A2853. La formule surprise
Déterminer le produit des solutions réelles de l’équation(𝑥2 − 7𝑥 + 11)(𝑥
2−13𝑥+42)
= 1 On a trois possibilités : soit le polynôme𝑥2− 7𝑥 + 11vaut 1(et donc n’importe laquelle de ses puissances vaut 1 aussi), soit il vaut -1 et son exposant est entier et pair, soit c’est l’exposant𝑥2− 13𝑥 + 42qui vaut 0 (et tout nombre puissance 0 vaudra bien 1).
Résolvons donc tous ces cas (sans même utiliser de déterminant : les racines de sont telles quePetSsont leur produit et leur somme)
𝑥2− 𝑆𝑥 + 𝑃 = 0
● Cas𝑥2− 7𝑥 + 11 = 1
On trouve les racines 5 et 2 (puisque 5x2 = 10 et 5+2 = 7)
● Cas𝑥2− 7𝑥 + 11 = − 1avec𝑥2− 13𝑥 + 42pair.
On trouve comme racine du premier polynôme 4 et 3 (puisque 4x3 = 12 et 4+3 = 7) De plus, pour tout entier,𝑥 𝑥2 − 13𝑥 + 42est pair : celà est aussi vrai pour 4 et 3
● Cas𝑥2− 13𝑥 + 42 = 0
On trouve les racines 6 et 7 (puisque 6x7 = 42 et 6+7 = 13) Les solutions sont donc : 2, 3, 4, 5, 6 et 7
