations de phase qui gouvernent l’évolution des variables sur de grandes échelles de temps et d’espace, permettent désormais de bonnes descriptions des comportements dans le domaine faiblement non-linéaire.
Du côté expérimental, des avancées significatives dans la précision des résultats ont été réalisées grâce au développement récent de techniques telles que vélocimétrie laser, traitement d’image, contrôle des expériences assisté par ordinateur... On a pu ainsi franchir le pas du qualitatif au quantitatif. De plus, l’utilisation de nouveaux disposi
tifs expérimentaux (instabilités dans les cristaux liquides) ont rendu possible l’étude de systèmes de très grands rapports d’aspect.
Enfin les capacités de calcul des ordinateurs actuels permettent l’étude de systèmes étendus à deux voire trois dimensions sou forme de simulations (Monte-Carlo, automates cellulaires) ou sous forme d’intégrations numériques d’équations aux dérivées partielles.
Si durant les premiers temps, l’essentiel des travaux ont eu trait à l’hydrodynamique et à la chimie de non-équilibre, un intérêt croissant lié aux structures dissipatives est apparu dans de nombreux autres domaines de la physique: optique non-linéaire, physique des solides, étude des milieux granulaires... En particuliers, les matériaux soumis à des contraintes extérieures, déformation, irradiation, ..., présentent tout une gamme de phénomènes d’auto-organisation, qui sont il faut bien dire, pour la plupart fort indési
rables. La formation de structures de dislocations peut par exemple conduire à la rupture du matériau au sein duquel elles apparaissent. Le contrôle de tels phénomènes d’auto
organisation passe nécessairement par la connaissance et la compréhension des mécanismes qui les génèrent.
5
Nous proposons au cours du troisième chapitre une description en termes de modèle réaction-diffusion des micro-structures de défauts fréquemment observées dans les maté
riaux irradiés. Les effets d’anisotropie sur la diffusion des atomes intersticiels sont pris en compte.
Le quatrième chapitre est consacré à l’étude du comportément de films minces sous
irradiation laser de forte intensité. Les cas d’irradiations uniforme et localisée sont traités.
Chapitre 1
Rappels: structures spatiales hors d’équilibre
1.1 Instabilités linéaires
Dans l’expérience de Rayleigh-Bénard, une couche de fluide est maintenue entre deux plaques horizontales. Si les deux plaques sont à la même température, le système se trouve dans un état d’équilibre qui se traduit par l’uniformité horizontale (on dira {x, y)) des variables physiques: température, pression, vitesse de convection nulle. Lorsque la température de la plaque inférieure est augmentée faiblement, le système s’écarte progres
sivement de l’équilibre, cependant l’invariance translationnelle (x, y) de la température et de la pression ainsi que l’absence de convection demeurent jusqu’à une certaine valeur ATc, différence de température critique. Au-delà de ce seuil, des rouleaux convectifs de longueur d’onde macroscopique se forment, brisant ainsi l’uniformité spatiale ( æ , y) du système. Ce scénario est observé lorsque l’approximation de Boussinesq est valide, c’est à dire lorsque les paramètres du fluide tels que coefficients de transport, viscosité, sont indépendants de la température. Quand cette hypothèse n’est pas vérifiée, des struc
tures convectives hexagonales peuvent apparaître en premier lieu. Nous reviendrons sur la nature de la bifurcation dans ce cas.
Ecrivons les équations d’un système dynamique supposé de taille infinie sous la forme
dtUi = F,{{Uj},V,R) (1.1)
où le vecteur Ui représente l’ensemble des variables du système, R est le paramètre de contrôle, c’est-à-dire celui parmi les paramètres Ri, R2, ...décrivant les contraintes extérieures qui est modifié par l’expérimentateur, la différence de température AT dans l’expérience de Rayleigh-Bénard par exemple. Les Fi sont des fonctions non-linéaires qui régissent la dynamique des variables physiques.
Soit Ui une solution stationnaire uniforme du sytème (1.1), la question posée est de savoir si pour une valeur donnée du paramètre de contrôle R, l’état est stable ou
7
éléments Lij, en raison de l’isotropie du système considéré, ne sont fonction que de Passant dans l’espace de Fourier, l’équation (1.2) se récrit
dtûi{q, t) = R)ùi{q, t) (1.3)
La diagonalisation de la matrice L permet d’obtenir l’ensemble des valeurs propres cri(ç^) du système linéaire et d’écrire la dynamique des vecteurs propres associés:
û(7i(ç^^) = ùa,(9^0)e‘"’‘
Lorsque la contrainte extérieure est faible, disons R petit, les parties réelles de toutes les valeurs propres sont négatives et l’état Uf est stable. En augmentant la contrainte, il peut arriver que pour une valeur critique R = Rc du paramètre de contrôle, une valeur propre aM{qc) franchisse l’axe imaginaire. Le nombre d’onde critique Çc définit le premier mode instable. Bien sûr, dans certains systèmes, il se peut que deux valeurs propres non complexes conjuguées traversent simultanément l’axe imaginaire mais ce type d’événement est moins fréquent; en effet, un système physique possède plusieurs paramètres externes
■ • .indépendants dont un seul, R, est modifié au cours de l’expérience, or réaliser les conditions
Re[aMi{Ru R2, ■ ■ ■)] = Re[aM2{Ri, R2, ■ ■ ■)] = 0
implique de fixer deux paramètres externes, i.e. amener le système sur un point de codimension deux. On ne souhaite pas ici décrire ce type de phénomène plus rare. On se limite aux bifurcations qui sont le plus fréquemment rencontrées, c’est-à-dire celles qui correspondent à des points de codimension un ou encore celles que franchit le système lorsqu’un unique paramètre est modifié. Lorsqu’une valeur propre non dégénérée franchit l’axe imaginaire, quatre scénarios sont possibles (voir figure 1.1):
• Im{aM) = 0, 9c = 0
• Im{aM) = 0, 9c ^ 0
• Im{aM) 7^ 0, 9c = 0
• Im{aM) 7^ 0, 9c 7^ 0
transition vers un nouvel état uniforme.
brisure de symétrie spatiale, transition vers une structure spatiale.
brisure de symétrie temporelle, une paire de valeurs pro
pres complexes conjuguées franchit l’axe imaginaire, tran
sition vers un état oscillant dans le temps,
symétries spatiale et temporelle sont brisées, transition
vers un état spatio-temporel, ondes propagatives, ondes
stationnaires.
9
(c) (d)
Figure 1.1: En haut représentation des valeurs propres dans le plan complexe à la bifurca
tion, (a) une valeur propre réelle franchit l’axe imaginaire, la symétrie de translation dans le temps est préservée, (b) deux valeurs propres complexes conjuguées franchissent l’axe imaginaire, la symétrie temporelle est brisée. En bas partie réelle maximum du taux de croissance linéaire gm { q ) à la bifurcation, (c) la transition se produit à Çc = 0, la symétrie de translation dans l’espace est conservée, (d) la transition a lieu à Çc 7^ 0, la symétrie spatiale est brisée.
Ces instabilités sont a priori supercritiques, c’est-à-dire que la transition vers une nouvelle structure se produit lorsque la valeur propre franchit l’axe imaginaire. Or dans de nombreux cas, Rayleigh-Bénard non Boussinesq par exemple, des non-linéarités à car
actère déstabilisant peuvent modifier la nature des bifurcations. Des transitions se pro
duisent avant qu’une valeur propre ne franchisse l’axe imaginaire, les bifurcations sont sous-critiques. Nous verrons que dans les cas de sous-criticité légère, l’analyse faiblement non-linéaire permet d’apréhender ce type de bifurcation.
Hormis dans le premier cas où le système peut retrouver un état uniforme, une organisation macroscopique apparait au-delà de la bifurcation. Pour résoudre le problème de la sélection de structure, géométrie, longueur d’onde, fréquence des oscillations, les termes non-linéaires doivent être pris en compte.
Les méthodes d’analyse que nous présentons sont pour la plupart également appli
cables à des structures oscillantes. Néanmoins, les systèmes physiques que nous étudions dans les chapitres suivants présentent essentiellement des transitions vers des structures spatiales. Nous insistons donc plus particulièrement sur cet aspect des phénomènes d’auto
organisation.
e R — Rc
Rc et ôq = q-Qc
où R désigne toujours la valeur du paramètre de contrôle et Rc sa valeur critique. Il vient l’ordre représentatif le plus bas en e et ôq
a{R,q) = a[Rc{l + e),qc + Sq]
= (^{R c ,Q c ) + do
de Id'^a Rc,qc^ 2 dq^
e + do Rc,qc oq
1 d'^o
Rc,qc ^ 2 dq"^ Rc )Qc Sq^ + . . . Rc yQc ôq^ + .
où la condition de transversalité impose l _ do
tq de Rc )Çc / 0, et l’existence d’un nombre d’onde critique implique que
do
R ci Q c 0 et =
T q 2 dq^ Rc î7c < 0 .
(1.4)
Se plaçant suffisamment près au-dessus de la bifurcation, le domaine des modes instables est définie par
= — (e->^oW) > 0 (1.5)
et la largeur de la bande de modes instables est (voir figure 1.2a)
‘^ôqmax = Saturation non-linéaire
Si Aq désigne l’amplitude complexe d’un mode instable q, ôq = |q| — Çc, la phase de croissance linéaire de ce mode est régie par
ôjAq = cr(e, ôq)Ac^
11 Ce sont les termes non-linéaires des équations (1.1) qui assurent la saturation physique de l’amplitude. Aq étant complexe, les non-linéarités d’ordre le plus bas qui peuvent jouer un rôle saturant sont de la forme |>lq/|^i4q où |^q'P est le carré du module de l’amplitude de n’importe quel mode q' (parmi lesquels q) présent dans le système. Ainsi les termes de saturation non-linéaires induisent des couplages entre modes de vecteurs d’ondes différents; rencontrer des solutions analytiques non triviales des équations (1.1) devient vite difficile voire impossible.
Approximation faiblement non-linéaire
Au voisinage d’une bifurcation, pour de petites valeurs de e, les taux de croissance linéaire des modes instables a{e, Sq) sont faibles:
c^(e,<5ç) < —e A)
Au contraire, les coefficients des termes non-linéaires peuvent toujours être ramenés à 1 par un changement d’échelle adéquat. L’amplitude de l’état stationnaire, disons A, doit donc vérifier la relation
eA ~ \AfA
c’est-à-dire être de l’ordre de Ceci rend possible la recherche de solution des équations (1.1) sous forme de développement en série, le paramètre de bifurcation réduit e
jouant le rôle de petit paramètre. Posons
Ui{x, t) = U°[A{x, + c.c] -I- o(e)
R-Rr Rc
où l’amplitude A(x, t) est d’ordre et q est le vecteur d’onde du mode dont on souhaite décrire l’évolution (ce mode est aussi appelé porteuse). Les variations de l’amplitude A{x,t) ne peuvent se produire que sur de grandes échelles de temps et d’espace. Les variations temporelles les plus rapides sont en effet associées à la dynamique des modes les plus instables. Par conséquent, la plus petite échelle d’évolution temporelle tolérée au voisinage de la bifurcation est égale à l’inverse du taux de croissance linéaire du mode critique, i.e. proportionnelle à l/e. Pour ce qui est des variations spatiales, la somme 5q + q du vecteur d’onde de la modulation de l’amplitude 5q et du vecteur d’onde de la porteuse q doit rester à l’intérieur de la bande des modes instables, i.e. ôq < d’où une échelle de modulations spatiales en 1/e^/^. Dans le cas bidimensionnel, la démarche est la même mais la somme ùq -I- q porte sur des vecteurs et introduit des échelles de variation différentes selon la direction parallèle et selon la direction perpendiculaire au vecteur d’onde de la porteuse (voir figure 1.2b).
Echelles multiples
La méthode consiste alors à séparer formellement les échelles d’évolution spatiale et tem
porelle de l’amplitude en écrivant
Ui{x, t) = t/°[A(X, + c.c] + o(e)
Figure 1.2; (a) Courbe de dispersion a{q) au voisinage de la bifurcation. La largeur de la bande de modes instables croît en (b) Disque des vecteurs d’ondes instables au voisinage de la bifurcation. Les modulations possibles de l’amplitude d’une solution de vecteur d’onde Çclx sont limitées par ôq^ ~ selon la direction x, et par ôqy ~ selon la direction y.
puis à effectuer les substitutions
dx dx + et dt ^ dt + e&r
Ajoutant que A(X,T) est recherchée sous forme de développement en série A(X, T) = e'/Mi(X, T) + eA^iX, T) + ...
il ne reste plus qu’à récrire ordre par ordre les équations (1.1). La vérification de ces équations à l’ordre permet de fixer q = qc, i.e. l’équation que nous allons obtenir gouverne l’amplitude des modes critiques uniquement. A l’odre on obtient par l’intermédiaire d’une condition de solvabilité l’équation d’évolution de l’amplitude Ai(X,T) à l’ordre le plus bas
TodrAi = Al + ^Idx'iAi — g\A\Ÿ A\
Repassant dans le système de coordonnées réel en appliquant les subsitutions Q t —ï € dx'2 —^ e ^dx‘2, A — € A\
il vient
TodtA = eA + ^ldx2A-g\A\‘^A (1.6)
L’équation de Newell-Whitehead-Segel
Une telle méthode d’échelles multiples, étendue à deux dimensions a permis à Newell et
Whitehead d’une part, à Segel d’autre part, de dériver, à partir des équations de Navier-
Stokes, l’équation d’amplitude qui gouverne la formation de rouleaux supercritiques dans
13 l’instabilité de Rayleigh-Bénard. Pour une structure de vecteur d’onde orienté selon la direction x, cette équation s’écrit
TodtA^[e + ^Q{dx --^dyiŸ]A-g\A\'^A (1.7)
^Qc
Remarquons que l’équation (1.7) est cohérente du point de vue des ordres de gran
deurs si l’échelle de variation selon la direction y est en 1/e^/^. Ceci peut s’expliquer de manière géométrique (voir figure 1.2b). Le nombre d’onde maximum d’une modulation de l’amplitude selon la direction x est, nous l’avons dit, ôqx ~ Selon la direction y, on peut voir que
ÔQy = ~ ~
L’équation de Newell-Whitehead-Segel est générique, i.e. sa forme est indépendante du système considéré et ses coefficients sont reliés au profil de la courbe de dispersion au voisinage de la bifurcation. Haken puis Cross ont pu dériver une équation identique par une méthode de projections que nous ne présenterons pas ici. Le principe de cette méthode est une séparation de la dynamique entre modes stables à évolution rapide et modes instables à évolution lente. La séparation des échelles est aussi réalisée à l’aide du paramètre de bifurcation réduit. Les modes rapides deviennent "esclaves” des modes lents qui seuls déterminent l’évolution de la structure aux temps longs.
Formulation covariante de Graham
Le principal reproche fait à l’équation de N.W.S. est sa non conservation par rotation.
1.2.2 Structures multi-modales
Structures non-résonantes
Pour déterminer l’équation d’amplitude des bandes, nous n’avons pris en compte qu’une seule paire de vecteurs d’ondes (q, —q) d’orientation arbitraire. Or tous les modes de vecteur d’onde q tel que e — > 0 (ôg = |q| — Q c ) sont instables. Des observations expérimentales, il résulte cependant que dans la plupart des cas, seuls un petit nombre d’orientations, 1, 2, 3 (éventuellement plus, nous verrons des exemples dans les chapitres 3 et 4), se maintiennent en un même endroit du système sur des temps longs. Les termes non linéaires sont à l’origine de la sélection d’un nombre fini d’orientations.
Les équations d’amplitudes pour des structures composées de n paires de vecteurs d’ondes s’écrivent sous la forme
TodtA^ = [e + — (qiV)^jAi - g
Qc |7ii|^ + E7(qi,qj)l^j| Ai (1.8)
La structure hexagonale, fréquemment rencontrée dans les expériences (Rayleigh-Bénard non Boussinesq, structures de Turing en chimie, plateau de sable oscillant ... ) est le cas le plus typique. Trois paires de vecteurs d’ondes qi, q2 et qa orientés à 120° les uns des autres génèrent la structure. Celle-ci est donc décrite par trois équations d’amplitudes couplées
TodtAi TodtA2 TodtAs
(ï - |(qiV)^]4, + 2 vA^Ai - g [|A,p + 7 (ï)(l>l 2 p + MsP)] > 1 .
[£ - f (q2V)^].42 + 2 vAlAl - s + 7(ï)(l^3p + |/1.7] A,
S(q 3 V)"] 7 l 3 + 2 vA\Ai - g [I/I 3 P + 7 (Ï)(|A,P + 142 p)] Tlj
(1.9)
= e
où A* désigne le complexe conjugué de l’amplitude A. Le paramètre v est le coefficient de couplage quadratique. Remarquons que pour des raisons de cohérence des ordres de grandeurs, il doit être d’ordre
Compétition entre structures parfaites
Les équations d’amplitudes permettent d’étudier la compétition entre structures de géomé
tries différentes. Nous reprenons ici l’exemple le plus classique, i.e. la compétition rouleaux-hexagones. Pour cela on récrit les équations d’amplitudes de chaque structure en l’absence de fluctuations spatiales. On obtient
- pour les rouleaux
TodtA = eA-g\A\‘^A (LIO)
- pour les hexagones {i = 1,2,3)
O'jr
TodtAi = eAi + 2vA*_^-^A*_^2 ~ + 7(—)(|Aj+i|^ -I- \Ai^2\^)]-^i (1-H) Les solutions parfaites de ces équations sont:
- pour les rouleaux R q — \Je/g
- pour les hexagones i/o =
15
rouleaux
Figure 1.3: Diagramme de stabilité Rouleaux-Hexagones.
Une méthode perturbative permet de déterminer les domaines de stabilité relative des structures. On obtient
- pour ^ hexagones stables
- pour e > des rouleaux stables
Deux zones de multi-stabilité apparaissent sur le diagrame de bifurcation:
- bistabilité état uniforme-hexagones pour €h = -u^/(^[l -I- 27( y )]) < e < 0 - bistabilité rouleaux-hexagones pour =
?RfPïF < e < € h — 4^;2g[2+7(^)]
Notons enfin que le paramètre v n’est pas forcément indépendant de e, ce qui peut engen
drer des scénarios plus complexes, dans le bruxellateur par exemple.
1.3 Dynamique de phase
1.3.1 Elimination adiabatique
Les équations d’amplitudes du paragraphe précédent décrivent la dynamique des modes critiques (|q| = Çc) au voisinage de la bifurcation. En fait, dès que le paramètre de bifurcation réduit e devient positif, un ensemble de modes centré sur Çc devient instable.
Il est possible d’écrire des équations d’amplitudes pour ces modes, tout simplement en explicitant l’écart au vecteur d’onde critique 5q = q-qc au sein de l’équation d’amplitude (1.7) en posant À = Posant également g — 1 afin de simplifier l’écriture, on obtient une équation de la forme:
TodtÀ = [e- ^lôq"^ + 2i^^ôq{d:, - - ^dy2)‘^]À - \À\'^À (1.12)
Todta = -2(e - ^lôq‘^)a - 2^o)/e - ^l5q^6qdx(j) (1.13) ...a.a + + Û3x^<!> (1-14)
Les perturbations en amplitudes relaxent rapidement en un temps qui est de l’ordre de l/(e — Le temps de relaxation de la phase dépend de la longueur d’onde de la perturbation A = 27rQ“^ et peut être rendu arbitrairement long quand Q tend vers 0.
Sur les temps longs et pour 5q suffisament petit, l/(e — est une grandeur finie, l’élimination adiabatique des modulations d’amplitude est donc justifiée.
a = — (1.15)
ce qui permet d’écrire l’équation de diffusion de phase pour les rouleaux:
dt(j) = Dwdx'ict) + D^dy2(f) (1.16)
avec
^0/^ 3^0 (5g
7-0 e - ^I5q^ (1.17)
(1.18) Les solutions de type rouleaux ou bandes sont stables si les deux coefficients de diffusion sont positifs. Quand D\\ devient négatif, la phase 4> est instable vis-à-vis de perturbations longitudinales: c’est l’instabilité d’Eckhaus. D± < 0 est associé àune instabilité de la phase vis-à-vis de perturbations transverses; une déformation zig-zag vient moduler la structure initiale de rouleaux.
La dérivation de l’équation de phase à des ordres supérieurs conduit à des non-
linéarités de type (V0)^, i.e. à une équation de type Kuramoto-Sivashinsky. Dans le
cas de dynamique non-potentielle, une telle équation peut générer des comportements
spatio-temporels complexes de type turbulence de défauts.
17
Figure 1.4: Diagramme qualitatif de stabilité de phase des rouleaux au voisinage de la bifurcation. La courbe de stabilité marginale est définie par e — ^QÔq'^ — 0. Les courbes d’instabilité d’Eckhaus et zig-zag correspondent respectivement à D|| = 0 et Dj_ = 0.
1.3.2 Expansion en gradients
L’élimination adiabatique n’est justifiée que pour des valeurs de Sq petites, lorsqu’on s’approche de la courbe de stabilité marginale, e = les modulations d’amplitudes et de phase sont du même ordre. Cross et Newell ont introduit une définition plus générale de la phase qui permet de décrire le comportement du système dans ces régions de paramètres.
Il est possible d’écrire les solutions stationnaires parfaites de type rouleaux ou bandes sous la forme:
f/q(x, t) = Uooiqx.) = Uoo{0) ; 6 = qx
Les solutions imparfaites sont telles que le vecteur d’onde q n’est plus uniforme mais varie lentement. Par lentement on entend que les variations du vecteur d’onde local ç(x, t) se font sur des distances qui sont de l’ordre de la taille du système l et que la longueur d’onde caractéristique de la structure périodique A = 2nq~^ reste petite par rapport à la grandeur l. Le petit paramètre est ainsi défini par l’inverse du rapport d’aspect: r} = X/l.
La phase est alors redéfinie par l’équation
Ve{x,t) = q(x,t)
et les variations spatiales de q sont d’ordre rj. On recherche des solutions sous la forme de développement en puissances de r]
U{9,x,t) = Uo{6,:x,t) + r]Ui{6,x,t) + rfU2{9,x,t) + ...
où les Ui sont des fonctions 27 t périodiques en 9. A l’ordre 0, on retrouve la solution idéale
Uo{9,x,t) = Uoo{9)
OÙ r(q) et B{q) sont des fonctions qui dépendent des spécificités du système. Pour de faibles déformations des rouleaux, on retrouve l’équation de diffusion de phase (1.16) avec
^11 = -T~\Q){d/dq)[B{q)] (1.21)
D± = -r-\q)B{q) (1.22)
Un exemple concret de dérivation par expansion en gradients est donné en anexe 2 pour le cas de rouleaux convectifs dans une dynamique de type Proctor-Sivashinsky anisotrope.
1.4 Rôle des défauts
Les structures spatiales observées expérimentalement sont loin d’être parfaites. D’une part on observe la formation de grains, domaines d’orientation déterminée, d’autre part, ces grains peuvent eux-mêmes être parsemés de dislocations qui correspondent à l’apparition ou la disparition d’une paire de rouleaux ou de bandes. Ces défauts sont les analogues des joints de grains et dislocations bien connus en physique des solides. Nous rappelons ici brièvement le rôle qu’ils peuvent jouer dans les processus de sélection de géométrie au sein des structures dissipatives.
1.4.1 Mouvements de fronts
Les fronts séparent des domaines d’un même système qui possèdent des solutions diffé
rentes. Dans les régions de paramètres associées à une mono-stabilité, leurs mouvements
ne font qu’accélérer l’envahissement de la structure par la solution stable. Dans les régions
de multi-stabilité (rouleaux - hexagones ou hexagones - état uniforme) au contraire, leur
rôle devient fondamental. En effet la compétition entre différentes structures stables se
focalise sur les lignes de fronts. Dans le cas de systèmes potentiels, on s’attend (c’est
en partie confirmé) à ce que les fronts se déplacent de manière à favoriser la solution la
plus stable. Cependant, pour de nombreux systèmes, on est incapable (existe-t-il ?) de
déterminer un potentiel et on ne dispose donc pas de critère comparatif de stabilité. La
dynamique des fronts devient alors l’unique moteur de la sélection de structure.
19
Figure 1.5: Nucléation d’une structure hexagonale à partir des dislocations de la structure initiale en rouleaux. Les paramètres sont e = 0,1 ;u = 0, 2;u = l/3
1.4.2 Activation des transitions au coeur des défauts
Les dislocations sont les défauts génériques des structures en rouleaux. Elles correspon
dent à l’apparition ou la disparition d’une ou plusieurs paires de rouleaux et sont car
actérisées par une charge topologique n définie comme la circulation du gradient de la phase autour de leur centre (ou cœur)
C = V(^dl = ±27rn (1.23)
Cette équation se traduit par lune indétermination de la phase et une divergence de V(f) au cœur de la dislocation. La seule manière de lever cette indétermination est d’imposer un module nul pour la solution. Par conséquent la solution nulle se trouve bloquée au cœur du défaut et ce même si cette solution est a priori instable. Un tel phénomène de blocage de solution instable dans les défauts a été mis en évidence dans plusieurs autres cas parmi lesquels:
- les paires pentagone - heptagone, défauts génériques des structures hexagonales, qui correspondent au forçage local d’une solution de type rouleaux.
- les joints de grains d’orientations différentes d’une structure en rouleaux qui en présence de termes résonants peuvent forcer localement une structure hexagonale instable.
Si l’on échange alors les propriétés de stabilité en plongeant le système dans une
nouvelle région de paramètres, les nouvelles solutions stables sont déjà nucléées au cœur
l’émission, la résorption et les mouvements de dislocations peuvent persister indéfiniment.
Ces mouvements peuvent causer des désorganisation plus ou moins grandes de l’ordre initial. Un scénario de désorganisation par apparition de turbulence de défauts a pu être carctérisé dans le cas de systèmes présentant des régions de paramètres pour lesquelles toutes les longueurs d’ondes sont instables vis-à-vis de perturbations de phase.
1.5 Equation de type paramètre d’ordre
1.5.1 Le modèle de Swift et Hohenberg
Les équations physiques qui gouvernent la dynamique des systèmes dans lesquels se for
ment les structures spatiales sont compliquées. Pourtant des structures similaires appa
raissent dans des systèmes dynamiques très différents les uns des autres, une connais
sance complète de la dynamique microscopique ne devrait donc pas être nécessaire à la compréhension de ces phénomènes. Ces constatations ont été à l’origine du développement des descriptions macroscopiques via équations d’amplitudes ou équations de phase que nous avons présentées précédemment. Cependant aucune de ces méthodes ne recou
vre l’ensemble des propriétés des structures spatiales observées expérimentalement. Les équations d’amplitudes limitent la description à des structures dont le vecteur d’onde est quasi constant sur l’ensemble du système, or dans la réalité, l’orientation de la structure peut varier fortement d’une région à l’autre. Les équations de phase quant à elles ne prennent pas en compte les fortes variations du module de l’amplitude de la structure telles qu’elles se produisent au voisinage des défauts. Une description plus globale en terme d’équation de paramètre d’ordre a été introduite par Swift et Hohenberg en 1977:
dto = [t - qlY](T - uo^ (1-24)
La partie linéaire de ce modèle est sans-doute le terme le plus simple qui reproduit la
dynamique des modes de vecteur d’onde proche de Q c au voisinage d’une instabilité de
type brisure de symétrie spatiale, e est ici le paramètre de bifurcation réduit, pour e < 0
tous les modes sont stables, pour e > 0 tous les modes de vecteur d’onde q tel que
e — {q^ — 1)^ > 0 sont instables. Plusieurs termes non-linéaires peuvent être obtenus selon
21 le système physique considéré. Encore une fois le terme local —a^ est le plus simple et permet la saturation de tous les modes instables. Il convient de remarquer que ce modèle est potentiel, il peut en effet être écrit
dto- - - ôa où
= J dx{-^ea2 + i[(V^ +
En conséquence, on ne s’attend pas à observer de comportements spatio-temporels com
plexes de type turbulence de défauts. Par contre nous allons voir que la plupart des aspects qualitatifs du comportement au voisinage de la bifurcation y sont contenus, équations d’amplitudes, équations et instabilités de phase, prise en compte des défauts aussi bien ponctuels que de type joints de grains ou fronts.
1.5.2 Diagramme de stabilité du modèle de Haken
Afin d’étudier les phénomènes de compétition rouleaux-hexagones, tels qu’ils se pro
duisent dans des expériences de Bénard-Marangoni en hydrodynamique, au voisinage de l’instabilité de Turing bidimensionnelle en chimie, ou de manière plus générale dans tout système pour lequel la symétrie 2 —> — z n’est pas respectée, 2 étant la direction orthogonale au plan du système, un terme quadratique supplémentaire est introduit dans l’équation (1.24)
dtCT = [e — (V^ H- -|- va^ — ua^ (1-25) Le coefficient v devra être choisi d’ordre pour des raisons de consistance. Les effets du terme quadratique sont d’une part une perte de la symétrie a —o (associée à la symétrie 2 —2), d’autre part l’introduction de termes de couplages résonants entre modes d’orientations différentes permettant la formation de structures hexagonales.
Equations d’amplitudes
Introduisant dans (1.24) des solutions de la forme
i
on retrouve à l’ordre le plus bas, par une méthode multi-échelle, les équations d’amplitudes (1.7) et (1.9), à savoir
- pour les rouleaux
dtA = [e -I- Ml{dx - -^dy2Ÿ]A - ‘iu\A\^A
^Qc
On retrouve là les deux régions de bistabilité décrites dans la figure 1.3.
Diffusion de phase
Afin de construire le diagramme de stabilité complet dans les coordonnées (e, q) de l’équation (1.24), la stabilité de phase des rouleaux ainsi que des hexagones réguliers (i.e dont l’angle entre modes est fixé à 27 t /3) est étudiée. On retrouve pour les rouleaux l’équation de diffusion de phase (4.16)
dt(j) = + D±dy2(t)
où X désigne l’orientation du vecteur d’onde de la structure et avec
^11 Dj_
2 A - e — iqcSq
(1.26) (1.27) La dérivation de l’équation de phase associée à une structure hexagonale est présentée en anexe 1. La phase est ici un vecteur bidimensionnel 4 dont l’équation d’évolution s’écrit
avec
dt(j> = VV + (D|| - Dx)V(V0) (1.28)
D|| = 3ql + 10qc6q 16qtSq^^^ + (1.29)
D. = S,
W A (1.30)
W a = 6u(l — 7)//^ + 4vH
= 6u{l-\-2^)H^-2vH
où
23
Figure 1.6: (a) nucléation de défauts induite par une instabilité d’Eckhaus. Le modèle de Swift Hohenberg est intégré numériquement à partir d’une structure initiale périodique.
Les paramètres sont: e = 0,2 ; (5g = 0,15. (b) instabilité zig-zag obtenue en intégrant le modèle de Swift Hohenberg. Les paramètres sont: e = 0,2 -, ôq = —0,05.
et
^ V + \Jv'^ -\- 3w(l + 27)(e - ^ql5q^)
^ ^ 3u(l + 27)
Il est intéressant de comparer l’équation (1.27) avec l’équation de propagation d’une onde élastique dans un solide isotrope
p5(2U =/iV^u + (A —//)V(Vu) (1-31)
où // et A sont les coefficients de Lamé, p la densité du matériau et u le vecteur dépla
cement. Ici les coefficients de diffusion D\\ et D± jouent un rôle similaire aux coefficients d’élasticité du solide. La différence provient du caractère diffusif et non propagatif de la dynamique. A nouveau l’analyse montre que la structure hexagonale est stable seulement si les deux coefficients de diffusion sont positifs.
1.5.3 Observations numériques
Nous avons vérifié numériquement le domaines de stabilité des hexagones. Cette analyse
a été réalisée par l’intégration de l’équation (1.24) par une méthode d’Euler explicite sur
une grille de 179 x 155 points et des conditions de bords périodiques. Une longueur d’onde
est représentée par environ 14 points. Les structures initiales sont des hexagones quasi
parfaits dont la longueur d’onde se trouve proche de la limite de stabilité. Dans la partie
basse du diagramme (e petit) les strucures dont la longueur d’onde initiale se trouve en
dehors du ballon de stabilité évoluent via une transformation de type martensitic vers une
nouvelle structure hexagonale dont la longueur d’onde est stable. Ces résultats sont en
q-qc
Figure 1.7: Diagramme de stabilité de phase rouleaux-hexagones obtenu à partir du modèle de Haken pour Çc = 1 ; u = 0,2 ; u = 1/3.
Figure 1.8: Résultats des simulations numériques obtenus par l’intégration numérique du
modèle de Haken, Çc = l;^ = 0,2;u = 1/3. Les lignes pointillées relient la valeur du
vecteur d’onde de la structure initiale instable à la valeur du vecteur d’onde de la structure
stable vers laquelle relaxe le système. Les lignes continues marquées 1 et 2 correspondent
respectivement aux scénarios des figures 1.9 et 1.10.
25
Figure 1.9: Transition hexagones qinüiai = 1,12 ^ hexagones qjinai = T 03
Figure 1.10: Transition hexagones qiniuai = 0,89 —> hexagones qjinai = 0,97
Figure 1.11: Transition rouleaux qinüiai = 0,89 -> hexagones q/inai — 1>02 via une insta
bilité zig-zag. Les paramètres sont e = 0,24;w = 0,2;u = l/3
bon accord avec les prédictions théoriques (voir figure 1.8). Deux scénarios de transition sont présentés sur les figures 1.9 et 1.10. Dans la partie haute du diagramme (e grand) le système évolue vers des solutions de type bandes dont le vecteur d’onde est stable.
Enfin, dans la partie basse du diagramme une transition rouleaux hexagones via une instabilité de phase a été mise en évidence (voir figure 1.11). Le scénario est le suivant:
dans un premier temps, les rouleaux de vecteur d’onde inférieur à Çc sont altérés par des modulations transverses, ces modulations augmentent jusqu’à atteindre un angle de 30°, la structure relaxe alors rapidement vers une structure hexagonale.
1.6 Conclusions
Ce premier chapitre était essentiellement consacré à des rappels. Après avoir introduit la notion d’instabilités linéaires dans les systèmes de taille infinie, nous avons rappelé les méthodes d’analyse des structures spatiales dans le domaine faiblement non-linéaire.
Souvent la présentation des équations d’amplitudes et des équations de phase se fait
au travers d’un modèle de type Swift-Hohenberg introduit préalablement. Cependant
les équations d’amplitudes sont en principe directement dérivées des équations physiques,
Navier Stokes en hydrodynamique par exemple, via une méthode de type multi-échelles ou
projections. Nous avons voulu insister sur la généricité de la forme de ces équations ainsi
que sur la correspondance directe entre leurs coefficients et la relation de dispersion au
point critique. Pour cette raison, nous n’avons introduit les équations de type paramètre
27
d’ordre que dans un deuxième temps.
Nous avons insisté sur l’incapacité des équations d’amplitudes à restituer une dy
namique globale au voisinages des instabilités. En effet, une équation d’amplitude décrit l’évolution d’un mode, de longueur d’onde et d’orientation données. Les équations de type Swift-Hohenberg au contraire permettent de rendre compte de la plupart des pro
cessus observés au voisinage des bifurcations: compétitions entre structures de géométrie ou longueurs d’ondes différentes, rôle des défauts dans les phénomènes de transitions, mouvement de fronts ...
Les équations de type paramètre d’ordre jouent un rôle intermédiaire entre systèmes
physiques dont les équations sont souvent lourdes à manipuler, et équations d’amplitudes
ou équations de phases qui sont plus restrictives. Elles apparaissent ainsi comme un bon
compromis possible entre complexité des équations initiales et recherche de la simplicité
dans les comportements macroscopiques.
Chapitre 2
Effets d’anisotropie.
L’instabilité de Rayleigh-Bénard constitue le système dynamique de référence dans l’étude des processus de formation de structures spatiales. De nombreux outils analytiques ont été développés dans le but de décrire et de comprendre les observations expérimentales.
Une forte interaction entre travaux analytiques, résultats expérimentaux et simulations numériques a permis de vérifier la validité de modèles dynamiques simples de type Swift- Hohenberg dans le domaine faiblement non-linéaire. De tels modèles permettent en effet de rendre compte des processus fondamentaux de sélection de géométrie et de longueur d’onde au voisinage des bifurcations. Cependant le système de Rayleigh-Bénard est es
sentiellement isotrope, or de nombreuses instabilités connues dans la nature ou dans des systèmes expérimentaux présentent de fortes anisotropies; formation de structures en présence de flux en chimie, dans les matériaux granulaires, interactions dans les matériaux avec la maille cristalline sous-jacente, instabilités dans les cristaux liquides... Parmi celles- ci, l’instabilité électro-hydrodynamique (EHD) offre la possibilité d’étudier des systèmes de très grand rapport d’aspect, de l’ordre de 1000 longueurs d’ondes, pour lesquels les effets de bords peuvent être négligés. De plus, les temps de formation de structures sont courts, de l’ordre de la minute, et permettent une bonne exploration de l’espace des paramètres. L’instabilité EHD est ainsi devenue le système idéal pour l’étude de la forma
tion de structures spatiales en milieu anisotrope. C’est à l’aide des résultats fournis par cette expérience que nous avons essayé de construire, avec un minimum dingrédients, un modèle simple qui pourrait jouer le rôle du modèle de Swift-Hohenberg pour les systèmes anisotropes. Notre objectif n’est pas de décrire dans le détail l’instabilité EHD mais plutôt de comprendre les effets d’une anisotropie sur les processus de sélection de structures.
2.1 L’instabilité EHD
Dans son introduction, Chandrasekhar définit le cristal liquide de la manière suivante:
”Le terme cristal liquide signifie un état d’agrégation intermédiaire entre le cristal solide et le liquide amorphe. En règle générale, une telle substance est fortement anisotrope pour
27
Figure 2.1: Les trois distorsions possibles d’un nématique.
certaines de ses propriétés et présente simultanément un certain degré de fluidité pouvant être comparable à celui d’un fluide ordinaire (...) une condition nécessaire à l’apparition de phases mésomorphes est que la forme des molécules soit nettement anisotrope, aigu
ille ou disque par exemple”. Un cristal liquide nématique est ainsi caractérisé par un ordre orientationel, c’est à dire que les molécules qui le constituent tendent à s’aligner parallèlement les unes aux autres selon une même direction représentée par un vecteur directeur n(x,t). La description en termes de densité d’énergie libre fait intervenir trois constantes d’élasticité associées à chacune des distorsions possibles du nématique que sont la déformation en éventail, la déformation par torsion et la déformation par courbure (voir figure 2.1).
F = ^/^i(Vn)2 ^ li^
2(n.V x n)^ + xVxnf (2.1) La dynamique de tels matériaux est rendue plus complexe que celle de fluides ordinaires du fait des couplages entre le champ de vitesse v(x, t) et le champ d’orientation n(x, t).
Dans la plupart des cas, l’apparition d’un flux va perturber l’orientation des molécules et vice-versa, une modification locale de l’orientation du vecteur directeur sera susceptible de générer des flux au sein du nématique. Par ailleurs, l’anisotropie moléculaire se manifeste au travers de diverses propriétés physiques:
- anisotropie diélectrique: C q = ey — ex - anisotropie conductive: Ua = o\\ — a±_
- anisotropie magnétique: Xa — X|| ~ X±
L’orientation préférentielle du directeur sera donc sensible à la présence de champs électro
magnétiques. C’est la combinaison des effets de couplages directeur n vitesse v et de la
sensibilité du directeur à des champs électro-magnétiques qui est à l’origine de l’instabilité
EHD.
29
Figure 2.2; Les deux configurations possibles pour l’instabilité EHD.
2.1.1 Observations expérimentales
Une couche de cristal liquide nématique de type (ca < 0, (Ta > 0) est maintenue entre deux plaques conductrices horizontales en configuration planaire. En fait, cette expérience peut aussi être réalisée avec des matériaux de type (ca > 0, (Ta > 0) placés en configu
ration homéotrope (voir figure 2.2). Les molécules sont initialement alignées selon la direction x parallle à l’un des bords du dispositif. Une différence de potentiel alternative de basse fréquence { üj < 1000Ü2) est appliquée entre les deux plaques. Deux domaines de fréquences séparés par une fréquence critique lüc de l’ordre de 100 — 500Hz sont à considérer.
Basses fréquences: u < u J c
- pour V petit, de l’ordre de 1 volt, les molécules sont alignées perpendiculairement au champ électrique selon une direction x appartenant au plan horizontal. Ceci est le résultat prévisible des effets de l’anisotropie diélectrique Ca = ey — <0 et de la minimisation de l’énergie libre élastique (2.1).
- lorsque V atteint une valeur critique Vc, de l’ordre de 5 volts, des structures con- vectives stationnaires se développent.
- si on augmente encore V, des bifurcations secondaires conduisent progressivement le système dans des états spatio-temporellement complexes.
En fait, des observations plus détaillées ont été réalisées. Il est ainsi connu que pour
les très basses fréquences, üj < 40Hz, les rouleaux convectifs qui se forment à la bifurcation
sont obliques, c’est-à-dire que leur orientation forme avec la normale à l’orientation initiale
du directeur x un angle +6 ou —9. Cet angle 9 diminue avec la fréquence jusqu’à un point
de Lifchitz, défini par une fréquence ul , au-delà duquel les rouleaux normaux, orientés
perpendiculairement à la direction x sont les premiers à apparaitre. Dans ce second
domaine de fréquences, u > l < uj < uic, des études très détaillées ont été menées afin de
déterminer les mécanismes de déstabilisation possibles. Il apparait que deux instabilités
sont en compétition lorsqu’on augmente la valeur de V:
Figure 2.3: Domaine de stabilité qualitatif de l’instabilité EHD. Le point de Lifshitz qui sépare le domaine rouleaux obliques du domaine rouleaux normaux à la bifurcation correspond à la fréquence üjl . La fréquence u>c marque la séparation entre régime conductif et régime diélectrique.
- l’instabilité zig-zag ramène le système vers des rouleaux obliques
- l’instabilité variqueuse peut être à l’origine de processus de nucléation de défauts qui sont eux-mêmes susceptibles de générer des dynamiques complexes
Hautes fréquences: uj > u>c
Dans le domaine des hautes fréquences, nous ne possédons pas de résultats aussi détaillés.
Le seuil de bifurcation est plus, élevé et croît avec l’épaisseur de la couche et la fréquence:
Vc a Des structures oscillantes sont formées au-delà de la bifurcation. Le régime est dit diélectrique.
2.1.2 L’expérience réalisée par Joëts et Ribotta
Une expérience réalisée par Joëts et Ribotta sur une couche de MBBA de 50/im d’épaisseur soumise à une tension de fréquence 150/fz a particulièrement retenu notre attention en raison de la grande variété des structures mises en évidence.
- pour U = 7 volts, apparition de rouleaux convectifs normaux.
- pour U ~ 7, 5 volts, les rouleaux normaux se déstabilisent via une instabilité zig-zag
qui conduit à la formation de domaines de rouleaux obliques d’orientation +9 ou —9. Cet
31
Figure 2.4: La succession de structures stationnaires observée par Jôets et Ribotta.
temporellement complexe envahit le système.
- pour V ~ 35 volts, le système est totalement désorganisé.
2.1.3 Principe de l’instabilité: l’interprétation de Helfrich
Considérons le système de la figure 2.5. Si une distorsion apparait selon la direction x, les phénomènes suivants ont lieu:
- une force élastique de courbure tend à ramener les molécules selon la direction x.
- comme a\\ > a±, un courant Jt est généré selon la direction x] une accumulation de charges positives se crée au point A. En conséquence, une composante tangentielle du champ électrique 5E apparait aux points B et B’. C q étant négatif, les molécules tendent à rester orientées orthogonalement au champ électrique local E + 5E; la distorsion des molécules s’accroît donc en B. Par ailleurs le fluide autour de A est soumis à une force gE-, le flux ainsi crée provoque en B et B’ un moment hydrodynamique qui tend également à augmenter la distorsion initiale.
Si (j) est l’amplitude angulaire de la distorsion et k son vecteur d’onde selon x, alors le moment dû aux distorsions élastiques est où est le coefficient d’élasticité de courbure du nématique. D’autre part les forces électrostatiques et hydrodynamiques sont proportionnelles à Enfin on sait expérimentalement que la longueur d’onde critique est donnée par l’épaisseur d de la couche (i.e. kc ~ l/d). Par conséquent, il doit exister un seuil d’instabilité défini par Ec ~
2.1.4 le modèle Carr Helfrich ou D.G.P.
L’analyse précédente a été menée en régime statique. Pour des fréquences non nulles, nous avons vu que deux régimes très distincts sont séparés par une fréquence critique.
Nous allons voir qu’une analyse prenant en compte la dépendance temporelle du champ électrique permet de mettre en évidence les deux types d’instabilités. Comme dans le cas précédent, on se ramène au plan (x,z), les grandeurs physiques à considérer sont;
- le champ électrique E{t) de fréquence co.
33
Z
X
©
Figure 2.5: Schéma de principe de l’instabilité électro-hydrodynamique.
- la courbure du vecteur directeur ■0 =
- la densité de charges q{x,t). On suppose la charge totalle nulle consevée.
- le champ de vitesse Vz{x,t) associé aux flux hydrodynamiques.
Lois de conservation
• conservation du moment angulaire
Les effets inertiels sont négligeables, on écrit donc que la somme des moments agis
sant sur le directeur, viscosité, moment élastique, moment diélectrique est nulle. Il vient
( 2 . 2 ) Ex est déduit de l’équation de Maxwell
divL) = div{eE) = i-ïïq (2.3)
Dérivant (2.2) par rapport à x, on obtient
0 = 0/To -I- K^/^dx2ip -h {ea/e\i)qE/j -F dx^v^
avec T q ^
(2.4)
• conservation de la quantité de mouvement
On écrit l’équation de Navier-Stokes pour la composante sous la forme
pvz - dx[7{-n^ + dxV^)] + i>dx
2V^ + qE (2.7) où l’on reconnaît le terme de couplage visqueux entre rotation du directeur et flux, le terme de viscosité classique et le flux induit par les charges. Finallement on peut réécrire l’équation (2.7)
Vz = {i^ + l)dx‘^Vz + qE - 'Y'ip (2.8) Analyse avec dépendance temporelle
On souhaite analyser le comportement du système constitué des équations (2.4), (2.6) et (2.8) lorsque le champ électrique est de la forme
E — EjnCOs{ut)
La première simplification réside dans l’élimination adiabatique du flux vertical v^. Posant dx'^Vz -qE + 'jip
U + 'y
on obtient un modèle simplifié qui ne fait intervenir que courbure et densité de charges:
q = -qjr - an^pE
^ = -i’/TE - {\hH)qE où
i = A(E^ + K kl)
J-E
