Problème E550 - Solution de Jean Drabbe
1ère ENIGME
Nous dirons qu'un naturel n est convenable lorsque la troisième ligne est constituée exclusivement de carrés parfaits.
Propriété 1 - 2 , 4 , 6 , 7 et 11 ne sont pas convenables.
Vérification - Lorsque n ∈ {6,7}, il faudrait que, sous la 2ème ligne, 3 apparaisse sous 1 et sous 6 !
Lorsque n = 11 , il faudrait que 5 apparaisse sous 4 et sous 11 ! Les cas n ∈ {2,4} sont (aussi) triviaux.
Propriété 2 - Tout naturel n > 1 de la forme k^2 – 1 est convenable.
Vérification - Sous chacun des termes r de la 1ère ligne, il suffit d'écrire k^2 – r .
Propriété 3 - Si m est convenable et si k^2 > 2 • m + 1 alors, k^2 – m – 1 est convenable.
Vérification - Soit p une permutation de {1 , 2 , ... , m} telle que pour tout r (1 ≤ r ≤ m) , r + p(r) est un carré parfait.
Les deux lignes suivantes établissent la propriété :
1 2 ... m (m + 1) (m + 2) ... k^2 – m - 1 p(1) p(2) ... p(m) k^2 – m – 1 k^2 – m – 2 ... m + 1
Propriété 4 - Si 2 • m est convenable, m^2 l'est aussi.
Vérification - Soit p une permutation de {1 , 2 , ... 2 • m} telle que pour tout r (1 ≤ r ≤ 2 • m) , r + p(r) est un carré
parfait. La situation représentée par
1 2 ... 2 • m 2 • m + 1 2 • m + 2 ... m^2
p(1) p(2) ... p( 2 • m) m ^2 m^2 – 1 ... 2 • m + 1 établit la propriété.
Propriété 5 - Les naturels 2 , 4 , 6 , 7 , 11 sont les seuls naturels de l'intervalle [1 , 24] qui ne sont pas convenables.
Vérification - Pour n = 3 , utiliser les lignes 1 2 3 3 2 1
Pour n = 5 , 1 2 3 4 5 3 2 1 5 4 . Pour n = 8 , 15 , 24 , utiliser la propriété 2 . Pour n = 9 ,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 6 5 4 3 9 1 7
Pour n = 13 ,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2 13 12 11 10 9 1 7 6 5 4 3 Pour n = 17 , 18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 7 1 5 4 3 2 17 16 6 14 13 12 11 10 9 8 18
Pour n = 10 , 12 , 14 , 16 , 19 à 23 , utiliser 10 = 16 – 5 – 1 12 = 16 – 3 – 1 14 = 25 – 10 – 1 16 = 25 – 8 – 1 19 = 25 – 5 – 1 20 = 36 – 15 – 1 21 = 36 – 14 – 1 22 = 36 – 13 – 1 23 = 36 - 12 – 1
et la propriété 3 .
Proposition - Tous les naturels > 1 autres que 2 , 4 , 6 , 7 , 11 sont convenables.
Démonstration - Il suffit de montrer que si la proposition est vraie pour pour k > 4 , si la proposition est vraie pour tout
naturel < k^2 – 1 , elle le reste pour tous les naturels de l'intervalle [k^2 , (k+1)^2 – 1] .
Les égalités et inégalités (très élémentaires) suivantes k^2 = (k + 2)^2 – (4 • k + 3) – 1 k^2 + 1 = (k + 2)^2 – (4 • k + 2) – 1 ...
(k+1)^2 – 1 = ( k + 2)^2 – (2 • k +3) – 1
8 • k + 6 + 1 < (k+2)^2 lorsque k > 4 2 • k + 3 > 11 lorsque k > 4 permettent d'appliquer la propriété 3 .
Applications numériques - Comme 2011 = 45^2 – 13 – 1 , les propriétés 3 et 5 permettent de trouver TRES facilement une solution.
Pour ce qui concerne 1 000 000 , il suffit d'utiliser les propriétés 2 , 3 , 4 , 5 et les égalités
24 = 5^2 – 1 2000 = 45^2 – 24 – 1 .
*
* * 2ème ENIGME
Il est clair que, dans tous les cas, la deuxième ligne de la construction contient 0 en position finale, que les deux dernières composantes de la troisième ligne sont 0 et que, plus généralement, les (k-1) dernières composantes de la k-ième ligne sont nulles.
Par conséquent, le nombre de lignes possibles associé à n est tout au plus n – 1 . Nous allons montrer que cette valeur peut toujours être atteinte.
Définissons les suites S[n] (n>1) par la récurrence : S[2] est 1 , 2
et pour n > 2,
si n est impair, S[n + 1] s'obtient en insérant n + 1 entre les 1ère et 2ème composantes de S[n] , si n est pair, S[n + 1] s'obtient en plaçant n + 1 devant la suite S[n] .
Ainsi,
S[3] est 3 , 1 , 2 S[4] est 3 , 4 , 1 , 2
S[5] est 5 , 3 , 4 , 1 , 2 S[6] est 5 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2 ... ...
S[13] et S[14] sont respectivement
13 , 11 , 12 , 9 , 10 , 7 , 8 , 5 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2 et 13 , 14 , 11 , 12 , 9 , 10 , 7 , 8 , 5 , 6 , 3 , 4 , 1 , 2
Proposition - Pour tout n > 1 , le nombre de lignes (à l'exclusion de la première ligne et de la dernière ligne remplie
exclusivement de zéros) de la construction associée à S[n] est n – 1.
Démonstration - Les cinq premières lignes de la construction associée à S[2 • k] sont
2k–1 , 2k , 2k-3 , 2k-2 , 2k-5 , 2k–4 , ... , 1 , 2 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , ... , 1 , 0 0 , k–1 , 0 , k-2 , 0 , k-3 , ... , 0 , 0 k-1 , 0 , k-2 , 0 , k-3 , 0 , ... , 0 , 0 0 , k-2 , 0 , k-3 , 0 , k-4 , ... , 0 , 0
Remarquons que cette 5ième ligne est la 3ème ligne de la construction associée à S[2 • k – 2] , ligne en fin de laquelle on ajoute deux zéros en position finale.
Nous avons ainsi l'ingrédient clé d'une démonstration par induction lorsque n est pair.
Le traitement du cas n impair peut être effectué de manière analogue.
