DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

DEA de Physique Quantique 21 janvier 2005 Th´ eorie des Champs

TD n

1

1 Rappels

On adopte la convention d’Einstein de sommation implicite sur les indices r´ ep´ et´ es.

Consid´ erons par exemple ~ x et ~ y, deux vecteurs d’un espace vectoriel de dimension 3, de composantes respectives x

et y

. Leur produit scalaire ~ x

~ y =

i=1

x

y

sera tout simplement not´ e : x

y

. De mˆ eme, si M

sont les composantes d’une matrice repr´ esentant un op´ erateur lin´ eaire agissant dans cet espace, l’´ equation ~ y = M ~ x s’´ ecrira : y

= M

x

.

On introduit δ

, la matrice identit´ e, et

, le tenseur totalement antisym´ etrique (avec

= +1).

1) Calculer δ

, δ

δ

et

.

2) Montrer que

= δ

δ

δ

δ

. 3) D´ eduire

et

.

4) Comment ´ ecrire ~ x

~ y et ~ x

(~ y

~ z) ` a l’aide de ces notations ?

5) Si A et B sont deux matrices, que repr´ esentent A

, A

B

, A

B

et A

B

?

6) Soit S

une matrice sym´ etrique et A

une matrice antisym´ etrique. Montrer que A

S

= 0.

7) Analyse vectorielle. Soient V (~ x) et A(~ ~ x) deux champs respectivement scalaire et vectoriel.

On note ∂

def

=

i

. ´ Ecrire

~ A, ~

~ A ~ et ∆ A ~ avec les conventions d’Einstein.

8) Retrouver que

~ (

~ ) = ~ 0,

~ (

~ A) = 0 et ~

~ (

~ A) = ~

~

~ A) ~

∆ A. ~

2 Transformations de Lorentz

On choisit l’espace de Minkowski comme mod` ele d’espace-temps. Les coordonn´ ees d’espace- temps sont regroup´ ees dans un quadri-vecteur x = (t, ~ x) dont les composantes sont not´ ees x

avec µ = 0, 1, 2, 3. L’intervalle de temps propre τ

= t

~ x

entre (t, ~ x) et l’origine (0, ~ 0) s’´ ecrit τ

= g

x

x

o` u g

est le tenseur m´ etrique :

g

:









1 0 0 0

0

0 0

0 0

0

0 0 0









(1)

Conventions :

•

Les indices grecs (α, β, µ,. . .) d´ ecrivent les composantes d’espace-temps (0, 1, 2, 3)

•

Les indices latins (i, j, k,. . .) d´ ecrivent les composantes d’espace (1, 2, 3)

•

Lorsqu’un indice grec est r´ ep´ et´ e, l’un est en haut, l’autre en bas.

x

sont les composantes contravariantes du vecteur. On introduit ´ egalement les composantes covariantes x

= g

x

(donc x

= x

et x

=

). La matrice inverse permettant de passer des coordonn´ ees covariantes aux contravariantes est not´ ee g

.

Le tenseur m´ etrique g

permet de baisser les indices et son inverse g

de les lever.

1

1) Calculer les composantes de g

g

.

2) Le groupe de Lorentz est le groupe des isom´ etries de l’espace de Minkowski, l’ensemble des transformations qui conservent la distance g

x

x

. Soit Λ

un ´ el´ ement du groupe de Lorentz : x

= Λ

x

. Quelle ´ equation doit satisfaire Λ

?

3) ` A l’aide des deux questions pr´ ec´ edentes, relier les composantes de (Λ

)

` a celles de Λ

. 4) Comment se transforme un vecteur covariant ?

5) V´ erifier que x

y

est un invariant de Lorentz.

6) On introduit l’op´ erateur diff´ erentiel ∂

=

. Comment cet objet se transforme-t-il sous les tranformations de Lorentz ?

7) On consid` ere une transformation infinit´ esimale Λ

= δ

+ ω

avec ω

1. Quelle propri´ et´ e doit poss´ eder ω

?

8) Combien de param` etres ind´ ependants caract´ erisent la transformation Λ

= δ

+ ω

? Quel sens donner aux transformations ´ el´ ementaires associ´ ees ` a chacun de ces param` etres ?

3 Cin´ ematique relativiste

On consid` ere une particule dont la position est donn´ ee par le 4-vecteur x

. L’intervalle infinit´ esimal de temps propre est dτ

= dx

dx

. Le vecteur de quadrivitesse est d´ efini comme u

=

= (γ, γ~ v) o` u ~ v =

et γ = 1/

1

~ v

. Le 4-vecteur d’impulsion est p

= mu

= (E = γm, ~ p = γm~ v). L’invariant de Lorentz est : p

p

= m

.

1) Vitesse relative. Soient deux particules de masses m et m

et d’impulsion p

et q

. Donner une expression covariante de leur vitesse relative, d´ efinie comme la vitesse de l’une dans le r´ ef´ erentiel de l’autre. ´ Etudier la limite non relativiste.

2) Exp´ erience de cible fixe et collisionneur. On consid` ere deux particules identiques de masses m.

a) On fournit une ´ energie cin´ etique K ` a une des particules dans le r´ ef´ entiel de l’autre. Exprimer leur ´ energie dans le r´ ef´ erentiel du centre de masse en fonction de K (indication : utiliser que (p + q)

est un invariant de Lorentz).

b) Dans une exp´ erience de collisionneur, l’´ energie cin´ etique est fournie dans le r´ ef´ erentiel du centre de masse. Quelle est la situation la moins coˆ uteuse ´ energ´ etiquement (cible fixe/collisionneur) ?

4 Electromagn´ ´ etisme en notations covariantes

On introduit le 4-vecteur A

= (V, ~ A) regroupant les potentiels scalaire et vectoriel. On d´ efinit le tenseur ´ electromagn´ etique F

def

= ∂

A

∂

A

.

1) Comment se transforme F

sous les transformations de jauge A

A

+ ∂

φ, o` u φ est un champ scalaire quelconque.

2) Calculer les composantes de F

et F

en fonction des champs ´ electrique et magn´ etique.

On introduit le tenseur dual ˜ F

=

F

, o` u

est le tenseur compl` etement anti- sym´ etrique (avec

=

= +1).

3) Exprimer ˜ F

et ˜ F

en fonction des champs.

4) Calculer les invariants de Lorentz F

F

, ˜ F

F ˜

et F

F ˜

en fonction des champs ´ electrique et magn´ etique.

2

5) Le 4-vecteur densit´ e de courant est not´ e j

= (ρ,~j ). V´ erifier que

∂

F

= j

∂

F ˜

= 0 (2)

est la forme covariante des ´ equations de Maxwell.

6) V´ erifier que l’´ equation de conservation du courant est une cons´ equence des ´ equations de Maxwell.

7) Transformation du champ ´ electromagn´ etique sous les transformations de Lorentz.

On appelle tenseur de Lorentz de rang n un objet dont les composantes se transforment sous le groupe de Lorentz comme

T

Λ

Λ

T

. (3) D’apr` es sa d´ efinition, le tenseur ´ electromagn´ etique est donc un tenseur de Lorentz de rang 2.

D´ eduire les transformations des champs ´ electrique et magn´ etique sous les transformations de Lorentz sp´ eciales.

3