Baccalauréat Blanc de spécialité Mathématiques
Durée : 4h
Les calculatrices de poche sont autorisées selon la norme en vigueur
EXERCICE1 5 points
Soientf etg les fonctions définies surRpar f(x)=e2x et g(x)=2ex−1.
On noteCf etCg les courbes représentatives des fonctions f etg dans un repère orthogonal.
1. Soitg′la fonction dérivée de la fonctiong surR.
(a) Calculerg′(x), étudier son signe et en déduire les variations deg surR.
(b) Démontrer que l’équation g(x)= 0 admet une et une seule solution dansR, et en donner une valeur approchée au millième.
2. Démontrer que les courbesCf etCg ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la même tangente∆dont on déterminera une équation.
3. Étude de la position relative de la courbeCg et de la droite∆ Soithla fonction définie surRparh(x)=2ex−2x−2.
(a) Déterminer la limite de la fonctionhen−∞. (b) Justifier que, pour tout réelx6=0 :h(x)=2x
µex
x −1−1 x
¶ . En déduire la limite de la fonctionhen+∞.
(c) On noteh′la fonction dérivée de la fonctionhsurR.
Pour tout réelx, calculerh′(x) et étudier le signe deh′(x) suivant les valeurs dex.
(d) Dresser le tableau de variations de la fonctionhsurR. (e) En déduire que, pour tout réelx, 2ex−1Ê2x+1.
(f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbeCg et de la droite∆? 4. Étude de la position relative des courbesCf etCg
(a) Pour tout réelx, développer l’expression¡
ex−1¢2
. (b) Déterminer la position relative des courbesCf etCg.
EXERCICE2 5 points La figure en annexe est à compléter tout au long de l’exercice.
ABC DE FG H est un cube standard.
Le plan est muni du repère orthonormé (A,−→
AB,−−→ AD,−→
AE).
1. Construire les pointsI,JetK définis par :
−→ AI=−→
AB+1 3
−−→ AD, −→
A J=2 3
−−→ AD+−→
AE, −−→ AK=3
4
−→AB+−→
AE. 2. Déterminer les coordonnées des pointsI,JetK.
3. Démontrer que les pointsI,JetK ne sont pas alignés.
4. SoitLle point d’intersection de la droite (C D) et du plan (I J K).
Démontrer que les droites (I L) et (K J) sont parallèles.
Qu’en déduire pour les vecteurs−→ I Let−→
K J? 5. Soitkle réel tel que−→
DL=k−−→ DC. (a) Démontrer queL(k,1,0).
(b) Démontrer quek=1 4.
6. Quelle est la nature du quadrilatèreI K J L? 7. Soit d la droite de représentation paramétrique :
x = −t + 1 y = 1
3t + 1 z = t 3
,t∈R.
Démontrer qu’elle est sécante à (K L), et préciser les coordonnées du point d’intersection.
EXERCICE3 5 points Dans tout l’exercice, on donnera les valeurs exactes des résultats, sauf si une valeur approchée est demandée.
Un enfant joue avec 20 billes : 12 rouges et 8 vertes. Il met 8 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 4 rouges et 5 vertes dans une boîte sphérique.
1. Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique. Parmi tous les tirages possibles, combien comportent :
(a) 3 billes vertes?
(b) 3 billes rouges?
(c) exactement 1 bille rouge?
2. Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l’enfant choisisse d’abord au hasard une des deux boîtes, puis qu’il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les évènements suivants :
C : « L’enfant choisit la boîte cubique », S: « L’enfant choisit la boîte sphérique », R: « L’enfant prend une bille rouge », V : « L’enfant prend une bille verte ».
(a) Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu.
(b) Démontrer que la probabilité de l’évènementRest égale à 58 99.
(c) Sachant que l’enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la boîte cubique?
3. L’enfant reproduit 10 fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
SoitX la variable aléatoire égale au nombre de fois où il a tiré une bille rouge.
(a) Quelle est la loi deX? Justifier.
(b) Donner la valeur exacte, à l’aide des coefficients binomiaux, deP(X =5).
Puis, à l’aide de la calculatrice, en donner la valeur approchée au millième.
(c) Déterminer la probabilité qu’il ait tiré au moins trois boules rouges au cours de ces 10 tirages.
Donner la valeur approchée au millième.
EXERCICE4 5 points On considère la fonction f définie surR−{−3} par : f (x)=2x+2
x+3 . 1. Étudier les variations def surR−{−3}.
On admettra pour la suite de l’exercice que f est croissante sur]−3;+∞[.
2. En déduire que pour toutx∈[0;1], f (x)∈[0;1].
3. Dans toute la suite du problème, on considère la suite (un) définie par :u0=0 etun+1=f (un) ,n∈N.
Conjecture graphique
(a) Dans le repère de l’annexe , on a tracé la courbe représentativeC de def sur l’intervalle [0;1], ainsi que la droite d’équationy=x.
Construire sur l’axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite (un).
(b) Conjecturer les variations et la convergence de la suite (un).
4. Première méthode
(a) Montrer par récurrence que, pour toutn∈N, 0≤un≤1.
(b) Par la méthode de votre choix, étudier les variations de la suite (un).
(c) Montrer que la suite (un) converge.
(d) Déterminer la limite de la suite (un).
5. Deuxième méthode
On considère la suite (vn) définie pour toutn∈Npar :vn=un−1 un+2. On admet que cette suite est bien définie pour toutn∈N
(a) Prouver que (vn) est une suite géométrique de raison1
4 . Préciser son premier terme.
(b) Exprimervnen fonction den.
(c) Exprimerunen fonction devn, puis en fonction den.
On pourra admettre pour la suite que pour tout n entier : un=
¡1
4
¢n
−1
−1
2ס1
4
¢n
−1 (d) En déduire la limite de la suite (un).
6. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il renvoie le rang à partir duquelun>0,999 : n←0
U←...
Tant que . . . ...←...
...←...
Fin de Tant que Quel est ce rang?
ANNEXE NOM :
Prénom : EXERCICE2
A B
C D
H G
E F
EXERCICE4
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Cf
D:y=x
