Di ultés de l'intégration numérique

La simulation numérique pré édente présente une di ulté : il faut résoudre à haque

pas une équation impli iteen lavariable

A

. Le système àintégrer est en eetde laforme

f1(A, R) = 0, C = f^˙ 2(A, R, C), R = f^˙ 3(A, R, C)

où

f1, f2

et

f3

sont des fon tions polynmes. Pour intégrer numériquement les équations, il faut pouvoir les évaluer or

f1

est impli ite. Il faut alors  suivre  la ra ine réelle de

f1

initialement hoisie à haque modi ation de

R

. J'ai pro édé de la façon suivante. Étant donnéun ouplede réels

(R, C)

,l'algorithme al uletouteslesvaleursréellespossiblesde

A

en utilisant un algorithme d'isolation de ra ines réelles en une variable [22, 88℄. La bonne

ra ineest i i laplus grandedes deux. Letriplet

(A, R, C)

étant onnu,il ne reste plusqu'à al uler

f2(A, R, C)

et

f3(A, R, C)

.

Sur et exemple, on dispose d'une autre façon de ontourner la di ulté : il sut de

modier légèrement le lassement et de ranger les variables lentes de la façon

R > A > C

aulieu de

A > R > C

.On obtient ainsi un système à intégrer numériquement de la forme

R = g1(A), C = g^˙ 2(A, R, C), A = g^˙ 3(A, R, C)

où

g1, g2

et

g3

sont des fon tions polynmes.Voi iles détailsobtenusave BLAD. $ ./differential_elimination

result of differential elimination = interse tof_reg hain ([reg hain ([2*R*A^2

+ 100*R*A + A^2 - 2450*A - 12500, C[t℄*A + 50*C[t℄ + A^2 + A*C - 2450*A + 50*C

- 12500, 12500*A[t℄*A^3 + 1375000*A[t℄*A^2 + 15625000*A[t℄*A + 312500000*A[t℄

+ 10*A^6 + 10*A^5*C - 17999*A^5 + 2000*A^4*C - 3252200*A^4 + 125000*A^3*C

differential, autoredu ed, primitive, squarefree, oherent, normalized℄),

reg hain ([3700*C^2 - 2015100*C + 1842117993, 80282*A - 1850*C + 905185℄, [

differential, autoredu ed, primitive, squarefree, oherent, normalized℄)℄, [

differential, autoredu ed, primitive, squarefree, oherent, normalized℄)

Le résultat obtenu peut surprendre ertains le teurs. On lit en eet régulièrement que,

pour approximerun système diérentiel omme nousl'avons fait, il sutde poser queles

dérivées des variables rapides sont nulles . Ce type d'armation onduit à des

ontradi -tions. En eet, la variable

A

fait partie des variables rapides. Si on pose sa dérivée nulle, omment se faitil qu'on trouve une équation

_{A = g}˙ _{3(A, R, C)}

? Réponse : onne pose pas la dérivée des variables rapides égale à zéro; on simplie les équations diérentielles qui

dénissent lesvariableslentes sur lavariété algébriqueobtenue en posantnulsles membres

Simpli ation de systèmes diérentiels

Ce hapitre dé rit l'algorithme RosenfeldGröbner. On ommen e par traiter à la main

deux exemples : un exemple diérentielordinaire etun exemple aux dérivées partielles. On

donneensuite les héma de prin ipede l'algorithme.Dans ladernière partiedu hapitre,on

détaille un peu l'implantation faite en BLAD. On dé rit en parti ulier un mé anisme qui

évited'engendrerdes paires ritiquesinutilesdansle as dessystèmesauxdérivées partielles

et un mé anisme qui évited'engendrer des dis ussions de as inutiles lorsdu traitementde

ertains sousproblèmes purement algébriques. Dans e domaine, des progrès

supplémen-tairessigni atifspeuvent ertainementêtreen oreapportés,ens'appuyantsur lesrésultats

de Mar Moreno Maza [70℄.

L'algorithmeRosenfeldGröbnerprenden entréeunsystème

Σ

depolynmesdiérentiels et un lassement arbitraires. Il produit en sortie une famille nie de haînes diérentielles

régulières

C1, . . . , Ct

. La famille produite en sortie est équivalente au système initial dans le sens où toute solution analytique (sur un ouvert

D

qu'on ne pré ise pas) de

Σ

est une solution analytique de l'un des idéaux diérentiels

[Ci]

:

H_C^∞_i

représentés par les haînes et ré iproquement.Ditautrementen utilisantla orrespondan eentreidéauxetvariétésdénie

par le théorème des zéros, lafamilleproduite est équivalenteausystème initialdans le sens

où:

p

[Σ] = [C1]

:

H_C^∞1 ∩ · · · ∩ [Ct]

:

H_C^∞_t.

Ladé omposition al uléen'estpas minimale.Rendreminimaleunetelle dé ompositionest

unproblèmeouvertpourlessystèmesdiérentiels.S hématiquement,l'algorithmeRosenfeld

Gröbner omportedeux étapes:uneétapediérentiellepuisune étapepurementalgébrique.

L'étapediérentielle onsisteàreprésenter

Σ

parunefamilledesystèmesdiérentiels régu-liers

Ai = 0, Si 6= 0

quisontdes systèmesquine sontpas en oredes haînesdiérentielles régulièresmais auxquels leslemmesde Lazardetde Rosenfelds'appliquentdéjà.Lase onde

étape onsiste à transformer ha un des systèmes diérentielsréguliers en une famille nie

de haînesdiérentielles régulières.

b = 0

, ily a elles qui annulent

a

et elles qui n'annulent pas

a

. En d'autres termes

a x + b = 0 ⇔



a = 0, b = 0

ou

x =−_a^b, a6= 0



.

À ette idée s'ajoute un problème parti ulier à régler dans le as des systèmes aux dérivées

partielles: la ohéren e .

Ilsemblequ'AbrahamSeidenberg[95℄aitétélepremieràappliquerlesméthodesdé rites

idessus (s indages, résolution du problème de ohéren e, orrespondan e entre idéaux et

variétés grâ e au théorème des zéros) aux systèmes de polynmes diérentielsmais

Seiden-bergnedisposaitpasen1956desméthodes(basesdeGröbner, haînesrégulières)permettant

d'ee tuer lestraitementspurement algébriquesné essaires sur lessystèmes diérentiels

ré-guliers.Ilselimitaitauxpurs lassementsd'élimination.Surtout,ilne her haitpasà al uler

une représentation duradi alde l'idéaldiérentielengendré par unsystème ande pouvoir,

par exemple, en étudierlessolutions.Il her hait un algorithme de prin ipe, prenanten

pa-ramètreunsystème etunpolynme,dé idantsilepolynmeappartientauradi alde l'idéal

déni par le système, 'estàdire un algorithme à résultatbooléen.

Avant lui, Joseph Fels Ritt a proposé [86℄ un algorithme pour représenter le radi al

d'un idéal diérentiel présenté par une famille de polynmes sous la forme d'une

interse -tions d'idéaux présentés par des ensembles ara téristiques (ou des haînes diérentielles

régulières) dénissant des idéaux diérentiels premiers : Ritt ne dispose pas du théorème

d'équidimensionnalité des idéaux dénis par des haînes régulières qui lui permettraientde

onsidérerle as général.De plus,son algorithmene s'appliquequ'aux systèmesdiérentiels

ordinaires (Ritt ne dispose pas non plus des théorèmes de Seidenberg et de Rosenfeld) et

pro ède à des fa torisations omplètes sur des tours d'extensions algébriques du orps des

oe ients des équations. Cetteopération est algorithmique [99℄ mais très oûteuse.

Après Seidenberg, Ellis Robert Kol hin a généralisé [56℄ les méthodes de Ritt mais y a

introduitdesétapesnonalgorithmiques.Onnepeutdon plusvraimentparlerd'algorithme.

Les idées de Seidenberg ont été reprises ensuite par de très nombreux auteurs, en

par-ti ulier par Wu WenTsün [100℄ dans le ontexte diérentiel ordinaire mais sans faire la

orrespondan e entre les variétés et les idéaux et surtout sans pro éder à la simpli ation

purement algébrique nale des systèmes produits à la n de l'étape diérentielle. Au

dé-but des années 1990, Elizabeth Manseld a réalisé [67℄ un algorithme de simpli ation de

systèmes diérentielspolynomiaux qui s'applique aux systèmes aux dérivées partielles.Elle

a utilisé une implantation en MAPLE de son logi iel digrob pour traiter de nombreux

exemples et a étendu les fon tionnalités de son paquetage en dehors du adre de l'algèbre

diérentielle (son paquetage permet de traiter des fon tions omposées par exemple). Les

bases théoriques de digrob ne sont pas aussi rigoureuses que elles de RosenfeldGröbner.

Un autre algorithme de simpli ation de systèmes diérentiels a été proposé [84℄ par

Gre-goryJ.Reid,AllanD.WittkopfetAlanBoulton.Voiraussil'arti le[83℄de GregoryJ.Reid,

P. Lin et Allan Wittkopf pour une appli ation plus spé ique aux problèmes diérentiels

algébriques. L'algorithme rif présente la parti ularité de séparer les systèmes diérentiels,

d'une part en une partie diérentielle expli ite (les dérivées dominantes des polynmes

est présentée via une variété algébrique formée de polynmes diérentiels d'ordre zéro. La

théoriederifaété onçuepour le ontexte dessystèmes diérentielsanalytiquesquiest plus

généralque le ontexte des systèmespolynomiaux.Dans e ontexte, onne dispose d'au un

analoguesatisfaisantdu lemmede Rosenfeld.

Dans mathèse [7℄, j'ai repris l'idée de Seidenberg et en quelque sorte terminé le travail

amor é en montrant d'une part qu'on pouvait utiliser l'algorithme de bases de Gröbner

pour ee tuer lasimpli ationpurement algébriquenaleet d'autrepart, dans le adre des

systèmes auxdérivées partielles, ommentle lemmede Rosenfeld[87℄ pouvaitêtreappliqué.

Ce résultat, augmenté du lemme de Lazard, aensuite été publié par Daniel Lazard,Mi hel

Petitot, François Ollivieretmoidans [9℄.

En 19951996, j'ai onçu et réalisé lapremière version du paquetage dialg de MAPLE

lors de mon stage postdo toral au Symboli Computation Group de l'université de W

a-terloo (Ontario, Canada). La première implantation de RosenfeldGröbner qui y gure est

assez sophistiquée. Elleest dé rite dans l'arti le[10℄. Évelyne Hubert, AllanD. Wittkopfet

François Lemaire ont amélioré dialg et l'ont interfa é ave les autres solveurs d'équations

diérentiellesde MAPLE durant lesannées qui ontsuivi.

Entre 1995 et 2000, un important travail a été ee tué sur la théorieet l'algorithmique

de la se onde partie de l'algorithme. C'est Évelyne Hubert qui la première a montré [49℄

que ettese onde partieest bienun problèmepurementalgébrique.FrançoisLemaireetmoi

avons montré [12℄ omment le prin ipe de l'algorithme lexTriangular pouvaitêtre appliqué

pour éviter toutre oursaux basesde Gröbner. L'algorithmereg_ hara teristi ainsi obtenu

est dé rit dans le hapitre6.

De nombreuses variantesde RosenfeldGröbnerontété publiées. ZimingLietDongming

Wang ont présenté dans [63℄ une méthode très pro he fondée sur les méthodes de al ul

d'ensembles triangulairesdu deuxièmeauteur.Une autreméthode, fondéesur de nombreux

al uls de bases de Gröbner, a été développée par l'équipe d'Abdelillah Kandri Rody dans

la thèse d'Hamid Maârouf [66℄ et l'arti le [16℄ de Driss Bouziane, Abdelillah Kandri Rody

et Hamid Maârouf.

9.1 RosenfeldGröbner sur deux exemples

Dans ette se tion,on traiteà lamain deux exemplespour illustrerles grandsprin ipes

de l'algorithme.

Dénition 15 (système diérentiel régulier)

Un systèmediérentielrégulierestun système

A = 0, S6= 0

d'équationset d'inéquations diérentielles polynomiales d'un anneau de polynmesdiérentiels

R

tel que

1.

A

est partiellement autoréduitet triangulaire,

2.

S

ontient les initiaux et les séparants des éléments de

A

et ne omporte que des polynmes diérentiels partiellementréduits par rapport à

A

,

réguliers sont des systèmes auxquels les théorèmes dé rits au hapitre 7 s'appliquent. On

peut résumer leurs propriétés lesplus utilespar lethéorème suivant.

Théorème 12 Soient

A = 0, S 6= 0

un système diérentiel régulier et

p

un polynme diérentiel.

1. L'idéal

(A)

:

S^∞

est radi al.

2. L'idéal diérentiel

[A]

:

S^∞

est radi al.

3. Le polynme

p

appartient à

[A]

:

S^∞

si et seulement si le reste partiel de

p

par

A

pour la rédu tion de Ritt appartient à

(A)

:

S^∞

.

4. Le polynme

p

s'annule surtoute solution du système siet seulement si

p

appartient à

[A]

:

S^∞

.

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 138-143)