Exercice n°1. L’unité de longueur est le centimètre. On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB], le point S au segment [AC] et on a :
AB = 20 BC = 21 RB = 12 AS = 11,6 AC= 29
1) Montrez que les droites (RS) et (BC) sont parallèles.
2) Les droites (RS) et (AB) sont elles perpendiculaires
A S
R
B
C
Ne pas refaire la figure
II. Soit [AB] un diamètre du cercle de centre Oet de rayon 4,5 cm. Soit (xy) la tangente en A au cercle.
Placer sur la demi droite [Ax) les points L, M et K tel que AL=6 cm AM = 12 cm AK = 4cm.
Les droites (BL) et (MO) se coupent en R. La droite (KR) coupe (AB) en F et (AR) coupe (MB) en P. Les droites (KF) et (PO) se coupent en S
1) Que représente R pour le triangle AMB ? En déduire que P est le milieu de [MB].
2) Démontrez que (KF) et (AB) sont parallèles.
3) Quelle est la nature du quadrilatère AKSO ? Pourquoi ? 4) Calculez la longueur du segment [MB].
5) Calculez la longueur du segment [KF]
6) Calculez la mesure arrondie au dixième de degré de l’angle ABM ∧
x
y
A
B O
L K
M
R
P F S
Exercice n°1. L’unité de longueur est le centimètre.
On donne un triangle ABC. Le point R appartient au segment [AB], le point S au segment [AC] et on a : AB = 20 BC = 21 RB = 12 AS = 11,6 AC= 29 1) Montrez que les droites (RS) et (BC) sont
parallèles. 2) Les droites (RS) et (AB) sont elles
perpendiculaires A S
R
B
C 1) A, R, S sont alignés, A, S, C sont alignés dans le même ordre :
AR AB AS AC
= − = =
= = = ×
× = 20 12
20
8 20
2 5 11 6
29
116 290
2 58 5 58
2 5
,
doncAR
AB AS
= AC
2) Dans le triangle ABC :
AC ² = 29² = 841 AB ² + BC ² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841
Donc AC²=AB²+BC² D’après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. Donc (AB) et (BC) sont perpendiculaires.
De plus (RS) et (BC) sont parallèles.
Lorsque deux droites sont parallèles toutes perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Donc (RS) et (AB) sont perpendiculaires.
II. Soit [AB] un diamètre du cercle de centre O et de rayon 4,5 cm. Soit (xy) la tangente en A au cercle. Placer sur la demi droite [Ax) les points L, M et K tel que AL=6 cm AM = 12 cm
AK = 4cm. Les droites (BL) et (MO) se coupent en R. La droite (KR) coupe (AB) en F et (AR) coupe (MB) en P. Les droites (KF) et (PO) se coupent en S
1) Que représente R pour le triangle AMB ? En déduire que P est le milieu de [MB]. 2) Démontrez que (KF) et (AB) sont parallèles. 3) Quelle est la nature du quadrilatère AKSO ? Pourquoi ? 4) Calculez la longueur du segment [MB].
5) Calculez la longueur du segment [KF] 6) Calculez la mesure arrondie au dixième de degré de l’angle
ABM ∧
x
y
A
B O
L K
M
R
P F S
1) Dans le triangle AMB, O est le milieu de [AB] et L est le milieu de [AM] donc [MO] et [BL] sont deux médianes. R est donc le point d’intersection de deux médianes, R est le centre de gravité du triangle AMB.
(AR) est donc une droite qui passe par un sommet et par le centre de gravité du triangle AMO. ‘AR) est donc le support de la troisième médiane. Elle coupe donc le troisième côté en son milieu, donc P est le milieu de [MB]
2) M, K, A sont alignés M, R, O sont alignés et dans le même ordre
MR MO = 2
3
car R est le centre de gravité de ABM : il est donc situé au deux tiers de la médianeMK
MA = = ×
× = 8
12
4 2 4 3
2 3
doncMR MO
MK
= MA
D’après la réciproque du théorème de Thalès (RK) et (OA) sont parallèles Donc (FK) et (AB) sont parallèles.3) Dans le quadrilatère AKSO : (KS) et (AO) sont parallèles (d’après la question précédente) Dans le triangle AMO : O est le milieu de [AB] et P est le milieu de [MB]
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèles au côté opposé donc (OS) et (AM) sont parallèles.
Lorsqu’un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme .
De plus (xy) est la tangente en A au cercle de centre O donc (xy) est perpendiculaire au diamètre [OA]
Lorsqu’un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Donc AKDO est un rectangle.
4) [AM] et [AB] sont perpendiculaire donc AMB est un triangle rectangle en A.
D’après le théorème de Pythagore : MB²=AB²+AM²
MB²=(4,5×2)²+12²=9²+144=81+144=225=15² MB=15 cm 5) Calcul de KF
M, K, A sont alignés M, F, B sont alignés (AB) et (KF) sont parallèles Le théorème de Thalès appliqué aux triangle MAP et MAB affirme que :
MK MA
MF MB
KF
= = AB
D’après la deuxième questionKF AB
= = 2 KF
3 9
3×KF=18 KF=6 cm 6° Dans le triangle AMB rectangle en A :D’après la réciproque du théorème de Thalès les droites (RS) et (AB) sont parallèles
cos cot
cos ,
ABM é AB
MB ABM
ABM
∧ = = ∧
=
∧ ≈
°
adjacent
hypothé nuse donc valeur approché e arrondie au dixième de degré
9 15 53 1
x
y
A
B O
L K
M
R
P F S
