A2853. La formule surprise

A2853. La formule surprise

Déterminer le produit des solutions réelles de l’équation : (𝒙^𝟐− 𝟕𝒙 + 𝟏𝟏)^{𝒙𝟐)𝟏𝟑𝒙+𝟒𝟐} = 𝟏

SOLUTION

(𝑥⁰− 7𝑥 + 11)^34)563+70 = 1

⟺ (𝑥⁰− 13𝑥 + 42 = 0 et 𝑥⁰− 7𝑥 + 11 ≠ 0) 𝐨𝐮 𝑥⁰− 7𝑥 + 11 = 1

𝐨𝐮 B𝑥⁰− 7𝑥 + 11 = −1 et 𝑥⁰− 13𝑥 + 42 =𝑝

𝑞 avec 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ × ℕ^∗, PGCD(𝑝; 𝑞) = 1 et 𝑞 impairW.

• 𝑥⁰− 13𝑥 + 42 = 0 ⟺ 𝒙 ∈ {𝟔; 𝟕} . On a alors 𝑥⁰− 7𝑥 + 11 ≠ 0 pour ces deux valeurs de 𝑥.

• 𝑥⁰− 7𝑥 + 11 = 1 ⟺ 𝑥⁰− 7𝑥 + 10 = 0 ⟺ 𝒙 ∈ {𝟐; 𝟓} .

• 𝑥⁰− 7𝑥 + 11 = −1 ⟺ 𝑥⁰− 7𝑥 + 12 = 0 ⟺ 𝒙 ∈ {𝟑 ; 𝟒} .

On alors respectivement 𝑥⁰− 13𝑥 + 42 = 12 et 6 pour 𝑥 = 3 et 𝑥 = 4.

L’exposant étant pair, 3 et 4 sont donc bien solutions.

Conclusion : (𝑥⁰− 7𝑥 + 11)^34)563+70= 1 ⟺ 𝒙 ∈ {𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕}.

Ainsi, le produit des racines réelles de cette équation est égal à 𝟕! = 𝟓 𝟎𝟒𝟎 .