Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant

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Réécriture algébrique dans les systèmes d’équations

différentiellespolynomiales en vue d’applications dans les

Sciences du Vivant

François Boulier

To cite this version:

François Boulier. Réécriture algébrique dans les systèmes d’équations différentiellespolynomiales en

vue d’applications dans les Sciences du Vivant. Génie logiciel [cs.SE]. Université des Sciences et

Technologie de Lille - Lille I, 2006. �tel-00137153�

Laboratoire d'Informatique Fondamentale de Lille

Équipe Cal ul Formel

59655 Villeneuve d'As q, Fran e

Mémoire d'Habilitation à Diriger des Re her hes

Numéro d'ordre : H497

Réé riture algébrique dans les systèmes d'équations diérentielles

polynomiales en vue d'appli ations dans les S ien es du Vivant

François Boulier

Soutenan e le 4 mai 2006 devant le jury

Max Dau het LIFL Président

Daniel Lazard LIP6 Rapporteur

Claude Gomez INRIA Rapporteur

Greg Reid ORCCA Rapporteur

Gérard Ja ob LIFL Dire teur

Mi hel Petitot LIFL Examinateur

Bruno Salvy INRIA Examinateur

Une journéeexisteetla pré édenteexiste et ellequi pré ède lapré édente,et elled'avant...etelles

sont bienagglutinées, desdizaines ensemble, destrentaines,des années entières, eton n'arrivepas àvivre,

soi,mais seulement àvivrelavie,etl'on esttoutétonné.

L'homme du pays de la Magie sait bien ela. Ilsait que la journée existe et très forte, très soudée, et

qu'ildoitfaire equelajournéenetientpasàfaire.

Il her hedon àsortirsajournéedumois.C'estl'attraperquiestdi ile.Et en'estpaslematinqu'on

y arriverait. Mais vers deux heures de l'aprèsmidi, il ommen e à la faire bouger, vers deux heures, elle

bas ule,ellebas ule;là,il fautêtretoutàsonaaire, peser,tenir,lâ her, dé harger, onvoyer pardessus.

Enn il la détourne, la hevau he. Ils'en rend maître. Et vite à l'important, vite, obligé qu'il sera 

hélas!àabandonnerlajournéeàl'en len hement dessuivantesauplustardversminuit.Maisquefaire?

C'est làletribut àl'existen eanimale. 

AupaysdelaMagie

HenriMi haux

Mes premiersremer iementsvontà Isabelle, HugoetSophiequi me demandent biensûr

beau oup detemps maismedonnent lafor eetl'équilibrené essaires pour mener etravail.

Jeremer ietouslesmembresdujuryetenparti ulierlestroisrapporteursde emémoire.

Daniel Lazard était déjà un des rapporteurs de ma thèse de troisième y le. Une partie

importante des résultats que j'expose lui est due soit dire tement soit par l'intermédiaire

de ses étudiants. J'ai ren ontré Greg Reid pour la première fois en 1995. Depuis dix ans,

nousavonseu denombreuxé hangestrèsfru tueux.Je onnaisbeau oup moinsbienClaude

Gomez. En a eptant de rédiger un rapportsur e mémoire,dont le ontenu est éloigné de

son domaine de re her he, ClaudeGomez m'apporte un avis très importantpour lefutur.

Jeremer ie tous lesmembres del'équipede al ulformelduLIFL,en parti ulierGérard

Ja ob qui m'a en adré dans la préparation de ette habilitation à diriger des re her hes,

François Lemaire et Alexandre Sedoglavi qui ont relu e do ument, Mi hel Petitot qui

dirige l'équipe, Nour-Eddine Oussous, Leopold Weinberg, Hoang Ngo Minh, Raouf Dridi,

Nata haSkrzyp zak etAsli Ürgüplü. Sans oublierni SylvainNeut niMar Moreno Maza.

Jeremer ieennLilianneDenisVidal,GhislaineJolyBlan hard,Mar Lefran ,François

Yves Bouget et tous les membres du groupe de travail onsa ré à la modélisation du yle

ellulaired'ostreo o us tauri.Ils m'apportent lesappli ations qui aiguillentmon travail.

Le 13mars 2006,

Remer iements 2

Introdu tion 7

I Premier onta t 14

1 Introdu tion à l'éliminationdiérentielle et aux logi iels 15

1.1 L'éliminationde Gauss . . . 15

1.2 L'éliminationalgébrique . . . 16

1.2.1 Éliminationen MAPLE . . . 17

1.2.2 Éliminationave BLAD . . . 18

1.3 L'éliminationdiérentielle . . . 21

1.3.1 Éliminationen MAPLE . . . 22

1.3.2 Éliminationdiérentielle ave BLAD . . . 23

1.3.3 Autres lassements . . . 24

2 Arithmétique des polynmes diérentiels 25 2.1 Polynmes non diérentiels. . . 25

2.1.1 Saturations . . . 27

2.2 Polynmes diérentiels . . . 28

2.2.1 La rédu tionde Ritt . . . 30

2.3 Corre tion des exer i es . . . 31

2.4 Finitude . . . 37

3 Solutions d'un système diérentiel 41 3.1 Deux règles d'inféren e etun théorème . . . 42

3.2 Lesrègles d'inféren e . . . 43

3.3 Troisversions du théorème des zéros . . . 44

3.3.1 Solutionsabstraites . . . 44

3.3.2 Solutionsen séries formelles . . . 45

4 Élimination diérentielleet estimation de paramètres 53

4.1 Unesolution purement numérique . . . 55

4.1.1 Identiabilité . . . 56

4.1.2 Matri e de sensibilitéde Fisher . . . 57

4.2 Méthode symboliquenumérique . . . 58

4.2.1 Lesdi ultés . . . 61

4.2.2 L'implantation . . . 62

5 Algèbre diérentielleet simpli ation anonique 65 5.1 Unpolynmeen une indéterminée . . . 66

5.1.1 Dénitionde laforme normale. . . 66

5.1.2 Dé ider de la nullité et de l'inversibilité . . . 67

5.1.3 Algorithmique . . . 67

5.2 Systèmestriangulairesunitaires omportantautantd'équationsqued'in onnues 68 5.2.1 Dénitionde laforme normale. . . 68

5.2.2 Dé ider de la nullité et de l'inversibilité . . . 69

5.3 Systèmes triangulaires . . . 73

5.3.1 Lepoint lef et ladénition des haînes régulières . . . 73

5.3.2 Dé ider de la nullité et de larégularité . . . 75

5.3.3 Dénitionde laforme normale. . . 75

5.4 Systèmes diérentielsordinaires . . . 76

5.4.1 Ladénition des haînes diérentielles régulières . . . 77

5.4.2 Dé ider de la nullité et de larégularité . . . 78

5.4.3 Dénitionde laforme normale. . . 79

5.5 Systèmes auxdérivées partielles . . . 81

5.6 Attributs des haînes diérentielles régulières . . . 84

6 Appli ations algorithmiques des haînes diérentielles régulières 86 6.1 Appli ations de l'algorithme de formenormale . . . 86

6.1.1 Un ritèrede primalité . . . 86

6.1.2 Déte ter des dépendan es linéaires dans un anneauquotient . . . 87

6.1.3 Cal ulerdans les modulesde diérentielles de Kähler . . . 88

6.1.4 Cal ulerdes solutions en série formelle . . . 97

6.1.5 Un résultatd'indé idabilité . . . 100

6.2 Algorithmesde al ul de haînes régulières . . . 102

6.2.1 L'algorithmereg_ hara teristi . . . 102

6.2.2 L'algorithmeregalise . . . 104

7.1 L'équidimensionnalité. . . 110

7.2 Lelemme de Lazard . . . 116

7.3 Lelemme de Rosenfeld . . . 117

7.3.1 Laversion de Seidenberg . . . 120

7.4 Le lifting du lemme de Lazard . . . 121

III Les mé anismes de s indages et de omplétion 122 8 Étude d'un système lentrapide 123 8.1 Lemodèle initial . . . 124

8.2 Rédu tion exa te du modèle . . . 127

8.3 Lemodèle en BLAD aprèsrédu tion exa te . . . 128

8.4 Approximation du modèle . . . 131

8.5 Simulationnumérique. . . 136

8.5.1 Di ultés de l'intégration numérique . . . 137

9 Simpli ation de systèmes diérentiels 139 9.1 RosenfeldGröbner sur deux exemples . . . 141

9.1.1 Un exemplediérentielordinaire . . . 142

9.1.2 Un exempleaux dérivées partielles . . . 144

9.2 Leproblème de l'in lusiondes omposantes . . . 146

9.3 Extensionde lanotion de paire ritique . . . 147

9.4 Pseudo ode de RosenfeldGröbner . . . 147

9.5 Optimisationdu mé anismede omplétion . . . 150

9.6 Sousproblèmes algébriques . . . 151

9.7 Rédu tion de problèmes algébriqueset omplexité . . . 151

IV Les bibliothèques BLAD 153 10 Con eption des bibliothèques BLAD 154 10.1 Premiers hoix . . . 154

10.1.1 Éviterd'é rire un système de al ulformel . . . 154

10.1.2 Le hoixde lali en e . . . 154

10.1.3 Le hoixdu langage. . . 155

10.2 Stru ture générale des bibliothèques . . . 157

10.3 Lagestion de la mémoireet legarbage olle tor . . . 157

10.3.1 Lemé anisme à deux piles . . . 158

10.3.2 Lemé anisme de Faugère . . . 161

10.3.3 Avantage du style pro édural . . . 163

10.5 Lespolynmes. . . 166 10.5.1 Choix de la représentation . . . 166 10.5.2 Réalisation . . . 167 10.5.3 Itérateursde oe ients . . . 169 10.5.4 Additionet multipli ation . . . 171 10.5.5 Lepg d de deux polynmes . . . 172 Con lusion 174 Index 175 Bibliographie 181

Fil dire teur. Dans son livre Physique quantiqueet représentation du monde , Erwin

S hrödinger é rit (les expressions en italique sont soulignées par lui) :  tout s ientique

devrait à longtermeêtre apabled'expliquerà n'importe qui e qu'ilafait etlaraisonpour

laquelle il l'afait .

Jesuisuninformati ien,spé ialisédansledomainemathématiquedelasimpli ationdes

systèmes d'équations diérentielles ordinaires ou aux dérivées partielles polynomiales. J'ai

inventépendantmathèse[7,9℄un belalgorithmethéoriquesur e sujet, nomméRosenfeld

Gröbner. Les années qui ont suivi, j'en ai beau oup travaillé la théorie [10, 8, 12, 11℄.

Au-jourd'hui,j'essaie de le rendreutile .

Je m'explique : l'algorithme RosenfeldGröbner a beau oup d'appli ations théoriques

queje netrouvepas très ... satisfaisantes. C'estsubje tif biensûr. Voi iun exempleun peu

ari atural : RosenfeldGröbner permet de dé ider si un système quel onque d'équations

diérentielles polynomialesadmet au moins une solution analytique. C'est une appli ation

très importanted'un pointde vue théoriquemaissans véritableintérêt pratique.J'aiétudié

de nombreuxsystèmes diérentiels. Ilsonttous des solutions,pourdes raisonsévidentes qui

tiennent àleur on eption.

Jesuispluttàlare her he d'appli ations onvain antesen physique, himieoubiologie.

Trois di ultés apparaissent.La première : il faut  réer la demande . Les prati iens des

domainess ientiquesvisésne sontpashabitués àutiliserlesméthodesquenousproposons.

RosenfeldGröbner résoutun problème théoriquequi est restéquasimentouvert jusqu'à son

invention. Que font alors les prati iens onfrontés à de tels problèmes? Ils résolvent  à la

main  leurs as parti uliers [103℄ oulesreformulent.

Deuxième di ulté : la théorie mathématique sur laquelle RosenfeldGröbner s'appuie

n'est onnuequed'unepetite minoritéde s ientiques.Ils'agitde l'algèbrediérentielle.

Elleaétéinventéeau oursdelapremièremoitiéduvingtièmesiè leàlagrandeépoquedela

géométriealgébriqueoùontété misesaupointlathéoriedesanneauxN÷thériens, lathéorie

des idéaux ... Joseph Fels Ritt é rit dans l'introdu tion de son livre [86℄ qu'il a été très

impressionnéparlelivreDieModerneAlgebrade BrunoLouis VanDerWaerdenetqu'il

a souhaité développer une théorie équivalente pour les équations diérentielles. L'algèbre

diérentielle est une très bellethéoriealgébrique des équations diérentiellesmais ilreste à

lapopulariser auprès du grand publi s ientique.

Troisièmedi ulté:l'algorithmiquedeRosenfeldGröbnerestdi ile.D'unepart,même

pour ne iter que lui) qui avaient é happé aux spé ialistes jusqu'aux années 19952000.

D'autre part, il est très di ile d'implanter l'algorithme en dehors d'un système de al ul

formel. L'implantation quej'ai réaliséedans les bibliothèques BLADen langageCest assez

minimale. Elle omporte quarante mille lignes de ode dont vingt inq mille pour le seul

al ul du pg d de deux polynmes en plusieurs indéterminées et à oe ients entiers. Le

publi de physi iens, himistes ou biologistes que j'aimerais séduire programme la plupart

du temps en FORTRAN ou en C. Pour les onvain re d'utiliser RosenfeldGröbner, il est

don inutile d'é rire des arti les de re her he dans des journaux de al ul formel : il faut

fournir un omposantlogi iel (par exemple une bibliothèque) prêt àl'emploi.

Appli ations. Je ne onnais que deux appli ations (au sens expliqué plus haut) d'un

algorithme d'élimination en algèbre diérentielle tel que RosenfeldGröbner. La première

on erne le problème de l'estimation des valeurs des paramètres d'un système dynamique

à partir d'observations (de mesures), lorsque toutes les variables du système dynamique ne

sont pas observées. Cette appli ation a été inventée par GhislaineJolyBlan hard,Lilianne

DenisVidal et CélineNoiret qui onttravailléen ollaborationave Mi hel Petitot. Elleest

exposée danslathèse [75℄de CélineNoiret. L'étudedel'identiabilitélo aleouglobaled'un

systèmepardesméthodesd'éliminationdiérentielleest unproblèmean ien[105,42,78,32,

34, 33, 64℄ et toujours a tuel [3, 93℄. L'originalitéde la thèse de Céline Noiret réside d'une

part dans l'utilisationd'algorithmesd'éliminationdiérentielle rigoureux,d'autrepart dans

l'étude omplèted'exemples, 'estàdirejusqu'àl'estimationnaledes paramètres.C'est e

problèmequiamotivél'é rituredesbibliothèquesBLADdèslesannées2000.J'aimontéave

LilianneDenisVidal leprojet LÉPISME(pour  logi iel dédiéà l'estimation de paramètres

et à l'identi ation systématique de modèles ) qui a reçu un nan ement MathSTIC en

2003. La première version d'un logi iel dédié à l'estimation de paramètres a été réalisée en

août 2004 en même temps que la première version des bibliothèques BLAD. Ce logi iel a

été onçu en vue d'une appli ation en biologie. Il a été programmé par François Lemaire,

Thibaut Heninetmoien juilletaoût2004etadonnélieuàl'arti le[6℄. Nousavons répondu

sans su ès ourant 2005 à un appel à projets INSERMINRIACNRS pour nan er la

ontinuationdenotrelogi iel.Ceretourd'informationsnous onduitàreprendrelaréexion

sur le futur de notre projet, en ollaboration ave Alexandre Sedoglavi , Philippe Durif et

d'autres. Parallèlement, Leopold Weinberg a ommen é en 2003 une thèse oen adrée par

NourEddineOussousetmoisurl'aspe tidenti ationdemodèlesdeLÉPISMEàpartir

des idées exposées dans [76℄.

La se onde appli ation queje onnaisse vient d'un problèmed'étude d'unmodèle

d'hor-loge  ir adienne  ( 'estàdire d'horloge de période approximativement égale à vingt

quatre heures) dans un organisme uni ellulaire [103℄. Dans e ontexte, un algorithme tel

queRosenfeldGröbnerpermetd'automatiserune partied'unpro essusde rédu tionde

mo-dèles, e qui permetde déterminerdes intervalles de valeurspour lesparamètres du modèle

pour lesquelleslestraje toiresdes variablesdu système os illent, 'estàdirese omportent

Mi hel Petitot et moi. Nous sommes entrés ré emment en onta t ave l'un des auteurs de

l'arti le [103℄ sur e sujet. Les dis ussions qui ont suivi nous ont amenés à amor er l'étude

d'un modèle beau oup plus gros (plus de trois ents variables et deux ents réa tions), en

intera tion ave l'un des auteurs de l'arti le[77℄ quile présente.

A tivité de l'équipe. Bien que l'équipe  al ul formel  ontinue son a tivité de

re- her he dans son ÷ur de métier, on voit qu'un eort très important est ee tué depuis

quelques annéespour trouverdes appli ationsdansless ien es du vivant.L'équipe fait

par-tie depuis 2004 de l'Institut de Re her hes Interdis iplinaires réé à l'initiative de Bernard

Vandenbunder. Le ours de Master 2 Re her he de l'équipe s'est spé ialisé sur la

modéli-sation des phénomènes biologiques. Nous nous intéressons de près au langage SBML (pour

Systems BiologyMarkup Language), une variantede XML qui onstitue un standard de

représentation des modèles biologiques: nous prévoyons de l'adopter dans le adre de notre

projet LÉPISME et le mémoirede Master 2 Re her he de Nata ha Skrzyp zak en 2005 lui

était à moitié onsa ré. Mi hel Petitot, François Lemaire et moi parti ipons depuis 2004 à

un groupe de travail onsa ré à la modélisationdu rythme ir adien d'une algue verte. Ce

groupe de travail est omposé de membres de plusieurs dis iplines diérentes dont le

bio-logiste FrançoisYves Bouget, spé ialiste de l'algue verte et le physi ien Mar Lefran .

Logi iels de al ul formel. Pour populariser l'algèbre diérentielle et en fa iliter

l'em-ploi, j'ai développé deux logi iels importants de al ul formel. En 19951996, j'ai réalisé le

paquetage dialgen MAPLElorsd'unstage postdo toralauSymboli Computation Group

de l'université de Waterloo, Ontario, Canada. L'algorithme RosenfeldGröbner en

onsti-tue le ÷ur. Ce paquetage est depuis distribué ave la bibliothèque standard du logi iel

MAPLE.Plusieurspersonnes l'ontamélioréauldesans, etinterfa éave d'autressolveurs

de MAPLE. Je pense en parti ulier à Évelyne Hubert, Allan D. Wittkopf et à François

Lemaire.

À partir de 2000, j'ai ommen é à réaliser les bibliothèques BLAD en langage C. La

premièreversionaété terminéeen août2004.Ces bibliothèques onstituentune sorte

d'ana-logue de dialg mais il y a deux diéren es importantes : d'abord les bibliothèques BLAD

sont  open sour e  et protégées par la li en e LGPL alors que dialg est un paquetage

d'un logi iel propriétaire; ensuite, BLAD est un ensemble de bibliothèques destinées à être

appelées par un autre programme alors que dialg est onçu pour être utilisé

intera tive-ment.Lesdeux logi iels orrespondentàdes usagesdiérentsetsontdon omplémentaires.

L'idée de développer BLAD m'est venue au ours de mes parti ipations au groupe de

tra-vail du projet INRIA SPACES, suite à plusieurs dis ussions ave JeanCharles Faugère et

Fabri e Rouillier qui m'ont onvain u de l'importan e de réaliser des haînes logi iellesles

plus omplètes possibles mettant en ÷uvre de l'élimination diérentielle. C'est en réalisant

de telles haînes qu'on peut déterminer si une théorie s'applique ou pas et, si 'est le as,

Était e une bonne idée de onsa rer quatre ans au développement des bibliothèques

BLAD? Je pense que oui mais un ritère de réussite onvain ant serait l'intégration de

BLADdans unegrandebibliothèque de al ulnumériquetelle quelaGnu S ienti Library

oudansun logi ieltelques ilab.Cequimanque onsidérablementauxversionsa tuellesdes

bibliothèques BLAD et qui freine peutêtre ette intégration, 'est l'absen e d'intégrateurs

numériques appli ables aux  haînes diérentielles régulières  produites par Rosenfeld

Gröbner. Ce sujetm'intéressede très près en e moment.Unedi ulté vient du faitqueles

haînes diérentiellesrégulières dénissent souvent des systèmes impli iteset raides.

Est e une bonne idée d'essayer d'asso ier des méthodes symboliques exa tes telles que

elles fournies par BLAD et des méthodes numériques inexa tes? Là en ore, je pense que

oui. La question a été posée lors de mes visites au séminaire de SPACES. Je pense que la

donneestdiérentepour lessystèmesdiérentielsetpour lessystèmespolynomiaux

(spé ia-litéde SPACES). D'unpointde vuethéoriqueetalgorithmique,lesdeux domainessont très

pro hes maispas dupointdevuedes appli ations.Lesméthodes(bases deGröbner, haînes

régulières)disponiblespourlessystèmespolynomiauxpeuventseprésenter ommedes

alter-nativesauxméthodesnumériques(méthodedeNewton).C'esttoutàfaitsensé,parexemple

dans le domaine des systèmes polynomiaux qui n'ont qu'un nombre ni de solutions

om-plexes, par e qu'on dispose d'algorithmes exa ts et e a es d'isolationde ra ines. Sous un

anglebeau oupplus théorique, e pointde vueest onfortépar lesrésultatsde l'arti le[18℄.

Pour les équations diérentielles par ontre, je ne onnais pas d'algorithmes pouvant jouer

un rle similaire à l'ex eption peutêtre de méthodes par intervalles [47℄ mentionnées dans

[45, page49℄. La oopérationsymboliquenumérique me sembledon indispensable...pour

lesméthodes symboliques.

Le mémoire. J'ai rédigé les ent quatre vingts pages et plus qui suivent en her hant à

expliquer la théorie etl'algorithmique sur lesquelles j'ai travaillé ommeje pourrais essayer

de la présenter à un s ientique non spé ialiste du sujet. J'ai essayé d'expliquer plutt que

de prouver etje me suis eor é de présenter en mêmetemps lesbibliothèques BLAD.

Le mémoire omporte quatre parties. Les trois premières ommen ent par une sorte

de tutoriel. Je mesuis servi pour les réaliser d'un support que j'ai rédigé pour l'é ole d'été

OpenSoftwareforAlgebrai andGeometri Computationstenueenseptembre2005àSophia

Antipolis où j'ai présenté BLAD. Chaque tutoriel est onçu pour présenter à un néophyte

(parfois é lairé)lesnotionsqui sont étudiées plusthéoriquementdansles hapitressuivants.

La première partie orrespond à une prise de onta t ave l'algèbre diérentielle. Le

tutorielintrodu tifestuneintrodu tionàl'éliminationdiérentielleparanalogieave lepivot

deGauss.Le hapitresuivantprésentedesnotionsdebaseunpeu al ulatoires.Ledernier

hapitre tente une présentation originale des notions de solutionqui sont ompatibles ave

les algorithmes d'élimination diérentielle qui nous on ernent. Ce dernier hapitre résume

de nombreuses années de réexion menées dans l'équipe. Il expose aussi l'un des résultats

lesplus importantsde lathèse [62℄ de FrançoisLemaire.

L'algorithmeutiliséestunevariantespé ialiséedeRosenfeldGröbnernomméePARDI.Trois

hapitres suivent. Le premier présente les haînes régulières algébriques puis diérentielles

au travers de l'algorithme d'Eu lide. Il reprend la progression que j'avais suivie lorsque

j'assurais un demi ours dans la lière  al ul formel  du DEA Algorithmique à Paris

VI en 20002002. Le hapitre suivant présente des appli ations algorithmiques immédiates

des haînes régulières. L'existen e d'un algorithme de forme normaleme permet de donner

une présentation nouvelle de quelques onstru tions onnues (développement en série de

solutionsde systèmes diérentiels). Letroisième hapitreest dense: j'y ai refaitlespreuves

des théorèmes lefsqui justient la onstru tiondes haînes régulières.La preuve uniéede

l'équidimensionnalité des idéaux de la forme

(A)

:

I

∞

A

et de eux de la forme

(A)

:

S

∞

A

qui s'y trouve est originale.

Latroisièmepartieest onsa réeauproblèmedu al uldelareprésentationd'unsystème

diérentiel quel onque par une famillenie de haînes diérentielles régulières. Le tutoriel

introdu tif onsiste en une analyse de l'arti le [103℄. On y explique les motivations et la

démar he des auteursetonmontre à quelle étapeun algorithme telque RosenfeldGröbner

auraitpu êtreutilisé.Le hapitresuivantprésenteuneversionde RosenfeldGröbner

moder-nisée, pro he de l'implantation en BLAD et des dernières améliorations apportées à dialg

par François Lemaire. On y donne aussi des résultats ré ents, permettant d'optimiser les

mé anismes de omplétion pour les systèmes auxdérivées partielles.

Laquatrièmepartiene omportequ'un hapitrequidé ritlesprin ipaux hoixde

on ep-tion que j'aifaits pour lesbibliothèques BLAD.

On ne trouve pas dans e mémoire de omparaisons de performan es entre BLAD et

d'autreslogi iels.Ceseraitprématuré:lesee tuerme pousseraitnaturellementàoptimiser

BLADoronn'optimisepasunlogi ielen oursdedéveloppement.C'estunprin ipedegénie

logi iel.Il fautd'abord réaliserdes programmes d'appli ationquiutilisentBLADetensuite

seulement déterminer e qu'il onvient d'optimiser. Voi i deux ane dotes pour étayer mes

armations.

Dans le adre du projet LÉPISME, on s'est aperçu sur des exemplesque les limitations

de laméthodeétaientduesàdes problèmesnumériques(évaluationnumériqueimpré ise des

dérivées d'ordredeux etplus) etpas àl'éliminationdiérentielle.OptimiserBLADest don

sans intérêt dans e ontexte.

Lors delamiseaupointde l'algorithmePARDIen2001,FrançoisLemaireetmoi

ompa-rionslesperforman esen tempsde al uld'uneimplantationMAPLEave uneimplantation

en une vieilleversion de BLAD en C++ sur l'exempledes équationsd'Euler pour un uide

in ompressible en deux dimensions. Chaque fois qu'une implantation avait de meilleures

performan es que l'autre, nous en her hions la raison etnous améliorions l'autre en

onsé-quen e. Il s'agissait à haque fois d'un hoix heuristique plus ou moins judi ieux. Au bout

du ompte, PARDI en BLAD a largement surpassé PARDI en MAPLE mais le ode de

l'implantation de PARDIen BLAD était devenue di ile à lireet don àfaire évoluer. J'ai

j'aié rits, lado umentation te hnique des bibliothèques BLADmaisaussi trois supports de

ours que j'airédigés. Lesenseignements que j'assure sont liésà mona tivité de re her he.

L'unité d'enseignement  al ul formel ets ien es de la matières est un ours de

pro-grammation destiné à de futurs physi iens et himistes. Il est onçu ave des membres de

l'UFRde physiqueets'adresseàdesétudiantsdedeuxièmeannéedeli en e.Lesétudiantsy

revoient pour ommen erdes notionsde programmationqu'ilsont apprisesen première

an-née.Onlesréviseetonmontre ommentellessetraduisentdanslelangagedeprogrammation

de MAPLE. Le ours évolue ensuitevers l'étude des équationsdiérentielles: méthodes

nu-mériques(EuleretRungeKutta)puisanalyse qualitativedessystèmes diérentielslinéaires

en deux variablesetà oe ients onstants(rle des valeurs propresde la matri edes

oef- ients du système). L'emploi d'un logi iel de al ul formel onfère une originalité ertaine

à et enseignement : il permet aux étudiants de mener des  démonstrations assistées par

ordinateurdonttousles al ulssymboliquessontmenésparlogi iel(preuvequelaméthode

d'Euler est d'ordre

1

, al ul des équations dénissant les oe ientsde RungeKutta). L'unité d'enseignement systèmes polynomiaux,quesignie: résoudre? est une unité

optionnelledelali en einformatique.Elleprésenteune haînelogi ielledédiéeàlarésolution

réelleexa tedesystèmespolynomiauxayantunnombrenidesolutions omplexes(un al ul

de base de Gröbnerpour un ordre d'éliminationsuivid'un algorithmed'isolationde ra ines

réelles). Ce ours a été onçu ave Fabri e Rouillier qui y présente une appli ation à la

ommande de robots parallèles. De nombreux spé ialistes de al ul formel ont ontribué à

son amélioration.

L'unitéd'enseignementalgorithmiqueestuneunitédeladeuxièmeannéedelali en e

mention informatique. J'y présente la programmation linéaire, l'algorithme du simplexe et

des algorithmes de base (preuves et implantation) de la théorie des graphes. Le logi iel

AMPL est utilisé pour modéliser par programmes linéaires(en variables réelles et entières)

des problèmes d'optimisation énon és en Français. J'essaie à la fois de fournir des bases

solides aux étudiants qui poursuivront en Master et d'apprendre un outil immédiatement

utilisableen entrepriseaux étudiantsqui quitteront le ursus universitaire ave une li en e.

En enseignementaussi, il meparaît importantde lierles théoriesà leurs appli ations.

Chronologie.

1990. Jem'ins ris en thèse sous la dire tionde Gérard Ja ob.

1994. Jesoutiens mathèse [7℄.

1995. Premièrepubli ation[9℄surRosenfeldGröbnerave DanielLazard,FrançoisOllivier

et Mi hel Petitot. Je pars pour un stage postdo toral d'un an au Symboli

Compu-tation Group de l'université de Waterloo (Ontario). Je réalise la première version du

paquetage dialg pour MAPLE 5.

1996. Je suis élu Maître de Conféren es. Mon travail se on entre sur la théorie et

l'algo-rithmiquede RosenfeldGröbner.

1997. Deuxième arti le [10℄ en ommun ave Daniel Lazard, François Ollivier et Mi hel

1999. Arti le [8℄. Naissan e de Hugo. A hat d'une maison ave beau oup de travaux.

2000. Arti le [12℄ ommun ave FrançoisLemaire. J'obtiensune délégation CNRS de deux

ans. Mon projet onsistait à améliorer le paquetage dialg. Je prote de ma

déléga-tion pour parti iper au séminaire du projet INRIA SPACES. J'assure pendant deux

ans un demi ours dans la lière  al ul formel  du DEA Algorithmique à Paris.

Début d'implantationdes bibliothèques BLAD.Mar Moreno Maza est éluMaître de

Conféren es.

2001. Arti le [11℄ en ommun ave Mar Moreno Maza et François Lemaire. Arti le [15℄

en ommunave SylvainNeut. Premiers onta ts ave BernardVandenbunder pourla

mise en pla e de l'Institutde Re her he Interdis iplinaire. Naissan ede Sophie.

2002. François Lemaire soutient sa thèse et part en stage postdo toral d'un an et demi

au entre ORCCAde l'université Western Ontariode London(Ontario).Ilapporteau

paquetage dialg les améliorations dé rites dans [12, 11℄ (j'aurais eu les plus grandes

di ultés à ee tuer es modi ations depuis Lille). Mar Moreno Maza quitte son

postede Maîtrede Conféren espour unposte permanentau entreORCCA.Je

m'ins- ris en HDR à l'o asion de la soutenan e de François Lemaire. Ma délégationCNRS

se termine. Je prends la responsabilité de la li en e de l'IUP GMI et je m'investis

dans la préparationde laréforme LMD. Jesuis o-organisateur lo alde la onféren e

internationale de al ul formelISSAC 2002.

2003. Alexandre Sedoglavi est éluMaître de Conféren es. Un nan ement MathSTIC est

a ordé pour le projet LÉPISME. Gérard Ja ob prend sa retraite. Il est rempla é à

la dire tion de l'équipe par Mi hel Petitot. Je reprends le ours d'algorithmique qu'il

assuraiten li en einformatique.LeopoldWeinberg est re ruté sur un poste de PRAG

et s'ins rit en thèse. Je oen adre sa thèse ave NourEddine Oussous. Je rée ave

Fabri eRouillieretÉri Wegrzynowskiun oursen deuxièmeannéede DEUG intitulé

 systèmes polynomiaux, que signie : résoudre?  onsa ré à la résolution réelle de

systèmes polynomiaux n'ayant qu'un nombre ni de solutions omplexes.

2004. A hèvement delapremière versiondesbibliothèques BLADetdu logi ielLÉPISME.

Arti le [6℄en ommun ave LilianneDenisVidal, ThibautHenin etFrançoisLemaire.

Début du groupede travailsur lamodélisationdu rythme ir adien hez l'algueverte.

2005. François Lemaire est élu Maître de Conféren es. Stage de Master 2 Re her he de

Nata haSkrzyp zak oen adré par Mi helPetitot et moi.

2006. Stage de Master 2 Re her he d'Asli Ürgüplü oen adré par Alexandre Sedoglavi ,

FrançoisLemaireetmoi.Arti le[13℄en ommunave FrançoisLemaireetMar Moreno

Introdu tion à l'élimination diérentielle

et aux logi iels

Ce hapitre onstitue une introdu tion aussi élémentaire que possible à l'élimination

diérentielleetàl'utilisationdesdeuxoutilslogi ielsquesontlepaquetagedialgdeMAPLE

etlesbibliothèquesBLAD.On présentel'éliminationdiérentiellepar analogieave lepivot

de Gauss. Essentiellement, on montre dans e hapitre le rle que jouent les ordres sur les

indéterminées dans lesalgorithmesd'éliminationetlafaçondontonspé ie es ordresdans

quelques paquetages MAPLE et dans BLAD. On en protepour introduire par la pratique

plusieursnotionsquisont approfondiesdans les hapitressuivants.LesbibliothèquesBLAD

sont a essibles àl'URL http

:

//www.li.fr/

˜

boulier/BLAD.

1.1 L'élimination de Gauss

L'élimination diérentielle est un pro édé qui transforme un système d'équations

dié-rentielles en un autre système équivalent (en un sens à pré iser) mais plus fa ileà résoudre.

C'est là, mais dans un adre plus ompliqué, le prin ipe même de l'élimination de Gauss

qu'on rappellesur un exemple,en utilisant lepaquetage LinearAlgebra de MAPLE 9.

> with (LinearAlgebra): > S1 := [x - 3*y - z = 4, 2*x - y + 3*z = 5℄; S1 := [x - 3 y - z = 4, 2 x - y + 3 z = 5℄ > A, b := GenerateMatrix (S1, [x, y, z℄): > Ab1 := < A | b >; [1 -3 -1 4℄ Ab1 := [ ℄ [2 -1 3 5℄

> Ab2 := GaussianElimination (Ab1);

[0 5 5 -3℄

> S2 := GenerateEquations (Ab2, [x, y, z℄);

S2 := [x - 3 y - z = 4, 5 y + 5 z = -3℄

L'appli ationdupivotdeGausssurlesystème

S

1

produitunsystèmeéquivalent( 'està dire ayantmêmes solutions)

S

2

dont ladernière équation ne omporte pas l'indéterminée

x

. Le pivot de Gauss a  éliminé

x

. Pourquoi l'indéterminéeéliminéeestelle

x

? Par e que, danslamatri e

hA | bi

,les oe ientsde

x

apparaissentsurlapremière olonneetdon par e quelalisted'indéterminées fournie en deuxièmeparamètreà lafon tionGenerateEquations

ommen epar

x

.Danslathéoriedelasimpli ationalgébrique,ilest lassiquede direqu'une telle listefournit un  ordre  sur l'ensemble des variables. Les plus grandes variables vis

àvisde et ordre sont elles quigurent le plus àgau he dans laliste:

[x, y, z]

_{≡ x > y > z.}

Résumonsnous:l'éliminationdeGaussestunpro édéquiprenddeuxparamètresenentrée:

un système linéaire et un ordre sur les indéterminées. Elle transforme le système en un

système équivalent dans lequel ertaines indéterminées sont éliminées. Plus l'indéterminée

est grande visàvisde l'ordre,plus elle est sus eptible d'être éliminée.

1.2 L'élimination algébrique

Le prin ipe de l'élimination de Gauss se généralise aux systèmes d'équations

polyno-miales. On obtient e qu'on appelle  l'élimination algébrique . Il y a au moins deux

gé-néralisations possibles qui onduisent soient à la théoriedes  bases de Gröbner  soità la

théorie des  haînes régulières . On se on entre i i uniquement sur la se onde. Un

algo-rithmededé ompositionen haînesrégulièresestun pro édéquiprendenentrée unsystème

d'équationspolynomialesetunordresur lesindéterminées.Il transformelesystèmed'entrée

en une famille de  haînes régulières . Une haîne régulière est un système d'équations

polynomiales qui satisfait entre autres, la propriété suivante : haque équation introduit au

moins une indéterminée en suivant l'ordre fournien paramètre (on dit aussi que le système

est triangulaire). Toutsystème triangulairen'est pasune haînerégulièremaislesautres

propriétés importantes sont trop te hniques pour être dé rites dans ette se tion. Prenons

un exemple. Ave lesparamètres suivants

système :

z

2

_{− 1 = 0, (z + 1)(x − y − 1) = 0,}

(y + 1)(x

_{− y − z) = 0, x}

2

_{− y}

2

_{− 2 z y − 1 = 0,}

de trois haînes régulières (lerésultatn'est pas déni de façonunique) :

première haîne :

z

− 1 = 0, x − y − 1 = 0 ;

deuxième haîne :

z + 1 = 0,

x

− y + 1 = 0 ;

troisième haîne:

z + 1 = 0,

y + 1 = 0,

x

2

_{− 4 = 0.}

Lesystème initialest équivalent àlafamillede haînesproduite :toute solutiondu système

initialestsolutiond'aumoinsune haînerégulièreetré iproquement.Dans haque haîne,la

première équationintroduit l'indéterminée

z

(

x

et

y

sont éliminés).Dans lesdeux premières haînes,ladeuxièmeéquationintroduit

x

et

y

.Danslatroisième haîne,ladeuxièmeéquation introduit

y

(

x

estéliminé)alorsqueladernièreéquationintroduit

x

.Lefaitque

z

n'apparaisse que dans lapremière équation est un hasarddû àl'exemple.

Pourquoilasortiede l'algorithmeestelleunefamillede systèmesetpasun seul système

omme dans le as de l'éliminationde Gauss? Dit autrement, pourquoi y atil des 

s in-dagesoudesdis ussionsde as?C'estpar eque,danslathéoriedes haînesrégulières,

une équation telle que

(z + 1)(x

_{− y − 1) = 0}

est vue omme l'équation

x =

(z + 1)(y + 1)

z + 1

qui sesimplie en

x = y + 1

sous réserve que

z + 1

6= 0

.Le as

z + 1 = 0

ne doitpas être oubliéetdoitêtre traité séparé-ment:uns indage survient.L'indéterminéeen partiegau hede l'équationest laplusgrande

indéterminée qui gure dans l'équation visàvis de l'ordre. On l'appelle  l'indéterminée

prin ipale de l'équation.

1.2.1 Élimination en MAPLE

Lepaquetage Triadede MAPLEaété onçu etréalisépar FrançoisLemaire,YuzhenXie

et Mar Moreno Maza. Il est in orporé dans MAPLE 10 sous le nom RegularChains [61℄.

Il fournit un algorithme de dé omposition en haînes régulières, du nom de Triangularize.

Levoi i,appliqué sur l'exemple.La sortie est un peu diérente de elle présentée idessus.

L'ordre sur lesindéterminées est déni lorsde la réationdu polynomial_ring.

> with(Triade);

[ChainTools, DisplayPolynomialRing, Equations, ExtendedRegularG d, Inequations,

Initial, Inverse, IsRegular, MainDegree, MainVariable, MatrixCombine,

> R := PolynomialRing([x,y,z℄);

R := polynomial_ring

> sys := [z^2 - 1, (z+1)*(x-y-1), (y+1)*(x-y-z), x^2 - y^2 - 2*z*y -1℄:

> result := Triangularize (sys, R);

result := [regular_ hain, regular_ hain, regular_ hain℄

> Equations(result[1℄, R); [-y + x + 1, z + 1℄ > Equations(result[2℄, R); [x - y - 1, z - 1℄ > Equations(result[3℄, R); [x - 2, y + 1, z + 1℄

1.2.2 Élimination ave BLAD

On peut également al ulerdesdé ompositionsen haînesrégulièresgrâ e àl'algorithme

RosenfeldGröbner bien que et algorithmeait été onçupourtraiter des systèmes

diéren-tiels. Voi iun programme en langageCee tuant ladé ompositiongrâ e auxbibliothèques

BLAD.

/* File algebrai . */

#in lude "bad.h"

int main ()

{ bav_Iordering r;

stru t bad_interse tof_reg hain ideal;

stru t bap_tableof_polynom_mpz eqns, ineqns;

stru t ba0_mark M;

bad_restart (0, 0);

ba0_re ord (&M);

ba0_ss anf2 ("ordering (derivations = [℄, blo ks = [x, y, z℄)",

"%ordering", &r);

bav_R_push_ordering (r);

bad_init_interse tof_reg hain (&ideal);

ba0_ss anf2 ("interse tof_reg hain ([℄, \

[autoredu ed, primitive, normalized℄)",

ba0_init_table ((ba0_table)&ineqns);

ba0_ss anf2 ("[z^2 - 1, (z + 1)*(x - y - 1), (y + 1)*(x - y - z), \

x^2 - y^2 - 2*z*y - 1℄", "%t[%Az℄", &eqns);

bad_Rosenfeld_Groebner (&ideal, &eqns, &ineqns, (bav_tableof_variable)0);

ba0_printf ("%interse tof_reg hain\n", &ideal);

bav_R_pull_ordering ();

ba0_restore (&M);

bad_terminate (ba0_init_level);

return 0;

}

Ce programme C peut être ompilé pour produire un exé utable. On donne idessous

une ommande de ompilationutilisantg pour lesma hines fon tionnant sous UNIX. On

asupposé que laGnuMultiple Pre ision Library (GMP)était installéedans /usr/lo al/gmp

(sousrépertoiresin ludeetlib).On asupposé quelesbibliothèquesBLADétaient installées

dans /usr/lo al/blad(sousrépertoires in lude etlib).

$ g -I/usr/lo al/gmp/in lude -I/usr/lo al/blad/in lude algebrai .

$ g -L/usr/lo al/gmp/lib -L/usr/lo al/blad/lib \

-Wl,-rpath /usr/lo al/gmp/lib -Wl,-rpath /usr/lo al/blad/lib \

algebrai .o -lbad -lbap -lbav -lba0 -lgmp

Il est bien sûr re ommandéd'utiliserun  makele . Voi ilemien.

GMPROOT = /usr/lo al/gmp

BLADROOT = /usr/lo al/blad

CFLAGS = -g -Wall

LDFLAGS = -g -L${GMPROOT}/lib -L${BLADROOT}/lib \

-Wl,-rpath ${GMPROOT}/lib -Wl,-rpath ${BLADROOT}/lib

CPPFLAGS = -I${GMPROOT}/in lude -I${BLADROOT}/in lude

CC = g

LIBS = -lbad -lbap -lbav -lba0 -lgmp

%: %.

$(CC) $(CPPFLAGS) $(CFLAGS) $(LDFLAGS) $< $(LIBS) -o $

Voi ilerésultatobtenuàl'exé ution.Lesystèmeinitialestreprésentésouslaformed'une

 interse tion  de trois haînes régulières. Le terme reg hain est la ontra tion de regular

hain. Pourquoi  interse tion ? L'ensemble des solutions du système initial est l'union

des ensembles de solutions des trois haînes. Par onséquent, l'idéal déni par le système

initialest l'interse tion des idéaux dénis par les trois haînes. Les haînes régulières ainsi

que leur interse tion sont aublées de quali atifs qui dé rivent des propriétés parti ulières

des haînes. Ces propriétés sont trop te hniques pour être dé rites dans ette se tion. Voir

lase tion 5.6, page 84.

primitive, normalized℄), reg hain ([z + 1, x - y + 1℄, [autoredu ed,

primitive, normalized ℄), reg hain ([z + 1, y + 1, x^2 - 4℄, [autoredu ed,

primitive, normalized℄)℄, [autoredu ed, primitive, normalized℄)

CommentonsunpeuleprogrammeC.Lesfon tions,lestypesetlesstru turesde données

des bibliothèques BLAD sont préxées par ba0, bav, bap ou bad suivant la bibliothèque à

laquelleellesappartiennent.Labibliothèqueba0gèrelamémoire,lesex eptions,lesentrées

sorties et quelques stru tures de données génériques. La bibliothèque bav gère les variables

(les indéterminées) etenparti ulier lesordressur lesvariables.Labibliothèque bap ontient

tous les algorithmes qui sont ensés s'appliquer à des polynmes (mais pas des systèmes

de polynmes). La plus importante fon tionnalité qu'elle ore est le al ul du plus grand

diviseur ommun de deux polynmesen plusieursindéterminées et à oe ientsentiers. La

bibliothèque bad ontient les algorithmes qui s'appliquent à des systèmes de polynmes et

en parti ulier, une implantationde RosenfeldGröbner.

Tout appel aux bibliothèques BLAD doit être in lus dans e qu'on appelle une  suite

d'appelsauxbibliothèques BLAD,qui ommen epar unappelàbad_restart etsetermine

par un appel à bad_terminate. Les paramètres fournis à bad_restart sont des limites en

temps et en espa e mémoire données pour les al uls (un zéro indique qu'on ne donne pas

de limite). La variable

M

a un rle lié à la gestion de la mémoire que je ne ommente pas davantage i i.

Lafon tion ba0_ss anf2est une variantede lafon tionss anfoerte par labibliothèque

standard du langage C. Voi i un petit rappel pour eux qui auraient oublié leurs bases de

C. En C, l'instru tion suivante lit un entier sur l'entrée standard et ae te le résultat à la

variable

x

. La haîne de ara tères "%d" qui onstitue le premier paramètre de l'appel à s anf est un  format  qui dé ritla nature de e quidoit être lu.Le dernier paramètreest

l'adresse de lavariabledestinée àre evoir lerésultat.

{ int x;

s anf ("%d", &x);

}

La fon tion s anf admet plusieurs variantes. L'une d'elles est la fon tion ss anf qui lit des

donnéesdansune haînede ara tèrespluttquesurl'entréestandard.Cepremierparamètre

est en première pla e. Dansl'exemple suivant,l'entier

421

est luet ae té à

x

.

{ int x;

ss anf ("421", "%d", &x);

}

La fon tion ba0_ss anf2 est onstruite sur le même prin ipe que ss anf mais elle ore une

variétéde formatsplusimportante.L'extraitde ode suivantlitl'ordre

x > y > z

etl'ae te à lavariable

r

{ bav_Iordering r;

}

Dans le programme, et ordre est ensuite  empilé  (appel à bav_R_push_ordering) sur

unepileprédénied'ordresetdevientl'ordre ourant, 'estàdire eluiquiestimpli itement

utilisé dans lasuite des opérations.

L'extrait de ode suivant lit un tableau de polynmes en plusieurs indéterminées et à

oe ients entiers. Le format "%Az" désigne les polynmes en plusieurs indéterminées et à

oe ientsentiers. Leformat "%t[%Az℄"désignelestableauxde tels polynmes.Letableau

eqnsdoitêtre initialiséavantde pouvoirêtreutilisé.Les hémadeprogrammationest alqué

sur elui de laGMP.

{ stru t bap_tableof_polynom_mpz eqns;

ba0_init_table ((ba0_table)&eqns);

ba0_ss anf2 ("[z^2 - 1, (z + 1)*(x - y - 1), (y + 1)*(x - y - z), \

x^2 - y^2 - 2*z*y - 1℄", "%t[%Az℄", &eqns);

}

L'extrait suivantee tue l'éliminationen appelantRosenfeldGröbner. Tout d'abord, la

va-riable ideal, destinée àre evoir le résultat de l'élimination est initialisée.Puis on lui ae te

une interse tion  vide  de haînes régulières. Le but est i i uniquement de positionner à

vrai les indi ateurs signiant qu'on désire des haînes  autoréduites ,  primitives  et

 fortement normalisées . Enn, RosenfeldGröbner est appelé. Je ne ommente pas les

deux derniers paramètres de l'appelde fon tion, qui ne sont pas utilisés.

{ stru t bad_interse tof_reg hain ideal;

bad_init_interse tof_reg hain (&ideal);

ba0_ss anf2 ("interse tof_reg hain ([℄, \

[autoredu ed, primitive, normalized℄)",

"%interse tof_reg hain", &ideal);

bad_Rosenfeld_Groebner (&ideal, &eqns, &ineqns, (bav_tableof_variable)0);

}

1.3 L'élimination diérentielle

Le prin ipe de l'élimination algébrique et le on ept de haînes régulières se généralise

au as diérentiel. Les indéterminées ne représentent plus des nombres mais des fon tions

analytiques. Lesystème suivantest un exemplede systèmede deux équationsdiérentielles

polynomiales.Lepointaudessus d'uneindéterminéedésignesadérivée première

(nota-tiondesuxions).Unesolutiondusystèmesuivantest un ouple

(u(t), v(t))

defon tions du temps.

polynomiales diérentielles et un ordre sur l'ensemble inni de toutes les dérivées de

u

et de

v

. De tels ordres, lorsqu'ils satisfont ertaines onditions te hniques, sont appelés des  lassements  ( rankings  en Anglais). Elle transforme le système fourni en entrée en

une familleéquivalentede  haînes diérentielles régulières . Fixons par exemple l'ordre

· · · > ¨u > ˙u > u > · · · > ¨v > ˙v > v.

L'algorithmeRosenfeldGröbner,appliquéausystèmeetàl'ordre idessusproduitlafamille

suivantede deux haînes diérentielles régulières :

première haîne :

v

¨

2

_{− 4 ˙v = 0, u − ˙v − 1 = 0 ;}

se onde haîne:

˙v = 0,

u

− 1 = 0 ;

Danslapremière équationde haque haînel'indéterminéediérentielle

u

ettoutesses déri-vées sont éliminées.La familleest équivalente au système initial: toutesolution analytique

du système initialest une solution analytique de l'une des deux haînes et ré iproquement.

Lessolutions analytiques de lapremière haîne sont

v(t) = c

1

+

(t + c

2

)

3

3

,

u(t) = 1 + (t + c

2

)

2

_,

_c

1

, c

2

∈ C.

Les solutionsanalytiques de lase onde haîne sont

v(t) = c,

u(t) = 1,

c

_{∈ C.}

1.3.1 Élimination en MAPLE

J'airéalisélepaquetage dialg19951996.Lepaquetage aensuiteété fortementamélioré

parplusieurspersonnesetenparti ulierparÉvelyneHubertet(plusré emment)parFrançois

Lemaire. L'implantation de RosenfeldGröbner est plus an ienne que elle de BLAD. Elle

produitaussides haînesdiérentiellesrégulièresbienquel'appellation haînediérentielle

régulière  n'ai pas en ore été inventée lors de la réalisation du paquetage (elle date de la

thèse de François Lemaire en 2002).

L'ordreestdéniaumomentdela réationdel'ODE_ring.Lesdérivéesdesindéterminées

diérentiellessontnotées aumoyen de listes de dérivations: par exemple,u[t℄ désigne

˙u

et u[t,t℄ désigne

u

¨

.Pour ontournerune limitationde MAPLE, onnote u[℄ pour

u

.

> with (diffalg);

[Rosenfeld_Groebner, belongs_to, delta_leader, delta_polynomial, denote,

derivatives, differential_ring, differential_sprem, differentiate,

equations, essential_ omponents, field_extension, greater, inequations,

rewrite_rules, separant℄

> R := differential_ring (derivations = [t℄, ranking = [u, v℄);

R := ODE_ring

> ideal := Rosenfeld_Groebner ([u[t℄^2 - 4*v, v[t℄ - u + 1℄, R);

ideal := [ hara terizable, hara terizable℄

> equations (ideal [1℄);

2

[-v[t℄ + u[℄ - 1, v[t, t℄ - 4 v[℄℄

> equations (ideal [2℄);

[-1 + u[℄, v[℄℄

1.3.2 Élimination diérentielle ave BLAD

LeprogrammeC idessous appliqueRosenfeldGröbner surl'exemple.Il est trèspro he

du programme donné dans la se tion pré édente. La prin ipale diéren e est le quali atif

dierentialutilisé pour initialiserla variable ideal.

Labibliothèque BLADoreen faitun on eptunié de haînerégulièrequipeut êtreou

non diérentielle. Cetteuni ation de on ept, suggerée dans lathèse de FrançoisLemaire,

n'est pas en ore réalisée dans lespaquetages MAPLE.

/* File differential. */

#in lude "bad.h"

int main ()

{ bav_Iordering r;

stru t bad_interse tof_reg hain ideal;

stru t bap_tableof_polynom_mpz eqns, ineqns;

stru t ba0_mark M;

bad_restart (0, 0);

ba0_re ord (&M);

ba0_ss anf2 ("ordering (derivations = [t℄, blo ks = [u, v℄)",

"%ordering", &r);

bav_R_push_ordering (r);

bad_init_interse tof_reg hain (&ideal);

ba0_ss anf2 ("interse tof_reg hain ([℄, \

ba0_init_table ((ba0_table)&eqns);

ba0_init_table ((ba0_table)&ineqns);

ba0_ss anf2 ("[u[t℄^2 - 4*v[t℄, v[t℄ - u + 1℄", "%t[%Az℄", &eqns);

bad_Rosenfeld_Groebner (&ideal, &eqns, &ineqns, (bav_tableof_variable)0);

ba0_printf ("%interse tof_reg hain\n", &ideal);

bav_R_pull_ordering ();

ba0_restore (&M);

bad_terminate (ba0_init_level);

return 0;

}

Le programme idessus peut être ompilé (voir une ommande dans la se tion

pré é-dente). On obtientà l'exé ution :

$ ./differential

interse tof_reg hain ([reg hain ([v[t,t℄^2 - 4*v[t℄, u - v[t℄ - 1℄, [

differential, autoredu ed, primitive, squarefree, oherent, normalized℄),

reg hain ([v[t℄, u - 1℄, [differential, autoredu ed, primitive, squarefree,

oherent , normalized℄)℄, [differential, autoredu ed, primitive, squarefree,

oherent, normalized℄)

1.3.3 Autres lassements

Le lassement donné idessus est un  lassement d'élimination . Un autre type très

important de lassement est onstitué des lassements  ompatibles ave l'ordre total 

( orderly  en Anglais). Visàvis de es lassements, plus une indéterminée est dérivée

(plus elleest d'ordreélevé) plus elleest grande.Voi iun exemple de tel lassement

· · · > ¨u > ¨v > ˙u > ˙v > u > v.

En BLAD,ilest noté (remarquer les deux niveaux de ro hets) :

ordering (derivations = [t℄, blo ks = [[u, v℄℄)

Ave trois indéterminées diérentielles ou plus, il est possible de dénir des lassements

en ore plus généraux, très utilesaussi. Parexemple,

· · · > ¨

w > ˙

w > w >

_{· · · > ¨u > ¨v > ˙u > ˙v > u > v.}

Visàvisde e lassement,toutedérivée de

w

est plusgrandequetoutedérivée de

u

oude

v

alorsquelesdérivéesde

u

etde

v

sontordonnéesentreellessuivantun lassement ompatible ave l'ordre total. On appelle ette sorte de lassement un  lassement d'élimination par

blo s. On lenote souvent de façonabrégée :

w

_{≫ (u, v).}

On le note en BLAD :

Arithmétique des polynmes diérentiels

Ce hapitre présente des notions sans di ulté que je supposerai onnues dans les

ha-pitressuivants.Jel'aiémaillédepetitsexer i es( orrigés)etenparti ulierdepetitsexer i es

de programmationutilisantles bibliothèquesBLAD.

2.1 Polynmes non diérentiels

Soit

K

un orps ommutatif et de ara téristique nulle. Soit

X

un alphabet, éventuel-lement inni, d'indéterminées sur

K

. On note

K[X]

l'anneau des polynmes onstruits sur l'alphabet

X

et à oe ients dans

K

. On suppose

X

totalement ordonné et on onsidère un polynme

f

∈ K[X] \ K

. On appelle  indéterminée prin ipale  de

f

la plus grande des indéterminées

x

∈ X

qui gure dans

f

'estàdire telle que

deg(f, x)

6= 0

. On la note

ld f

. Notons

d = deg(f, x)

. Le monme

x

d

est appeléle rang  de

f

. Le oe ient de

x

d

dans

f

est l' initial de

f

.Le polynme

∂f /∂x

est le séparant de

f

.Ce sont tous les deux des polynmes de

K[X]

.

Exer i e 1 Quel est l'initial du polynme

3 x

2

_y

_{− x}

2

_{+ y + 5 x}

_{− y}

3

(en supposant

x > y

)? É rire un programme C utilisant BLAD qui al ule et a he l'initial du polynme.

Exer i e 2 Quel est le séparant du polynme pré édent?

Exer i e 3 Dans quel as l'initial d'unpolynme estil égal à son séparant?

Un ensemblenide polynmesest dittriangulairesilesindéterminéesprin ipalesde

ses élémentssont toutes distin tes.

Soit

g

∈ K[X]

un autre polynme. Supposons que l'initial de

f

appartienne à

K

. On peut alors al ulerlequotient

q

etlereste

r

de ladivisioneu lidiennede

g

par

f

,vus omme des polynmesen l'indéterminée

x

età oe ients dans l'anneau

K[X

\ {x}]

.

g f

r q

Le ouple

(q, r)

est déni de façonunique. Il satisfait

deg(r, x) < deg(f, x),

g = f q + r.

On note

quo(g, f, x)

le quotient et

rem(g, f, x)

le reste ou parfois

quo(g, f )

et

rem(g, f )

lorsqu'au une ambiguitén'est à raindre. Sil'initial de

f

n'appartient pas à

K

, la division eu lidienne de

g

par

f

n'est plus possible : il n'y a au une raison que l'initial de

f

divise exa tementle oe ientprin ipalde

g

par rapport à

x

.Ondispose toutefoisdel'algorithme depseudodivisionqui onsisteàmultiplier

g

parunepuissan edel'initialde

f

susante pour que les divisions par l'initial de

f

tombent juste. En notant

i

f

l'initial de

f

et

a =

deg(f, x)

− deg(g, x) + 1

,

i

a

f

g f

r

q

Exer i e 4 Ee tuer lapseudodivision de

a x

2

_{+ b x + c}

par

d x + e

. On suppose que l'in-déterminée prin ipaledes deuxpolynmesest

x

. É rireun programme Cutilisant BLADqui ee tue lapseudodivision et a he le résultat.

Le ouple

(q, r)

est déni de façonunique. Il satisfait

deg(r, x) < deg(f, x),

i

a

_f

g = f q + r.

On note

pquo(g, f, x)

le pseudoquotient et

prem(g, f, x)

le pseudoreste de

f

par

g

ou parfois

pquo(g, f )

et

prem(g, f )

lorsqu'au uneambiguité n'est à raindre. En fait,plusieurs variantesde l'algorithmedepseudodivisionsontdisponibles(onpeutenparti ulierprendre

parfois

a < deg(f, x)

− deg(g, x) + 1

). Il peut être utile d'utiliser plusieurs variantes de l'algorithmede pseudodivisiondansunlogi iel: dans ertains as,onpeut vouloir her her

l'exposant

a

leplus petit possiblepouréviter legrossissement desdonnées;dans le ontexte del'algorithmedessousrésultants,onestobligédeprendre

a = deg(f, x)

−deg(g, x)+1

pour que les divisions exa tes mises en ÷uvre dans et algorithme tombent juste. Pour ouvrir

tousles as,nousdironsquele ouple

(q, r)

n'estpasdénidefaçonuniquemaisqu'ilsatisfait dans tous les as

deg(r, x) < deg(f, x),

_{∃ a ≥ 0, i}

a

_f

g = f q + r.

Soit

F

⊂ K[X] \ K

un ensembleniné essairement triangulairenimême né essairement ni. On dénit

prem(g, F )

omme l'un des résultatspossiblesde l'algorithmesuivant.

fon tion

prem(g, F )

début

r

:=

g

tant que

∃ f ∈ F, deg(r, ld f) ≥ deg(f, ld f)

faire

r

:=

prem(r, f, ld f )

fait

retourner

r

n

(utilisationde  lassements )sont données dansles se tionsquisuivent.On suppose don

que le al ul termine. Le pseudoreste

r = prem(g, F )

n'est pas né essairement déni de façon unique mais il satisfait dans tous les as les propriétéssuivantes :

1.

r

est  algébriquementréduit  parrapport à

F

, 'estàdire quepour tous

f

∈ F

on a

deg(r, ld f ) < deg(f, ld f )

;

2. ilexisteunproduitdepuissan es

h

d'initiauxd'élémentsde

F

telque

h g = r mod (F )

où

(F )

désignel'idéal engendré par les élémentsde

F

.

Un ensemble

F

dont tous les éléments sont algébriquement réduitsles uns par rapportaux autres est dit algébriquement autoréduit .

Exer i e 5 Trouver un ordre sur l'ensemble

{x, y}

tel que

F =

{x

2

_{, x y}

_{− 1}}

soit

algébri-quement autoréduit.

Soit

E

un ensemble de polynmes diérentiels n'appartenant pas à

K

(sauf peutêtre zéro).Unsousensemblealgébriquementautoréduit

F

de

E

estunensemble ara téristique algébriquede

E

si

E

ne ontientau unélémentnonnulalgébriquementréduitparrapport à

F

.

Exer i e 6 Montrer quesi

F

est unensemble ara téristiquealgébrique d'unidéal

E

alors, quel que soit

f

∈ E

on a

prem(f, F ) = 0

.

2.1.1 Saturations

Si

A

est un idéal d'un anneau

R

et

M

⊂ R

est une famille multipli ative, on dénit la saturation de

A

par

M

omme l'ensemble

A

:

M =

{f ∈ R | ∃ m ∈ M, m f ∈ A}.

Si

S =

{s

1

, . . . , s

t

}

on note

S

∞

=

{s

ℓ

1

1

· · · s

ℓ

t

t

| ℓ

1

, . . . , ℓ

t

≥ 0}

la famille multipli ative engendrée par

S

. Exer i e 7 Soit

F =

{(x + 1) y, x

2

_{− 1}}

un système. On prend l'ordre

y > x

. Dé rire l'ensemble des solutions des idéaux

(F )

et

(F )

:

I

∞

F

. Montrer que

F

n'est pas un ensemble ara téristiquealgébrique de l'idéal

(F )

:

I

∞

F

.

Exer i e 8 Montrer quesi

prem(f, F ) = 0

alors

f

∈ (F )

:

I

∞

F

où

I

F

désignel'ensemble des initiaux des éléments de

F

.

Exer i e 9 Montrer que

A

:

M

est un idéal ontenant

A

.

Exer i e 10 Dans un anneau n÷thérien, tout idéal

A

est une interse tion d'idéaux  pri-maires , 'estàdire d'idéaux

q

1

, . . . , q

t

telsque

a b

∈ q

i

⇒ [a ∈ q

i

ou

∃ n ≥ 0, b

n

∈ q

i

] .

Montrer que

A

:

M

On appelle dérivation sur un anneau

R

toute appli ation

δ : R

→ R

satisfaisantles axiomes des dérivations:

δ(a + b) = δ(a) + δ(b),

δ(a b) = δ(a) b + aδ(b),

(

_{∀ a, b ∈ R)}

Un  anneau diérentiel  est un anneau muni d'un nombre ni de dérivations supposées

ommuterentre elles :

δ

i

(δ

j

(a)) = δ

j

(δ

i

(a))

(

∀ a, b ∈ R).

De lamêmefaçon, un  orps diérentielest un anneau diérentielquiest aussi un orps.

Exer i e 11 Montrer que les axiomes des dérivations impliquent que

δ(0) = 0

,

δ(1) = 0

et plus généralement que

δ(z) = 0

pour tout

z

∈ Z

.

Exer i e 12 Soient

a, b

∈ R

tels que

1/b

∈ R

. Montrer que les axiomes des dérivations impliquent :

δ

a

b



=

δ(a) b + a δ(b)

b

2

·

En algèbre diérentielle, on manipule des systèmes nis d'un anneau de polynmes

dif-férentiels

R = K

{U}

muni d'un ensemble de dérivations

{δ

1

, . . . , δ

m

}

. L'ensemble

U =

{u

1

, . . . , u

n

}

est l'ensembledes indéterminées diérentielles.L'anneau des oe ients

K

est un orps diérentiel ommutatif de ara téristique nulle. L'ensemble

{δ

1

, . . . , δ

m

}

en-gendre un monoïde ommutatifpour l'opérationde omposition. On le note

Θ =

_{δ

a

1

1

· · · δ

m

a

m

| a

1

, . . . , a

m

∈ N}.

Les éléments de

Θ

sont les opérateurs de dérivation . Dans ette théorie,on se restreint don à des opérateurs de dérivation ommutatifs. Si

θ = δ

a

1

1

· · · δ

m

a

m

est un opérateur de dérivation,on dénitson ordre  omme

ord θ = a

1

+

· · · + a

m

.

Si

θ = δ

a

1

1

· · · δ

m

a

m

et

ϕ = δ

b

1

1

· · · δ

b

m

m

sont deux opérateurs de dérivation, on note

θϕ =

δ

a

1

+b

1

1

· · · δ

m

a

m

+b

m

. Si de plus

a

i

≥ b

i

pour tous

1

≤ i ≤ m

, on note

θ/ϕ = δ

a

1

−b

1

1

· · · δ

m

a

m

−b

m

. Lemonoïde

Θ

agitsur l'ensembledes indéterminéesdiérentielles

U

, engendrantl'ensemble inni

ΘU

des  dérivées . Les polynmes diérentielsde

R

peuvent ainsi être vus omme des polynmesau sens habituelsur l'alphabetinni des dérivées :

R = K[ΘU]

.

Un  lassement  est une relation d'ordre total sur

ΘU

ompatible ave l'a tion des dérivationssur

ΘU

, 'estàdire quisatisfait les deux axiomes suivants :

1.

v

≤ θv

(

∀ v ∈ ΘU, θ ∈ Θ)

nous ne devions pas nous en servir dans e hapitre. Les dénitions sont données pour

deux indéterminées diérentielles. Elles se généralisent aisément à un nombre quel onque

d'indéterminées diérentielles.

1. Les lassements d'élimination.

Soient

u, v

∈ U

deux indéterminées diérentielles. On dit qu'un lassement  éli-mine 

u

, e qu'on note

u

_{≫ v}

si

θu > φv

(

∀ θ, φ ∈ Θ).

2. Les lassements ompatibles ave l'ordre total.

Soient

u, v

∈ U

deux indéterminées diérentielles.On ditqu'un lassementest  om-patibleave l'ordre total pour

u

et

v

si

ord θ < ord φ

_{⇒ θu < φv}

(

_{∀ θ, φ ∈ Θ).}

3. Les lassements de Riquier.

Soient

u, v

∈ U

deux indéterminées diérentielles. On dit qu'un lassement est  de Riquier pour

u

et

v

si

θu < φu

⇔ θv < φv

(

∀ θ, φ ∈ Θ).

Exer i e 13 Pour ha un des extraits de lassements suivants, indiquer s'il relève de l'un

des types pré édents. Les indéterminées diérentielles sont

u

et

v

. les dérivations

δ

x

et

δ

y

sont notées en indi e.

1.

· · · > u

xy

> u

yy

> u

x

> u

y

> u >

· · · > v

xx

> v

xy

> v

yy

> v

x

> v

y

> v

. 2.

· · · > u

xx

> u

xy

> u

yy

> v

xx

> v

xy

> v

yy

> u

x

> u

y

> v

x

> v

y

> u > v

. 3.

· · · > u

xx

> u

xy

> u

yy

> v

yy

> v

xy

> v

xx

> u

x

> u

y

> v

y

> v

x

> u > v

.

Supposons

ΘU

ordonné suivant un lassement. Toutes les dénitions données dans la se tion pré édente s'appliquent aux polynmes diérentiels, si e n'est qu'on dit  dérivée

dominante aulieud'indéterminée prin ipale.

Exer i e 14 Donner, visàvis de ha un des lassements idessus, ladérivée dominante

du polynme diérentiel

u

y

v

yy

+ u

2

x

−3

. É rireun programmeC,utilisant BLAD, qui al ule et a he es dérivées dominantes.

Proposition 1 Soient

f

∈ R \ K

un polynme diérentielet

θ

∈ Θ

un opérateurde dériva-tion d'ordre non nul. Le séparantde

f

est l'initial de

θf

.

L'appellation vient du nom du véritable fondateur de l'algèbre diérentielle : Joseph

Fels Ritt. Soient

g

∈ R

un polynme diérentiel et

F

⊂ R

un ensemble ni de polynmes diérentiels. On dénit le reste partiel de

g

par

F

pour la rédu tion de Ritt par

reste

_

partiel(g, F ) = prem(g,

{ΘF } \ F ).

On dénit le reste omplet de

g

par

F

pour larédu tion de Rittpar

reste

_

complet(g, F ) = prem(g, ΘF ).

Lesremarques faitesau sujetde lapseudodivisions'appliquenta fortiori pour larédu tion

deRitt:lerestepartieletlereste ompletde

g

par

F

pourlarédu tiondeRittnesont pas dénis de façon unique. Si on les programme naturellement, 'estàdire en her hant

à réduire d'abord les dérivées les plus grandes visàvis du lassement, es algorithmes de

rédu tion terminent. On le démontre en la se tion 2.4. Notons

[F ]

le plus petit  idéal diérentiel  engendré par

F

dans

R

, 'estàdire le plus petit idéal de

R

ontenant

F

et stable sous l'a tion des dérivations ( 'estàdire tel que

p

∈ [F ] ⇒ θp ∈ [F ]

pour toute dérivée

θp

de

p

). Lepolynme diérentiel

r = reste

_

partiel(g, F )

satisfait lespropriétés :

1. ilest  partiellementréduitpar rapport à

F

, 'estàdire algébriquementréduit par rapportà

{ΘF } \ F

;

2. il existe un produit de puissan es

h

de séparants d'éléments de

F

tels que

h g = r

mod [F ]

.

Le polynme diérentiel

r = reste

_

complet(g, F )

satisfait lespropriétés :

1. ilest omplètementréduitparrapportà

F

, 'estàdirealgébriquementréduitpar rapportà

ΘF

;

2. ilexiste unproduit depuissan es

h

d'initiauxetde séparantsd'élémentsde

F

tels que

h g = r mod [F ]

.

Exer i e 15 Cal ulerlereste partiel etlereste omplet de

g = u

xx

+ u

x

par

F =

{u

2

x

+ u

x

+

u

}

. É rire un programme C, utilisant BLAD, qui al uleet a he es deux restes. Exer i e 16 Montrer que

u

3

x

∈ [u u

x

]

.

Un ensemble

F

dont tout élément est partiellement réduit par rapportà tous les autres est dit  partiellement autoréduit . Un ensemble

F

dont tout élément est omplètement réduit par rapport à tous les autres est dit  omplètement autoréduit . Soit

E

⊂ R

un ensemble de polynmesdiérentielsn'appartenant pas à

K

(sauf peutêtre zéro). Un sous ensemble omplètement autoréduit

F

de

E

est un  ensemble ara téristique diérentiel  de

E

si

E

ne omporte au unélémentnon nul omplètement réduitpar rapport à

F

. Exer i e 17 Montrer que si

F

est un ensemble ara téristique diérentiel d'un idéal dié-rentiel

E

alors, quel que soit

f

∈ E

on a

reste

_

complet(f, F ) = 0

.

Exer i e 18 Notons

S

F

l'ensemble des séparants des éléments de

F

et

H

F

l'ensemble des initiaux et des séparants des éléments de

F

. Montrer que si

reste

_

partiel(f, F ) = 0

alors

f

_{∈ [F ]}

:

S

∞

F

. Montrer quesi

reste

_

complet(f, F ) = 0

alors

f

∈ [F ]

:

H

∞