Première partie : Calcul numérique

Janvier 1995 : Devoir commun de troisième

Consignes : les trois parties doivent être rédigées sur des copies doubles différentes. A la fin des deux heures, vous les glisserez l'une dans l'autre et les rendrez au professeur.

L'usage du blanco est interdit ainsi que le prêt du matériel en particulier de la machine à calculer.

Toute tentative de fraude sera sévèrement sanctionnée

La présentation ainsi que la rigueur de l'écriture mathèmatique seront notées.

Chaque élève est tenu de rester au minimum une heure dans la salle.

Première partie : Calcul numérique

Exercice 1 : Effectuer en détaillant les calculs. Pour le C vous donnerez l'écriture scientifique du résultat.:

23 12 5

10 42

10 21 , 0 10 7

; 49 1 15

7 2 5 1

; 5 5 4 7 5 7 3

×

×

×

= ×

−

−

= −



 

 −

×

−

= B C ⁻

A

Exercice 2 : Soit ^D=

(

) (

)(

)

a) Développer et réduire D

b) Metttre D sous la forme d'un produit de facteurs c) Calculer D pour x= −3

2

Exercice 3 : Factoriser ^E=

(

)

(

)

Exercice 4 : Combien de bouteilles de 3

8 de litre peut-on remplir avec 96 litres de vin ? Exercice 5 : J'ai dépensé les 3

4 des 2

3 de 120 F. Combien ai-je dépensé ?

Deuxième partie : Travaux géométriques

Exercice 1 : Dans un triangle BCD, CBD mesure 90° et BDC mesure 28°

BD = 15 cm.

Calculer BC (valeur arrondie au millimètre près) Exercice 2 : (Les trois questions sont indépendantes)

Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4 cm et BC = 8 cm 1) Calculer la valeur de AC arrondie au millimètre près.

2) calculer la mesure de l'angle ACB

3) Soit D un point tel que BD = 4,8 cm et CD = 6,4 cm. Démontrez que BDC est un triangle rectangle.

Exercice 3 : Tracer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4,8 cm et BC = 8,4 cm.

Troisième partie : questions enchainées

Sur une droite d, placer les points A, B, C dans cet ordre tels que AB = 6 cm, BC = 3 cm.

O est le milieu de [AB] et O' est le milieu de [BC]. Tracer le cercle C de diamètre [AB] et le cercle

C '

La droite (BD) coupe C ^{' en E.}

1) Faire un dessin que l'on complétera tout au long du problème.

2) Donnez la nature des triangles ADB et BCE (Justifier votre réponse). En déduire que (AD) et (CE) sont parallèles.

3) Calculez CE.

4) Construire le point F symétrique de E par rapport à C. (FB) coupe (AE) en J et (FA) coupe (DE) en I.

a) Que représente [AC] pour le triangle AEF ? b) Vérifiez que AB = 2

3AC. Que représente B pour le triangle AEF ? c) Démontrez que I est le milieu de [AF] et que J est le milieu de [AE].

5) Démontrez que (IJ) est parallèle à (AD).

Janvier 1995 : Devoir commun de troisième Correction (présentation 4 pt) Première partie : Calcul numérique

) 5 , 1 18( 16

-

16 23

7 23

12 5

) 5 , 1 (

(1pt)

10 5 , 3 10 035 , 0

2 10 07 , 0 10

7 2 3

07 , 0 3 10 7 10

42

10 21 , 0 10 7

10 7 2

17 7 7 5 7

17 49

34 35 17

49 15 49 49

35 10 35

7

49 1 15

7 2 5 1

7 - 18 7 = - 21 7

= 3 5 21 7 5 7

= 3 5 4 5 25 7

5 7

= 3 5 5 4 7 5 7 3

pt

pt

C B A

−

− −

×

=

×

=

×

× =

×

×

×

×

= ×

×

×

×

= ×

−

× =

× ×

− ×

− =

=

−

−

= −

−

−

= −

×

 −



 



 −

×

 −



 

 −

×

−

=

Exercice 2 : Soit D = (3x–2)² – (x–5)(3x–2) a) D = (9x²–12x+4) – (15x²–2x–15x+10)

= 9x²–12x+4–15x²+2x+15x–10 = –6x²+5x–6 (1pt) b) D = (3x–2) [(3x–2) – (x–5)] = (3x–2) (2x+3)

c) D = – 6×

2

2 3



 

− +5×



 – 3

2 – 6 = –6 ×9 4 – 15

2 – 6 = – 27 2 – 15

2 – 12

2 = – 54

2 = –27 (1pt) Exercice 3 : Factoriser

( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )( )

(

) [

(

) ] [

(

) ] (

)(

)

49

8 2 5

3 5 3

= 25 3

2 2 2

− +

=

− +

−

−

=

−

−

=

+

−

= + +

− +

− +

=

x x

x x x

x x

x F

x x x

x x

E (1pt et 2pt)

Exercice 4 : Combien de bouteilles de 3

8 de litre peut-on remplir avec 96 litres de vin ? 96 3

8 96 8

3 32 8 256

÷ = × = × = . Je peux remplir 256 bouteilles.(1pt) Exercice 5 : J'ai dépensé les 3

4 des 2

3 de 120 F. Combien ai-je dépensé ?(1pt) 120 3

4 2 3

120

2 60

× × = = J'ai dépensé 60 F.

Deuxième partie : Travaux géométriques

Exercice 1 : Dans un triangle BCD, CBD mesure 90° et BDC mesure 28°

BD = 15 cm.Calculer BC (valeur arrondie au millimètre près) (2 pt) C

B 28° D

15 cm

Dans le triangle BCD rectangle en B : tan

tan

D = côté opposé côté adjacent D = BC

BD donc tan 28 = BC 15 BC = 15 tan 28 7, 97 cm

BC 8,0 cm valeur arrondie au millimètre près

°

× °≈

≈

Exercice 2 :construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 4 cm et BC = 8 cm 1) Calculer la valeur de AC arrondie au millimètre près.

A

B 8 cm C

D

4,8 cm 6,4 cm

4 cm

0,5pt

1) Dans le triangle ABC rectangle en A appliquons le théorème de Pythagore :

BC² = AB² + AC² 8² = 4² + AC² 64 = 16 + AC² 64 - 16 = AC² AC² = 48

AC = 48cm valeur exacte

AC ≈≈ 6,9 cm valeur arrondie au millimètre près (1,5 pt)

2) Dans le triangle ABC rectangle en A :

sin $ $ ,

$

C côté C

= = =

= °

opposé

hypoténuse sin C =AB BC

4 8 0 5 30

(1pt) 3) Dans le triangle BDC

BD = 4,8 cm BC = 8 cm DC = 6,4 cm

BD² = 23,04 BC² = 64 DC² = 40,96

40,96 + 23,04 = 64 donc BD² + DC² = BC²

D'après la réciproque du théorème de

Pythagore, le triangle BDC est rectangle en D.

(2 pt)

Remarque (hors problème) : le triangle ABC est rectangle en A donc ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] de même: le triangle DBC est rectangle en D donc DBC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] donc les quatre points ABCD appartiennent au cercle de diamètre [BC]

Exercice 3 : T'racer un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4,8 cm et BC = 8,4 cm.

Sur la demi droite d'origine B contenant A, on place E tel que BE = 11 cm Sur la demi droite d'origine C contenant A, on place F tel que CF = 8,8 cm 1) Calculez AE et AF.

2) Prouver que (EF) et (BC) sont parallèles 3) Calculer la longueur du segment [EF].

A

B C

E

F

6 cm

4,8 cm 8,4 cm

5 cm

4 cm

1) AE = EB - AB = 11 - 6 = 5 cm AF = FC - AC = 8,8 - 4,8 = 4 cm (1 pt)

2) Dans le triangle ABC, E, A, B sont alignés F, A, C sont alignés dans le même ordre

AF AC AE AB

AF AC

= = = =

= =

4 4 8

1 1 2

10 12

5 6 5

6

, ,

donc AE AB

D'après la réciproque de théorème de Thalès, les droites (EF) et (BC) sont parallèles (2 pt) 3) E, A, B sont alignés

F, A, C sont alignés

(EF) et (AB) sont parallèles (2 pt)

Le théorème de Thalès appliqué aux triangles EAF et ABC affirme que :

AE AB

AF AC

EF

= = BC donc EF = BC

5 6

EF

cm 8 4

5 6

7

, = × ×

=

donc 6 EF = 5 8, 4 EF = 42

6

questions enchainées :

O est le milieu de [AB] et O' est le milieu de [BC]. Tracer le cercle C de diamètre [AB] et le cercle C ' '

de diamètre [BC]. Sur C placer le point D tel que AD = 3,6 cm.

La droite (BD) coupe C ' en E.1) Faire un dessin que l'on complétera tout au long du problème.

2) Donnez la nature des triangles ADB et BCE (Justifier votre réponse). En déduire que (AD) et (CE) sont parallèles.3) Calculez CE

4) Construire le point F symétrique de E par rapport à C. (FB) coupe (AE) en J et (FA) coupe (DE) en I.

a) Que représente [AC] pour le triangle AEF ? b) Vérifiez que AB = 2

3AC. Que représente B pour le triangle AEF ? c) Démontrez que I est le milieu de [AF] et que J est le milieu de [AE]

5) Démontrez que (IJ) est parallèle à (AD) 1 pt

A

O B C

D

E O'

F

J

I

C

C ^'

2) ADB est un triangle inscrit dans le cercle de diamètre [AB], il est donc rectangle en D.

BCE est inscrit dans le cercle de diamètre [BC] donc il est rectangle en E.

(AD) et (DB) sont perpendiculaires de même (BE) et (CE) sont perpendiculaires, de plus BCE sont alignés.(1 pt)

(AD) et (CE) sont perpendiculaires à une même droite (BE) donc (AD) et (CE) sont parallèles.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, elles sont parallèles.(1 pt) 3) D, B, E sont alignès

A, B, C sont alignés et (AD) et (CE) sont parallèles

Le théorème de Thalès appliqué aux triangles BDA et BCE affirme que : BD

BE

BA BC

AD EC

AD

EC EC

EC cm

= = = =

× = × × =

donc BA

BC donc 6

3 donc EC = 3, 6 3

6

3 6

6 3 6 3 1 8

,

, ,

(2 pt)

4) a) Dans le triangle AEF, F est le symétrique de E par rapport à C donc C est le milieu de [EF] donc [AC] est une médiane.(1,5 pt)

b)2

3AC =2

3.(AB + BC) = 2

3 (6 + 3) =2

3.9 = 6 cm AB = 6 cm donc AB = 2

3AC (1 pt) B est un point de la médiane [AC] situé au deux tiers de celle-ci.

Donc B est le centre de gravité de AEF. (1,5 pt)

5) Dans le triangle AEF, [EI] passe par le sommet E et par le centre de gravité B donc [EI] est un médiane et I est le milieu de [AF]

de même : [FJ] passe par le sommet F et par le centre de gravité B donc [FJ] est un médiane et

Exercice : Montrer que (IJ) est la médiatrice de [DE]