E119 – Un même air de famille
Deux suites d’entiers strictement positifs dont le premier terme est égal à 1 sont construites de la manière suivante :
1ère suite : le kième terme ak est égal à ak-1 – 2 si ak-1– 2 ne figure pas encore dans la suite et vaut ak-1 + 3 sinon.
2ème suite : le kième terme est le plus petit entier non encore écrit dans la suite tel que deux termes consécutifs ne diffèrent jamais de 1.
Q1 : Comparer entre eux les 2011ièmes termes des deux suites puis les 2012ièmes termes.
Q2 : Déterminer la suite dans laquelle tout terme qui est un carré parfait est toujours supérieur à celui qui le précède.
Solution par Patrick Gordon Q1
En dressant la liste des premiers termes de S1 : 1, 4, 7, 5, 3, 6, 9, 12, 10, 8, 11, 14…
on remarque une périodicité d'ordre 5, qui suggère la règle :
a5n+1 = 5n +1 a5n+2 = 5n +4 a5n+3 = 5n +7 a5n+4 = 5n +5 a5n+5 = 5n +3.
Un raisonnement par récurrence confirme cette hypothèse. Par exemple :
On part de a5n+1 = 5n +1. Peut-on avoir a5n+2 = 5n +1 – 2, soit : 5n – 1? Non, car 5n – 1 = 5(n–
1) + 4 figure déjà dans la liste (c'est a5(n-1)+2 = 5(n–1) +4). Donc : a5n+2 = 5n +1 + 3 = 5n + 4.
Etc.
En dressant la liste des premiers termes de S2 : 1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 10, 7, 9, 11, 13, 15…
on remarque également une périodicité d'ordre 5, qui suggère la règle :
b5n+1 = 5n +1 b5n+2 = 5n +3 b5n+3 = 5n +5 b5n+4 = 5n +2 b5n+5 = 5n +4
Ce que l'on vérifie, là aussi, par récurrence.
Ainsi la réponse à la question est :
a2011 = a2010+1 = 2011 a2012 = a2010+2 = 2014
b2011 = b2010+1 = 2011 b2012 = b2010+2 = 2013 Q2
Un carré parfait est égal à 0, 1 ou 4, mod. 5,
Comme a5n+4 = 5(n +1) + 0 est inférieur à son précédent a5n+3 = 5n + 7, la première suite ne convient pas.
Un carré parfait est égal à 0, 1, 4, 5, 6 ou 9, mod. 10.
On voit, sur la liste des b5n+q ci-dessus, que seuls b5n+4 et b5n+9 sont inférieurs à leur précédent.
Mais b5n+4 =5n +2 et b5n+9 = 5n +7. Ils ne peuvent ni l'un ni l'autre être des carrés parfaits.
La deuxième suite convient donc.
