Affaires de grandes puissances
Problème A530 de Diophante
1) Trouver le plus petit entier positif dont le tiers est un cube parfait, le septième est une puissance septième parfaite et le huitième est une puissance huitième parfaite.
2) Démontrer qu'il existe 2009 nombres entiers distincts qui sont compris entre 20087 et 20097 et dont le produit est une puissance septième parfaite.
Solution
1) Notons N le nombre cherché. Nécessairement il est divisible par 3, 7 et 8.
Cherchons N de la forme 2u3v7w. Les nombres u, v, w doivent satisfaire les contraintes suivantes :
u = 0 mod 21 v = 0 mod 56 w = 0 mod 24
u = 3 mod 8 v = 1 mod 3 w = 1 mod 7
La plus petite solution est : u = 147 v = 112 w = 120 Ainsi N = 3 [249337740]3 = 7 [221316717]7 = 8 [218314715]8