A148 La moyenne arithmétique mène à tout [*** à la main]
Pierre Henri Palmade, Pierre Khayati et Raouf Thabet ont résolu le problème en améliorant significativement les scores qu’avait obtenus Diophante. Leurs solutions sont données ci- après.
Solution proposée par Pierre Henri Palmade :
Je m'appuierai sur un premier résultat: la somme des k premiers entiers est égale au nombre triangulaire Tk=k(k+1)/2, donc tout nombre entier compris entre Tk et (k+1)n-Tk peut être obtenu comme somme de k+1 entiers distincts compris entre 0 et n: en effet Tk=0+1+...+k, et il suffit d'augmenter le dernier nombre (k) d'une unité à la fois jusqu'à n, puis le précédant de même, etc... pour obtenir tous les nombres jusqu'à (n-k)+(n-k+1)+...+n=(k+1)n-Tk. Il en résulte que toute fraction de la forme m/((k+1)n), avec m compris entre Tk et (k+1)n-Tk (nous dirons que la fraction appartient à l'intervalle d'atteinte) peut être obtenue comme moyenne de k+1 rationnels distincts de la forme i/n
avec 0<= i <=n.
Nous remarquerons d'abord, qu'à partir de 0 et 1, on peut obtenir à la première étape 1/2, à la deuxième 1/4 et 3/4, et ainsi de suite pour tous les nombres de la forme i/(2^n)
Si q est premier, pour obtenir la fraction p/q comme moyenne de k+1 autres fractions dont les dénominateurs ne soient pas tous divisible par q, il faut que k+1=q ou un de ses multiples.
Nous allons chercher dans quel cas nous pouvons obtenir p/q comme moyenne de q fractions distinctes de la forme i/2^n. Il faut d'abord que l'intervalle d'atteinte existe, donc que
2Tk<(k+1)2^n soit q+1<=2^n. Il faut encore que p/q appartienne à cet intervalle, ce qui n'est rien moins que certain: ce ne sera le cas que si p/q est relativement centré, c'est à dire proche de 1/2. Pour traiter les cas "marginaux" (p/q proche de 0 ou 1), on peut exprimer p/q comme moyenne de 0 ou 1 et d'une fraction plus centrée: ainsi si p<q/2 (sinon on prend les
symétriques par rapport à 1/2), p/q est la moyenne de 0 et de 2p/q, et on continue jusqu'à obtenir une fraction comprise entre 1/4 et 3/4. Pour s'assurer de pouvoir résoudre le problème, il faut alors s'assurer que l'intervalle d'atteinte est suffisamment ouvert, donc qu'il contient l'intervalle [1/4,3/4], ce qui sera le cas si q+1<=2^(n-1).
Si q n'est pas premier, la méthode ci-dessus est toujours valable, mais on peut faire plus rapide, en isolant un de ses facteurs premiers, r (q=rs), et en exprimant p/q comme moyenne de r fractions de dénominateur s, etc...)
Illustrons cela par les exemples proposés:
*7/15: on est dans le cas favorable (en nombre d'étapes) d'une fraction centrée à dénominateur composé; on remarque que 7/15=(0+2/5+1)/3.Il suffit d'exprimer
2/5=((0+1+3+4+8)/8)/5=(0+1/8+3/8+1/2+1)/5. Il faudra donc calculer successivement 1/2, 1/4, 1/8, 3/8, 2/5 et 7/15 soit 6 opérations
*17/31: le dénominateur est premier, mais la fraction est assez bien centrée (il faut aller jusqu'au dénominateur 64). On prend 0 et 1, on calcule
1/2, 1/4, 3/4,
1/8, 3/8, 5/8, 7/8,
3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16,
5/32, 7/32, 9/32, 11/32, 13/32, 15/32, 17/32, 19/32, 21/32, 23/32, 25/32, 27/32, 29/32, 31/32 35/64 et 39/64
pour enfin faire la moyenne de ces 31 nombres, soit en tout 30 étapes (q-1 est le minimum si q est premier)
*2004/2005: on est dans le cas d'un nombre marginal, et il faudra pour l'atteindre passer par2003, 2001, 1997, 1989, 1973, 1941, 1877, 1749, 1493 et 981 (toutes fractions de 2005) 981/2005=(0+ 192/401+193/401+195/401+1)/5. Les trois fractions centrales ont des dénominateurs premiers: on peut les exprimer chacune comme moyenne de 401 termes de dénominateur maximum 512, et on doit pouvoir faire ça en 404 opérations (à vérifier... on utilise presque les mêmes nombres pour les trois calculs) . On doit donc finalement obtenir la fraction cherchée en 414 opérations...
Solution proposée par Pierre Khayati
Question n°1 : calcul de 7/15
Je noterai MA() pour moyenne arithmétique Comment obtenir 7/15 :
Etape 0 : [0,1]
MA(0,1)=1/2 Etape 1 : [0,1/2,1]
MA(0,1/2)=1/4 Etape 2 : [0,1/4,1/2,1]
MA(1/4,1/2,1)=7/12 Etape 3 : [0,1/4,1/2,7/12,1]
MA(0,1/4,1/2,7/12,1)=7/15
Et voilà, en 4 opérations. Impossible de faire moins (pour obtenir le facteur 5 au dénominateur).
Question n°2 : calcul de 17/31
En avant donc pour le 17/31 en 30 étapes.
Etape 1 : MA(0,1)=1/2 Etape 2 : MA(0,1/2)=1/4 Etape 3 : MA(1/2,1)=3/4 Etape 4 : MA(0,1/4)=1/8 Etape 5 : MA(1/4,1/2)=3/8 Etape 6 : MA(1/2,3/4)=5/8 Etape 7 : MA(3/4,1)=7/8 Etape 8 : MA(0,1/8)=1/16 Etape 9 : MA(1/8,1/4)=3/16 Etape 10 : MA(1/4,3/8)=5/16 Etape 11 : MA(3/8,1/2)=7/16 Etape 12 : MA(1/2,5/8)=9/16 Etape 13 : MA(5/8,3/4)=11/16 Etape 14 : MA(3/4,7/8)=13/16 Etape 15 : MA(7/8,1)=15/16 Etape 16 : MA(0,1/16)=1/32 Etape 17 : MA(1/16,1/8)=3/32 Etape 18 : MA(1/8,3/16)=5/32 Etape 19 : MA(3/16,1/4)=7/32 Etape 20 : MA(1/4,5/16)=9/32 Etape 21 : MA(5/16,3/8)=11/32 Etape 22 : MA(3/8,7/16)=13/32 Etape 23 : MA(7/16,1/2)=15/32 Etape 24 : MA(1/2,9/16)=17/32
Etape 25 : MA(9/16,5/8)=19/32 Etape 26 : MA(5/16,11/32)=21/64 Etape 27 : MA(3/8,13/32)=25/64 Etape 28 : MA(13/32,7/16)=27/64 Etape 29 : MA(7/16,15/32)=29/64 A ce stade, nous avons la liste :
L=[0,1/32,1/16,3/32,1/8,5/32,3/16,7/32,1/4,9/32,5/16,21/64,11/32,3/8, 25/64,13/32,27/64,7/16,29/64,15/32,1/2,17/32,9/16,19/32,5/8,11/16, 3/4,13/16,7/8,15/16,1]
Etape 30 : MA(L)=17/31
Le nombre d'étape est minimal car pour obtenir le 31 qui est premier au dénominateur, il faut faire la moyenne de 31 nombres (qui ne peuvent être obtenus en moins de 29 opérations).
Question n°3 : cas général Comment obtenir
q
p avec 0<p<q.
Démontrons tout d’abord la propriété P(n) : On peut construire la fraction kn
2 pour tout entier k 2n
Nous avons P(0) par définition puisque notre liste de départ est [0,1]
Supposons P(n) et démontrons P(n+1) Soitk 2n1
Si k pair, k=2i et kn in 2
2 1 peut être construit du fait de P(n).
Si k impair, k=2i+1 et
n n
n
i k i
2 1 2
2 1
2 1 peut être construit à partir d’éléments constructibles.
Ceci achève la démonstration par récurrence de P(n) qui est donc vraie pour tout n.
Qui plus est, les éléments kn
2 se construisent simplement par la moyenne des éléments précédents pris deux par deux.
Nous allons construire q
p à partir de q éléments kn
2 sous la forme
q
i b
ai
q q p
1 2
1 avec i jai aj et i,ai 2b
Nous allons donc essayer de déterminer b et les ai tels que
q
i i
b a
p
1
2 (1)
Vu les conditions sur les ai, on peut déterminer facilement les valeurs minimales et maximales de cette somme, ce qui nous donne l’encadrement :
b
b q i q
i i q
i
i a
i
2
1 1 2
1
0
(2)
D’où :
2 1
1 2
1 1
0
2
q
i i
b q
i
b b
i i
p i
Ce qui donne après quelques simplifications : 2
) 1 2 (
2 2 ) 1
(
q q
q q p
q b b
Qui est équivalent à p
q
b q 2
) 1 2 ( et
) ( 2
) 1 2 (
p q
q
b q
Ou encore
) 2 ln(
2 ) 1
ln (
p
q q
b et
) 2 ln(
) ( 2
) 1
ln (
q p
q q
b (3)
La condition (3) permet donc de garantir que la somme des ai atteint des valeurs minimales et maximales qui encadrentp2b.
Montrons que cette somme des ai peut atteindre toutes les valeurs entre son min et son max.
Posons lesai tels que
b
b q i q
i
i R i
a
2
1 1 2
.
On montre facilement par l’absurde qu’il existe j tel que k jak aj 1 (Sinon tous les aiseraient maximum et on aurait
b
b q i
i R
2
1 2
)
On voit donc qu’en remplaçant aj par aj 1, on peut atteindre R+1.
Comme la somme minimale est accessible, cette propriété nous permet de conclure que la somme des ai peut atteindre toutes les valeurs entre son min et son max.
Et si la condition (3) est respectée, alors elle peut atteindre p2b. Ce qui signifie qu’il existe une famille de ai telle que
q
i b
ai
q q p
1 2
1 .
A partir de ce raisonnement, on peut donc élaborer un algorithme simple permettant d’obtenir une famille des ai telle que désirée :
*************************************************************
Calculer b le plus petit entier supérieur à
) 2 ln(
) ( 2
) 1 ln (
) , 2 ln(
2 ) 1 ln (
max q p
q q p
q q
Poser ai=i-1 (On initialise la somme des ai au minimum) Poser j=q
Tant que b
q
i
i p
a 2
1
Faire
1
2
a q
aj j b (On met aj au maximum) j=j-1
Fin Faire
q
i i b
j
j a p a
a
1 1
1 2
*************************************************************
b et la liste des ai obtenus sont tels que
q
i b
ai
q q p
1 2
1 et permettent donc la construction de
q p.
Par ailleurs, on trouvera en annexe à la fin des solutions l'algorithme de décomposition sous la forme d'un script SCILAB.
Solution de Raouf Thabet
1) 7/15 ? 1èreopération :
2 1 2
1 0
2èmeopération :
4 1 2
2 0 1
3èmeopération :
12 7 2
4 1 2 1 1
4èmeopération :
15 7 5
12 7 4 1 2 1 1
0
Ainsi on obtient le résultat en seulement 4 opérations.
2) 17/31 ? 1èreopération :
2 1 2
1 0
2ème et3ème opération :
2 2
2 2
1 2 2
2 1 1 1 , 2
2 0 1
2
4ème et5ème opération :
3 2 3
2
2 2
2 1 2 2
2 1 1 2
1 , 2
2 0 1
3
. . . .
. . . .
24ème opération : 13
12 13 12
2 1 2 2
2 1
1 2
25ème opération : 16
12 11
2 24 2
2 1 2
1
26ème opération :
14 13 14
13
2 1 2 2
2 1 1 2
27ème opération :
15 14 15
14
2 1 2 2
2 1 1 2
28ème opération : 16
15 15 15
2 1 2 2
2 1 0 2
29ème opération : 16
12 16 12 15
15
2 9 2 2
2 1 2 2
1 2
30ème opération :
31 17 31
2 9 2 2
1 ) 2
2 1 2 2
1 2 2
1 (2 2 ) 24 2
1 2 2 ( 1 ...
2 ) 1 2 2 ( 1 2 1
0 1 16
16 16
15 15
15 14
14 13
13 16 12
12 12 2
2
2
Note : le score de 30 opérations est imbattable car dans le quotient 17/31, 31 est premier, donc on a besoin de la moyenne arithmétique de 31 nombres dont la
Somme est 17.
3) 2004/2005 ? 1èreopération :
2 1 2
1 0
2ème opération :
2 2
2 1 2 2
2
1 1
3ème opération :
3 2 3
2
2 1 2 2
2 1 1 2
. . . . . .
2004ème opération :
2004 2003 2004
2003
2
1 2
2 2
1 1 2
2005ème opération :
2004 2003 2003
2003
2
1 2
2 2
1 0 2
2006ème opération :
2005 2004 2005
2
1 2
2
1 ... 2
2 1 1 2
2004 2003 2004
2004 2
2
4) p/q (0<p<q et p et q premiers entre eux)?
Pour résoudre ce problème on distingue deux cas :p>q/2 et p<q/2.
*1er cas : p>q/2 1èreopération :
2 1 2
1 0
2ème opération : 2
2
1 2
2 0 1
3ème opération : 3
2
2 1
2 2 0 1
. . . . . .
(2p-q+2)ème opération : 2 2
2 1
2 1
2 2 0 1
q p
q p
. . . . . .
pème opération : p
p
2
1 1
2 2 0 1
(p+1)ème opération :
2 2
2 1 2 2
2
11
. . . . . .
(2p-1)ème opération :
p p p
p
2 1 2 2
2 1 1 2
1 1
(2p)ème opération :
2 2
1 1 2
2 1 2
2
1 2
2 2
1 0 2
q p
q q p
p q p
(2p+1)ème opération :
q p q
q p
q p p p p
q
p
2 2
1 2 2
2 3
2 2
1 ) 2
2 1 ... 2 2
1 (2 2 ) ... 1 2
( 1 1 0
*2ème cas : p<q/2
Alors il existe un unique entier naturel n tel que : q/2<2np<q.
Ainsi d’après le premier cas , après un certain nombre d’opérations on peut aboutir à q
np 2 . Et à l’aide des opérations suivantes on aura le résultat :
q p q
p
n n
2 1
2
0 2
q p q
p
n n
2 1
2 2
0 2
. . .
q p q
p
2 0 2
Et la preuve s’achève.
Annexe
labels=["p ?";"q ?"];
[ok,p,q]=getvalue("Entrez les valeurs :",labels,list("vec",1,"vec",1));
test=q*(q-1)/2;
test1=test/p;
test2=test/(q-p);
test1=log(test1)/log(2);
test2=log(test2)/log(2);
b=floor(max(test1,test2))+1;
obj=p*2^b;
a=[0:q-1]';
i=q;
if test==obj then
x_message(['Résultat :';"liste des i/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(q-1)]);
else
while test<obj
a(i)=a(i)+2^b-q+1;
test=test+2^b-q+1;
i=i-1;
end
if test==obj then if i==0 then
x_message(['Résultat :';"liste des (2^"+string(b)+"-i)/2^"+string(b)+" avec i de 0 à
"+string(q-1)]);
else
x_message(['Résultat :';"liste des i/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(i-1);"liste des (2^"+string(b)+"-i)/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(q-i-1)]);
end else
a(i+1)=a(i+1)+obj-test;
if i==0 then
x_message(['Résultat :';"liste des (2^"+string(b)+"-i)/2^"+string(b)+" avec i de 0 à
"+string(q-2);"et "+string(a(i+1))+"/2^"+string(b)]);
else
if i==q-1 then
x_message(['Résultat :';"liste des i/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(q-2);"et
"+string(a(i+1))+"/2^"+string(b)]);
else
x_message(['Résultat :';"liste des i/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(i- 1);"liste des (2^"+string(b)+"-i)/2^"+string(b)+" avec i de 0 à "+string(q-i-2);"et
"+string(a(i+1))+"/2^"+string(b)]);
end end end end
