Cal uler dans les modules de diérentielles de Kähler

Avant de présenter algébriquement les modules de diérentielles de Kähler, je présente

une façon de les omprendre. Considéronsle polynme

y− x².

La variété algébrique qu'il dénit (l'ensemble des zéros du polynme) forme une parabole.

La diérentielle de e polynme est l'expression linéaire

dy− 2 x dx

qu'onpeut interpréter ommesuit:sionidentiel'axedes

x

etl'axedes

dx

d'unepart,l'axe des

y

et elui des

dy

d'autre part, alors en tout zéro

(x, y) ∈ R2

du polynme, l'ensemble

des ouples

(dx, dy)∈ R2

tels que

dy− 2 x dx = 0

dé ritlatangenteàlaparaboleen

(x, y)

. Sur le graphique suivant, on a tra é la parabole ainsi que la droite

dy − 2 x dx = 0

pour

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -3 -2 -1 0 1 2 3

y− x2

= 0

dy + 2 dx = 0

La même onstru tion s'appliqueaux équations diérentielles ordinaires et aux dérivées

partielles.Considérons lepolynmediérentielordinaire

˙x− x2.

La variété algébriquediérentiellequ'il dénit est l'ensemblede fon tions

x(t) =−_t ¹

− c

où

c∈ R.

Pour ha une des fon tions idessus, ona

˙x(t) = ¹

(t− c)2·

Pour une valeur de

c

xée, l'ensemble des triplets

(t, x(t), ˙x(t))

dé rit une ourbe dans

R³

dontvoi iun exemple.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

t

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

x

0 2 4 6 8 10 12

˙x

La diérentielle du polynmediérentiel

˙x− x2

est l'expression linéaire

d ˙x− 2 x dx

qu'on peut interpréter omme suit : si on identie l'axe des

x

et l'axe des

dx

, l'axe des

˙x

et l'axedes

d ˙x

, l'axe des

t

ave l'axe des

dt

, alors en tout point

(t, x(t), ˙x(t))

de la ourbe, l'ensemble des triplets

(t, dx(t), d ˙x(t))

dé rit un plan, tangent en

(t, x(t), ˙x(t))

, et perpen-di ulaireau plan

(x, ˙x)

. Pour obtenir latangente àla ourbe, ilfaudrait interse ter e plan ave le plan dénipar laformede onta t

dx− ˙x dt

mais e n'estpas né essaire pour notre expli ation. Projetons maintenant les graphiques sur le plan

(x, ˙x)

. La ourbe devient une parabole

(x(t), ˙x(t))

. Les plans tangents deviennent des tangentes

(dx(t), d ˙x(t))

à la para-bole. Si on intègre le polynme diérentiel pour une ertaine ondition initiale on obtient

un point qui se dépla e au ours du temps le long de la parabole. Si on intègre en même

temps sa diérentielle pour une autre ondition initiale,on obtient un ve teur tangent à la

parabole qui se dépla e ave le point. Sur l'exemple, les intégrations peuvent être menées

formellement.Elles onsistent à résoudre lesystème

˙x− x2 = 0, d ˙x− 2 x dx = 0.

On trouve

x(t) =−_t ¹

− c

et

dx(t) = ^c

′

(t− c)2,

où

c, c′ ∈ R

et don en évaluant leséquations du système

˙x(t) = ¹

(t− c)2

et

d ˙x(t) = − ^{2 c}

′

(t− c)3·

Le graphique suivant a été obtenu pour un ouple

(c, c′)

xé, en faisant varier

t

sur un in-tervalleet en évaluant lesquatre fra tions rationnelles idessus. Pour garder un graphique

lisible, onn'a tra éque trois ve teurs

(dx(t), d ˙x(t))

d'origine

(x(t), ˙x(t))

et onlesa norma-lisés. On onstate visuellementqu'ils sont tangents à laparabole.

0 2 4 6 8 10 12

˙x

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0

x

R

s

j

Dernière onstatation : l'opération

d

, qui àun polynme diérentielasso iesa diéren-tielle, ommuteave ladérivationparrapportautemps.Lafon tion

d ˙x(t)

,dontl'expression analytiqueestdonnée idessus,estégalenonseulementà

2 x(t) dx(t)

maisaussiàladérivée par rapportau tempsde lafon tion

dx(t)

. Dit autrement,

d( ˙x(t)) =_dx(t).c^˙

En un sens, 'est évident mais on peut prendre un autre exemple pour a hever de se

onvain re : onsidérons la diérentielle de la dérivée du polynme diérentiel qui nous

sert d'exemple. Ellepermet de dénir

d¨x

.

d(¨x− 2 x ˙x) = d¨x − 2 x d ˙x − 2 ˙x dx.

On obtient la valeur de

d¨x

en remplaçant

x

,

˙x

,

dx

,

d ˙x

par leur valeur. On onstate qu'on trouve lamême fon tion qu'en dérivant

d ˙x

par rapportautemps :

d¨x = ^{6 c}

′

(t− c)4·

Formalisation

Les al uls menés sur l'exemple se généralisent. Ils sont formalisés dans la théorie des

diérentiellesd'Erwin Kähler [53℄ (voir aussi [37, hapitre 16℄) dont l'adaptation au as des

systèmes diérentiels est due à Joseph Johnson[52℄.

Dénition 10 Si

K

est un orps et

G

est une algèbre sur

K

alors le module des dié-rentielles de Kähler de

G

sur

K

, noté

ΩG/K

, est le module sur

G

engendré par l'ensemble

{db | b ∈ G}

tel que

d(b + b′) = db + db′

pour tous

b, b′ ∈ G

d(b b′) = b db′ + b′db

pour tous

b, b′ ∈ G

da = 0

pour tout

a∈ K

L'opérateur d  ommute ave lesdérivations:

Proposition 28 Si

K

est un orps diérentiel et

G

est une algèbre diérentielle sur

K

alors

Ω_G/K

peut être anoniquement muni d'une stru ture de module diérentiel sur

G

tel que, pour toute dérivation

δ

sur

G

, on ait

d δb = δ db

.

Preuve Voir[52, Proposition, page 93℄.

Le théorème suivant est purement algébrique. Il est très important algorithmiquement

par e qu'il permet de réduire la question de l'existen e d'une dépendan e algébrique entre

Théorème 2 Si

K

estun orpsde ara téristiquenulleet

G

estuneextensionde orpsde

K

alors les éléments

η1, . . . , ηr

de

G

sont algébriquement indépendants sur

K

si et seulement si les éléments

dη1, . . . , dηr

sont linéairement indépendants sur

G

.

Preuve Voir[37, Theorem 16.14,page 400℄ ou [52, Lemma,page 94℄.

On verra qu'on va appliquer le théorème 2 dans le as où

G

est le orps des fra tions du quotient

R/p

d'un anneau de polynmes

R

par l'un de ses idéaux premiers, luimême présentéparune haînediérentiellerégulière.Engénéral,les haînesdiérentiellesrégulières

nedénissentpasdesidéauxpremiersmaisdesidéauxradi aux(lemmedeLazard).L'anneau

total des fra tions 1

de l'anneau

R/A

dans le as où

A

est radi aln'est pas un orps mais un  produit de orps  'estàdire un anneau produit dont les omposantes sont des orps.

C'estmêmeun produitde orpsdiérentielsdans le as où

A

est unidéal diérentiel(lifting dulemmedeLazard).Ave desmotssimples, elane hangeriensurlefondpuisqu'ilsutde

traiterl'anneautotaldesfra tionsde

R/A

ommeun orpsjusqu'à equ'ons'aperçoivequ'il ne l'est pas (prin ipe

D5

).Plus rigoureusement, ilsut d'appliquer la proposition suivante.

Proposition 29 Si

G₁, . . . , G_r

sont des algèbres sur

K

et

G = G₁× · · · × Gr

alors

ΩG/K = ΩG1/K × · · · × ΩGr/K.

Preuve [37, Proposition 16.10, page 398℄.

Forme normale d'une diérentiellede Kähler

Soit

A

une haîne diérentielle régulièred'un anneau

R = K{U}

pour un lassement

O

. En s'appuyant sur le fait que l'opérateur  d  ommute ave les dérivations, on assimile

la diérentielle

du

de haque indéterminée diérentielle

u ∈ U

à une nouvelle indéterminée diérentielle.On étendle lassement

O

en un lassement noté

dO ≫ O

de la façon suivante :

1. toute dérivée de

ΘdU

est supérieure àtoute dérivée de

ΘU

; 2. lesdérivées de

ΘU

sont ordonnées suivant

O

;

3. pour toutes dérivées

dv, dw ∈ ΘdU

onpose

dv < dw

si etseulement si

v < w

. À titre d'exemple, reprenons le système

A ={f1, f2, f3, f4}

suivant :

v_xx− ux= 0, v_y− ^uxuy

4 ^{= 0, u}

2

x− 4 u = 0, u2

y − 2 u = 0

1

L'anneau total des fra tions d'un anneau

R

s'obtient en rendant inversiblestous les non diviseurs de zérode

R

.Si

R

estintègre,sonanneautotaldesfra tionsestégalàson orpsdesfra tions.

· · · > vyy > uxx > uxy > uyy > vx > vy > ux > uy > v > u.

L'ensemble

dA

est

dvxx− dux = 0, dvy − ^{uxduy + uydux}

4 ^{= 0, 2 uxdux}− 4 du = 0, 2 uyduy − 2 du = 0.

Le lassement

dO ≫ O

est

· · · > dvy > dux> duy > dv > du >· · · > vy > ux > uy > v > u.

Proposition 30 Si

A

est une haîne diérentielle régulière de

K{U}

pour un lassement

O

alors

A∪ dA

est une haîne diérentielle régulière de

K{U ∪ dU}

pour le lassement

dO ≫ O

.

Preuve On note

A

l'idéal diérentiel déni par la haîne

A

. Si

p ∈ A

admet

v

pour dérivée dominante alors

dp

admet

dv

pour dérivée dominante et le séparant de

p

pour initialetséparant.Lesystème

dA

est don diérentiellementtriangulaire.Lesinitiaux etles séparants de e système vérient les mêmes onditions de régularité que eux de

A

. Reste, dans le as des systèmes aux dérivées partielles, le problème de la ohéren e. Considérons

le

∆

polynme engendré par deux éléments de

dA

omplètement réduit par

A∪ dA

pour la rédu tion de Ritt. Il est né essairement nul puisqu'il fournirait autrement une relation

linéaire sur l'anneau total des fra tions

G

de

R/A

entre les diérentielles des dérivées sous leses aliers de

A

(on utilise lefait queles lassements sur

O

et

dO

orrespondent) etdon , d'après le théorème 2, une dépendan e algébrique entre lesdérivées sous leses aliers de

A

. Orl'ensembledesdérivées sousleses aliersde

A

est algébriquementindépendantmodulo

A

. Le système

A∪ dA

est don ohérent.

Avant d'énon er la dénition suivante, on note que l'algorithme de al ul de la forme

normale d'un polynme diérentiel modulo une haîne diérentielle régulière s'étend sans

di ulté au al ul de la forme normale d'une fra tion rationnelle diérentielle modulo une

haînediérentiellerégulière.Cetteextensiondel'algorithmede formenormalepermetainsi

de al uler dans un produit de orps diérentielprésenté par générateurs et relations.

Dénition 11 Soient

A

une haîne diérentielle régulière de

R = K{U}

et

A

l'idéal dié-rentiel qu'elle dénit. Soit

G

l'anneau total des fra tions de

R/A

. Pour toute diérentielle

b ∈ ΩG/K

on dénit la forme normale de

b

dans

ΩG/K

omme la forme normale de

b

, vue ommeune fra tionrationnellede deuxpolynmesde

K{U ∪dU}

par la haînediérentielle régulière

A∪ dA

:

NF

ΩG/K

Cal ulons àtitre d'exemplelesformesnormalesdes diérentielles

dvyy

et

dvy

dans

ΩG/K

où

G

est l'anneau total des fra tions de

R/A

et

A

est l'idéal déni par la haîne diéren-tielle régulière

A

idessus. Pour simplierles al uls,on ommen e par al ulerles formes normales des dérivées

vyy

et

vy

par la haîne

A

(en fait, il sut de onsulter le tableau de la se tion 6.1.2, page 87). On al ule ensuite les formes normales des diérentielles de es

fra tions rationnelles.

NF

Ω_G/K(dvyy) = NF



dux

2 ^{, A}∪ dA



= NF



du

ux

, A∪ dA



= ^ux

4 u^du.

NF

Ω_G/K(dv_y) = NF



u_xdu_y + u_ydu_x

4 ^{, A}∪ dA



= ^uxuy

4 u ^du.

On observe que es deux formes normales sont linéairementdépendantes sur

G

puisqu'ona

u_ydv_yy− dvy = 0.

Le théorème 2 s'applique : les dérivées

vyy

et

vy

sont algébriquement dépendantes sur

K

modulo l'idéal

A

.Enénumérant lesformes normalesdes termesde laforme

va

yyvb

y

par degré total roissant, onvérie que

v_yy⁴ − 2 vy²∈ A.

Le programme C suivant vérie les al uls idessus. Les trois premières formes normales

al ulées sont les formes normales de trois diérentielles de Kähler. Elles sont al ulées en

appliquant la dénition 11 à la lettre. Les formes normales qui suivent sont des formes

normalesde termesde laforme

v_yy^a v^b_y

. /* File dfglm. */ #in lude "bad.h" int main () { bav_Iordering r; stru t bap_tableof_ratfra _mpz T; stru t bap_ratfra _mpz NF; stru t bad_reg hain C; stru t ba0_mark M; int i; bad_restart (0, 0); ba0_re ord (&M);

ba0_ss anf2 ("ordering (derivations = [x, y℄, blo ks = [[dv, du℄, [v, u℄℄)",

"%ordering", &r);

bap_init_ratfra _mpz (&NF);

ba0_init_table ((ba0_table)&T);

/*

The system A union dA

*/

ba0_ss anf2

("reg hain ([dv[x,x℄ - du[x℄, v[x,x℄ - u[x℄, \

dv[y℄ - (u[x℄*du[y℄ + u[y℄*du[x℄)/4, v[y℄ - u[x℄*u[y℄/4, \

2*u[x℄*du[x℄ - 4*du, u[x℄^2 - 4*u, \

2*u[y℄*du[y℄ - 2*du, u[y℄^2 - 2*u℄, \

[prime, differential, oherent, squarefree, autoredu ed, primitive℄)",

"%reg hain", &C);

ba0_ss anf2 ("[dv, dv[y℄, dv[y,y℄, \

1, v[y,y℄, v[y℄, v[y,y℄^2, v[y,y℄*v[y℄, v[y℄^2, v[y,y℄^4℄",

"%t[%Qz℄", &T);

for (i = 0; i < T.size; i++)

{ bad_normal_form_ratfra _mod_reg hain

(&NF, T.tab [i℄, &C, (bap_polynom_mpz*)0);

ba0_printf ("normalf form (%Qz) = %Qz\n", T.tab [i℄, &NF);

}

ba0_restore (&M);

bad_terminate (ba0_init_level);

return 0;

}

Voi ilesa hages obtenus à l'exé ution.

normalf form (dv) = dv

normalf form (dv[y℄) = (du*u[x℄*u[y℄)/(4*u)

normalf form (dv[y,y℄) = (du*u[x℄)/(4*u)

normalf form (1) = 1

normalf form (v[y,y℄) = (u[x℄)/(2)

normalf form (v[y℄) = (u[x℄*u[y℄)/(4)

normalf form (v[y,y℄^2) = u

normalf form (v[y,y℄*v[y℄) = (u[y℄*u)/(8)

normalf form (v[y℄^2) = (u^2)/(2)

normalf form (v[y,y℄^4) = u^2

Les raisonnements tenus sur l'exemple segénéralisent.

Proposition 31 Un ensemble de dérivées

{v1, . . . , v_r}

de

ΘU

est algébriquement indépen-dantsur

K

sil'ensembledes formesnormales desesdiérentielles,vues ommedes ve teurs d'éléments de

G

dans la base

ΘdU

, est linéairement indépendant sur

G

.

tués audessus d'un orpsdiérentiel(et mêmed'un produit de orps diérentiels) présenté

par générateurs et relations. Il faut être apable de re onnaître zéro dans

G

. L'algorithme de forme normaleen fait plus mais sut pour ela.

Dans ertains as, où les algèbres de formes normales sont des algèbres libres, on peut

utiliserdes algorithmesseminumériquesen évaluant lesformesnormalesen des nombreset

en her hant lesdépendan es linéairesentre ve teurs de nombres. Cettesituationseproduit

pour les équations d'Euler pour un uide in ompressible (voir en se tion 6.2.3, page 105).

En utilisant un algorithme seminumérique(et don probabiliste),j'ai pu (presque) établir

que l'idéal diérentiel engendré par les équations ontient un polynme diérentiel qui ne

dépend que des dérivées suivantes de la pression:

pttxxx, pttxxy, pttxyy, pttyyy, ptxxxx, ptxxxy, ptxxyy, ptxyyy, ptyyyy, pxxxxx, pxxxxy, pxxxyy,

pxxyyy, pxyyyy, pyyyyy, pttxx, pttyy, ptxxx, ptxxy, ptxyy, ptyyy, pxxxx, pxxxy, pxxyy, pxyyy, pyyyy,

ptxx, ptxy, ptyy, pxxx, pxxy, pxyy, pyyy, pxx, pxy, pyy, px, py

Appli ation aux algorithmes de hangement de lassement

Soit

A

une haîne diérentielle régulière pour un ertain lassement

O

d'un anneau de polynmes diérentiels

R = K{U}

. On her he une haîne diérentielle régulière

_A¯

dénissant lemême idéal diérentiel

A

que

A

mais pour un autre lassement

O¯

.

Laméthodedé rite idessuspermetde déterminer,étantdonnéunensemblede dérivées

{v1, . . . , vr} ⊂ ΘU

, si

A∩ K[v1, . . . , vr]

ontient un polynme non nul ou pas. Supposons qu'on sa he que

A∩ K[v1, . . . , vr] 6= (0)

. On peut alors énumérer les termes de la forme

v^a1

1 · · · var

r

pardegrétotal roissantjusqu'àdéte ter unedépendan e linéairesur

K

entreeux par laméthode dé rite en se tion 6.1.2. On obtient ainsi à oup sûr un élément non nul de

A∩ K[v1, . . . , vr]

.

Dansle adreduproblèmede hangementde lassement,l'idée onsisteàs'intéresseràdes

ensembles

{v1, . . . , vr}

dontlesélémentssontaussi petits que possiblevisàvisdu nouveau lassement

O¯

et don à her her des polynmes diérentiels de petite dérivée dominante visàvis de

_O¯

dans l'espoir qu'ils aideront à al uler la haîne diérentielle régulière

_A¯

. Cette idée est onfortée par le fait que les polynmes diérentiels intermédiaires engendrés

par des algorithmes de fa ture lassique tels que PARDI sont souvent beau oup plus gros

que lespolynmes de

_A¯

.

Dansle asparti ulier d'unidéaldiérentiel

A

dontlessolutionsdépendent d'unnombre nide onstantesarbitraires,onsaitquelenombrede dérivéessousleses aliersde toutesles

haînes diérentielles qui dé rivent

A

est toujours le même : 'est le nombre de onstantes arbitraires

2

. On peut alors appliquer un s héma algorithmique très fortement inspiré de

elui de l'algorithme FGLM [41℄ pour al uler,pour haque polynme de la haîne ible

_A¯

, l'ensemble des dérivées dontil dépend. Remarquer que lespolynmes ainsi obtenus ne sont

2

Cenombrede onstantes arbitrairesestledegrédetrans endan edu orpsdesfra tionsde

R/p

sur

K

pas né essairement des élémentsde la haîne

_A¯

: il ne sont pas for émentde degré minimal en leur dérivée dominanteet il n'y a au une raison que leur oe ient dominant satisfasse

les onditions de régularité né essaires.

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 89-98)