Solutions en séries formelles

3.3 T rois versions du théorème des zéros

3.3.2 Solutions en séries formelles

puisque

p

est diérentiel. Il sut de prendre pour

G

le orps diérentieldes fra tionsde

R/p

etpour

u1, . . . , un

lesimagesdesindéterminéesdiérentielles

u1, . . . , un

par le morphisme naturel

φ : R → G

. Évaluer un polynme diérentiel en

(u1, . . . , un)

'est prendre son image par

φ

. Tous les éléments de

Σ

s'évaluent don en zéro. Le polynme

p

s'évalue en une quantité diérente de zéro.

Lessolutionsabstraites sontpeutêtre omplètementsatisfaisantes d'unpointde vue

al-gébriquemais,en pratique,onaimeraitquandmêmepouvoirinterpréterlesdérivations

abs-traites ommedes dérivations par rapport à des variablesindépendantes (

δ_i = ∂/∂x_i

) eton aimeraitquelessolutionssoientdes

n

upletsde fon tionsde

m

variables

uj(x1, . . . , xm)

3.3.2 Solutions en séries formelles

Nous allons ommen er par faire la moitié du hemin et her her des solutions dont

les omposantes

uj

soient des séries formelles. On interprète don les dérivations abstraites ommedes dérivationspar rapportàdes variablesindépendantes (

δi = ∂/∂xi

)eton her he des solutions de la forme

uj =X

cj,a1,...,am

x^a1

1 · · · xam

m

a1!· · · am!·

Paranalogieave un assimple.Pardénition,

Z/nZ

estl'ensembledes

n

lassesd'équivalen epourla relation d'équivalen e modulo

n

'estàdiremodulo l'idéal

(n) = nZ

de l'anneau

Z

. Onmunit

Z/nZ

d'unestru tured'anneauenposant(la barresignie lassed'équivalen e):

a + b = a + b,

a× b = a × b.

Ladénition aunsenspar e quela lassede

a + b

(resp.

a× b

)ne dépend quedes lasses de

a

et de

b

et nondesreprésentants hoisis.Parexemple,pour

n = 5

onvérieque

1 = 6

+ +

3 = 13

k k

4 = 19

1 = 6

× ×

3 = −2

k k

3 = −12

A

est unidéal d'un anneau

R

quel onque, on onstruit l'anneau quotient

R/A

exa tement dela même façon.Simaintenant

A

estunidéaldiérentield'unanneaudiérentiel

R

onpeutmunirl'anneau

R/A

d'une stru tured'anneaudiérentielenposant,pourtoutedérivation

δ

δa = δa.

Làaussi,par equel'idéalestdiérentiel,la lassedeladérivéede

a

nedépend quedela lassede

a

etpas dureprésentant hoisi.

Les oe ients

cj,a1,...,am

appartiennent à une stru ture qui reste à pré iser. On verra qu'il sut de les prendre dans une extension algébrique de

K

qui dépend du système onsidéré. Remarque : la série idessus est entrée sur l'origine pour faire simple mais les

raisonne-ments tenus se généralisent immédiatement à des séries entrées en un élément quel onque

R^m

.Autre remarque:le adre idessus ouvre aussile as de systèmesdiérentielsdont les oe ients appartiennent à

Q(x1, . . . , xm)

. Il sut en eet de oder haque variable in-dépendante

xi

par une indéterminée diérentielle

zi

et d'ajouter au système onsidéré les équations

δjzi = 1

i = j

0

sinon. Noussupposons don sans perte de généralité que

K

est un orps de onstantes.

Commençonsparunexemple:l'idéaldiérentiel

A= [u2

x−4 u]

de l'anneaudepolynmes diérentiels

R = Q{u}

muni d'une unique dérivation

δx

.On regarde

A

ommeun idéal non diérentiel de l'anneau

Q[u, ux, uxx, . . .]

et on onsidère une de ses solutions

uˆ

(dans une extensionde orps

G₀

du orps de base

Q

des équations). Con rètement,sur l'exemple,

ˆ

u

est une solution du système forméde

p

et de l'innité de ses dérivées











u²_x− 4 u = 0,

2 uxuxx− 4 ux = 0,

2 uxuxxx− 2 u2

xx− 4 uxx = 0,

. . . Par exemple

ˆ

u = (û, û_x, û_xx, . . .) = (9, 6, 2, 0, . . .).

J'appelleune telle solutionune solution purement algébrique de

A

. Plus formellement,

Dénition 1 (solution purement algébrique)

Soient

A

un idéal diérentiel d'un anneau de polynmes diérentiels

K{U}

φ

une appli ation de l'ensemble des dérivées

ΘU

dansune extension de orps nondiérentielle

G0

K

. L'appli ation

φ

, qui se prolonge de façon unique en un morphisme d'anneau non diérentiel

K[ΘU]→ G0

, est une solution purement algébrique de

A

φA = (0)

. Formonsla série

u = û + ûxx +û^ˆ^xx

2 ^x

2+· · ·

et substituons la dans

u2

x− 4 u = 0

vue omme une équation diérentielle, la dérivation

δx

étant

∂/∂x

ux = ûx+ ûxxx +û^ˆ^xxx

2 ^x

2+· · ·

u²_x = ˆu²_x+ 2 ˆuxuˆxxx +· · ·

u²_x− 4 u = (û²x− 4 û) + (2 ûxuˆ_xx− 4 ûx) x +· · ·

= 0.

On onstate queles oe ientsde la série

u_x²− 4 u

sontdonnés par

p

etses dérivées évalués sur

uˆ

'estàdire

p(ˆu)

px(ˆu)

, ... Tous les oe ients de la série sont don nuls. La série

u

est don une solutionde l'équationdiérentielle.On peut d'ailleursmontrer sur et exemple

pré is que les valeurs

uˆxk

sont nulles pour

k ≥ 3

. La série

u

est don le polynme

u =

9 + 6 x + x2

. On atrouvé l'une des paraboles

u(x) = (x + 3)2

Inversement, supposons que lasérie formelle

u =X

ˆ

u_xk

xk

k!

soitune solution de l'idéal diérentiel

A

. Alors, quelque soit

p∈ A

,la série

p(u) =X

p_xk(ˆu)^x

k

k!

est identiquement nulle, don

p_xk(ˆu) = 0

pour tout

k

et don

uˆ

est une solution purement algébriquede

A

Le raisonnement tenu sur l'exemple se généralise. Soit

A

un idéal diérentiel de

R =

K{u1, . . . , un}

muni de dérivations

∂/∂xi

pour

1≤ i ≤ m

.Un

n

uplet

(u1, . . . , un)

de séries formelles

uj =X

cj,a1,...,am

x^a1

1 · · · xam

m

a1!· · · am! ⁽¹≤ j ≤ n)

(dontles oe ients

cj,a1,...,am

appartiennent àuneextensionde orps (nondiérentielle)

G0

du orps de base

K

) onstitue une solutionde

A

siet seulementsi l'appli ation

∂a1+···+amu_j

∂x^a1

1 · · · ∂xam

m

7→ cj,a1,...,am

onstitue une solution purement algébrique de

A

. On en déduit le

Théorème et dénition 2 (théorème des zéros pour les solutions en série formelle)

Dénissons une solution en série formellede

Σ

omme ladonnée

1. d'une extension de orps non diérentielle

G₀

K

(on peut prendre

G₀ = C

dans tous les as),

2. d'un

n

uplet

(u₁, . . . , u_n)∈ G = G0[[x₁, . . . , x_m]]n

qui annule les éléments de

Σ

. Alors un polynme diérentiel

p ∈ R

s'annule sur toutes les solutions en série formelle de

Σ

si et seulement si

p∈ ^p[Σ]

. En parti ulier

Σ

est sans solution en série formelle si et seulement si

1∈ [Σ]

Preuve L'impli ation de droite à gau he est immédiate.

L'impli ation de gau he à droite. On onsidère un polynme diérentiel

p /∈^p[Σ]

eton montreque

Σ

admetunesolutionensérieformellequin'annulepas

p

.Lethéorème1implique qu'ilexisteun idéaldiérentielpremier

p

qui ontient

Σ

maispas

p

.D'aprèslethéorème des zéros (la version purement algébrique)

p

admet une solution purement algébriquedans une

extension de orps non diérentielle

G0

K

(et don une solution en série formelle dans

G0[[x1, . . . , xm]]

d'après e qui pré ède) quin'annulepas

p

On montreen se tion6.1.4,page97 omment al ulerledéveloppementen sérieformelle

d'un idéal diérentiel présenté par un ensemble ara téristique diérentiel (ou une haîne

diérentielle régulière).

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 46-49)

3.3 T rois versions du théorème des zéros

3.3.2 Solutions en séries formelles

p

G

R/p

u1, . . . , un

u1, . . . , un

φ : R → G

(u1, . . . , un)

φ

Σ

p

δi = ∂/∂xi

n

m

uj(x1, . . . , xm)

uj

δi = ∂/∂xi

uj =X

cj,a1,...,am

xa1

1 · · · xam

m

a1!· · · am!·

Z/nZ

n

n

(n) = nZ

Z

Z/nZ

a + b = a + b,

a× b = a × b.

a + b

a× b

a

b

n = 5

1 = 6

+ +

3 = 13

k k

4 = 19

1 = 6

× ×

3 = −2

k k

3 = −12

A

R

R/A

A

R

R/A

δ

δa = δa.

a

a

cj,a1,...,am

K

Rm

Q(x1, . . . , xm)

xi

zi

δjzi = 1

i = j

0

K

A= [u2

x−4 u]

R = Q{u}

δx

A

Q[u, ux, uxx, . . .]

uˆ

G0

Q

ˆ

u

p

δ_i = ∂/∂x_i

x^a1

R^m

G₀

u²_x− 4 u = 0,

u = (û, û_x, û_xx, . . .) = (9, 6, 2, 0, . . .).

u = û + ûxx +û^ˆ^xx

2 ^x

ux = ûx+ ûxxx +û^ˆ^xxx

2 ^x

u²_x = ˆu²_x+ 2 ˆuxuˆxxx +· · ·

u²_x− 4 u = (û²x− 4 û) + (2 ûxuˆ_xx− 4 ûx) x +· · ·

u_x²− 4 u

u_xk

p_xk(ˆu)^x

p_xk(ˆu) = 0