L'équidimensionnalité

Dans ette se tion, on démontre le théorème 3 qui onstitue une version généralisée du

point lef 1, page 73, qu'on a admis au hapitre 5. On onsidère un système triangulaire

A = {p1, . . . , pn}

de l'anneau

R = K[x1, . . . , xn, t1, . . . , tm]

. Chaque polynme

pi

admet

xi

pourindéterminéeprin ipale.Onnote

A

l'idéal

(A)

h^∞

R

où

h

désignesoitleproduitdes initiaux des éléments de

A

soit le produit des séparants des éléments de

A

. L'idéal

A

peut fort bien être trivial (prendre

A ={x1, x1x2}

). Nous supposons que e n'est pas le as. On note

R₀ = K(t₁, . . . , t_m)[x₁, . . . , x_n]

l'anneau obtenu en faisant passer les indéterminées non prin ipalesdans le orpsdes oe ients et

A₀

l'idéal

(A)

h^∞

R0

. On

M

lafamille multipli ativeforméedes élémentsnonnulsde

K[t1, . . . , tm]

.L'anneau

R0

estégalàl'anneau lo alisé

M−1R

.Toutélémentde

R₀/A₀

,quiestisomorpheà

(M/A)−1(R/A)

,estde laforme

a/b

ave

a∈ R/A

b∈ M/A

Théorème 3 (reformulation du point lef 1)

Dé iderde lanullitéou dela régularité dans

R/A

est stri tement équivalent àdé ider de la nullité ou de la régularité dans

R₀/A₀

Plus pré isément, un élément

a

R/A

est nul (resp. régulier) si et seulement si tout élément

a/b

R0/A0

est nul (resp.régulier).

Proposition 35 Pour démontrer le théorème 3, il sut de démontrer que tout élément

M/A

est régulier.

Preuve C'estunepropositiontrès lassique.Sitoutélémentde

M/A

estrégulieralors

R0/A0

est un sousanneau de l'anneau total des fra tions de

R/A

[108, hapter IV, paragraph 9℄. La proposition dé oulealors de [108, hapter I, paragraph19, Corollary1℄.

On rappellele élèbrethéorèmede LaskerN÷ther [108, hapterIV,Theorems 4et6℄ou

[101, se tions15.4 et15.5℄.

Théorème 4 (théorème de LaskerN÷ther)

Dans unanneau n÷thérien,tout idéalestune interse tionnied'idéaux primaires.Toute

représentation d'un idéal omme interse tion d'idéaux primaires peut être minimalisée en

nimale ainsi obtenue d'un idéal n'est pas dénie de façon unique. Par ontre, le nombre de

omposantes et les radi aux des omposantes primaires (qu'on appelle les idéaux premiers

asso iés à l'idéal) le sont.

L'anneau

R

est n÷thérien. En ombinant le théorème de LaskerN÷ther et la proposi-tion 35,on obtient lapropositionsuivante.

Proposition 36 Pour démontrer le théorème 3, il sut de démontrer qu'au un idéal

pre-mier asso ié à

A

ne ren ontre

M

Preuve D'après [108, hapter IV, paragraph 6, Corollary3℄, si

M

ne ren ontre au un des idéaux premiersasso iés à

A

alors toutélémentde

M/A

est régulier.Lethéorème 3dé oule alors de laproposition35.

Dénition 12 La dimension

dim p

d'un idéal premier

p

d'un anneau de polynmes

R

à oe ients dans un orps

K

est le degré de trans endan e du orps des fra tions de

R/p

sur

K

. La dimension

dim B

d'un idéal

B

quel onque de

R

est le maximum des dimensions des idéaux premiers asso iés à

B

Lerestede ettese tionestentièrement onsa ré àladémonstrationduthéorèmesuivant

dont le théorème 3 est un orollaire. Cette reformulation du théorème 3 est souvent utile

pour rédiger des preuves.

Théorème 5 Les idéaux premiers asso iés à

A

sont de dimension

m

et ne ren ontrent pas

M

Pour pouvoir appliquer le théorème de Ma aulay ( e qu'on her he à faire), il faut se

débarrasserde lasaturationpar

h

.Onutilise pour ela letru de Rabinowits h[101,se tion 16.5℄.Onintroduitune nouvelleindéterminée

xn+1

etun nouveaupolynme

pn+1 = h xn+1−

1

. On note

A^′ = A∪ {pn+1}

le système triangulaire de l'anneau

R^′ = R[xn+1]

obtenu en adjoignant

pn+1

A

. On note

A^′

l'idéal

(A′)

R′

. Considérons les deux morphismes

d'anneaux anoniques suivants:

R−−−→ h^φ ⁻¹R ≃ R^′/(pn+1)←−−− R^π ^′.

L'isomorphisme

h−1R ≃ R′/(pn+1)

est lassique [37, Exer ise 2.2, page 79℄: haque élément de

R

est misen orrespondan e ave luimême,

x_n+1

orrespond ave

h−1

.Le morphisme

φ

est la lo alisationen

h

. Le morphisme

π

est le passage auquotient par l'idéal

(pn+1)

. Si

B

est un idéal de

R

, on note

h−1B

(φB)

l'idéal de

h−1R

engendré par

φB

. Si

B^′

est un idéal de

R′

alors

πB′

est un idéal de

πR′ = R′/(p_n+1)

Lemme 3 L'idéal

A^′

n'est pas trivial. Si l'interse tion

q^′₁ ∩ · · · ∩ q′

r

est une dé omposition primaireminimaledel'idéal

A^′

alors

φ−1(πq′

1)∩· · ·∩φ−1(πq′

r)

estunedé ompositionprimaire minimale de l'idéal

A

hapterIV,paragraph8℄visàvisdumorphisme

φ

detellesorteque

(φA) = Ae

.L'idéal

πA′

est égal àl'idéal

(φA)

puisque esdeux idéauxadmettentune même famillegénératri e :

A

. D'après [108, hapter IV, Theorem 15 (a)℄ on a

A = Aec

puisque

A = A

h^∞

. Comme

A

n'est pas trivial,les idéaux

A^e

A^′

ne le sont don pas non plus.

Considérons maintenantune dé ompositionprimaireminimale

q^′₁∩ · · · ∩ q′

r

de l'idéal

A^′

. D'après [108, hapter IV, paragraph 5, Remark on erning passage toa residue lass ring℄,

πq′

1 ∩ · · · ∩ πq′

r

est une dé omposition primaire minimale de

πA′ = Ae

. Comme

A = Aec

d'après [108, hapter IV, Theorem 15 (b) et les ommentaires qui pré èdent℄, les idéaux

premiersasso iés à

A

ne ren ontrentpas

M

. D'après [108, hapterIV, Theorem 17℄, l'inter-se tion

φ−1(πq′

1)∩ · · · ∩ φ−1(πq′

r)

est une dé ompositionprimaireminimalede

A

Proposition 37 Pourdémontrer lethéorème5, il sutde montrer quelesidéaux premiers

asso iés à

A^′

sont de dimension

m

et ne ren ontrent pas

M

Preuve Soit

p^′

un idéal premier asso ié à

A^′

p = φ−1(πp′)

l'idéal premier asso ié à

A

qui lui orrespond d'après le lemme 3. Soit

a

un élément du sousanneau

R

R′

. Alors

a ∈ p′

si et seulement si

a/1 ∈ πp′

a/1∈ πp′

si et seulement si

a∈ p

. Par onséquent, si

p^′

ne ren ontre pas

M

alors

p

non plus et

dim p ≥ m

. Side plus

dim p′ = m

alors

x1, . . . , xn

dépendent for ément algébriquement de

t1, . . . , tm

modulo

p^′

. Don

x1, . . . , xn

dépendent algébriquement de

t₁, . . . , t_m

modulo

p

dim p ≤ m

. En ombinant les deux inégalités,on on lutque

dim p = m

Ondistinguedeuxtypesd'idéauxpremiersasso iésàunidéal

A

:lespremiersisolésou minimauxd'une partetlespremiersimmergésd'autrepart.Les premiersminimaux

sont appelés ainsi par e qu'ils sont minimaux pour la relation d'in lusion dans la famille

des idéauxpremiersqui ontiennent

A

.Unpremierimmergéest don un premierasso iéqui ontientunpremierminimal(dansle ontextedesidéauxdepolynmes,lavariétéalgébrique

d'un premierimmergéest in luse (immergée)dans elle du premierminimalqu'il ontient).

On omprendqu'onarriveassezbienà ernerlespremiersminimaux(dansle ontextedes

idéaux de polynmes en tous as) : omme ils orrespondent aux omposantes irrédu tibles

de la variété algébriquede l'idéal

A

[108, hapterVII, paragraph 3,Corollary 3to Hilbert's Nullstellensatz℄, on peut les apter par des raisonnements sur les solutions de l'idéal.

Par ontre les idéaux premiers immergés sont beau oup plus di iles à erner : ils n'ont

pas de sens géométrique aussi simple à ma onnaissan e. Voir toutefois l'interprétation

géométrique exposée dans [37, se tion3.8℄.

Pourleproblèmequinous on erne,lelemme4règlefa ilementle asdesidéauxpremiers

minimaux sur

A

. Pour le problème posé par les premiers immergés, on utilise un théorème dur : le théorème de Ma aulay ... qui prouve qu'il n'yen apas!

On rappellele théorème de l'idéal prin ipal[108, hapter VII, Theorem 22℄.

Théorème 6 (théorème de l'idéalprin ipal)

Si un idéal

A

d'un anneau

R = K[x1, . . . , xn]

admet une famille génératri e formée de

h

Revenons àl'étude de l'idéal

A^′

R^′

Lemme 4 La dimension de l'idéal

A^′

est

m

. De plus, au un idéal premier asso ié à

A^′

de dimension

m

(et don minimal sur

A^′

) ne ren ontre

M

Preuve Ce lemme est prouvé dans [21℄ dans le as où

h

est le produit des initiaux de

A

. Considérons un idéal premier

p^′

asso ié à

A^′

Considérons d'abord le as où

h

est le produit des initiaux des éléments de

A

. Alors au un de es initiaux n'appartient à

p^′

(sinon

p^′

, qui ontient

h x_n+1 − 1

, ontiendrait

1

). Don les quantités

x1, . . . , xn+1

dépendent algébriquement de

t1, . . . , tm

sur

K

dans

R′/p′

(les polynmes de

A′

ne peuvent pas dégénérer du tout modulo

p^′

Considérons maintenant le as où

h

est le produit des séparants des éléments de

A

. Soit

pℓ = adxd

ℓ +· · · + a1xℓ + a0

un quel onque élément de

A′

. Comme son séparant

sℓ =

d adx^d−1_ℓ +· · · + a1

n'appartient pasà

p^′

, aumoins undes oe ients

ad, . . . , a1

n'appartient pasà etidéal.Don lesquantités

x₁, . . . , x_n+1

dépendentalgébriquementde

t₁, . . . , t_m

sur

K

dans

R′/p′

(les polynmes de

A′

ne peuvent pas dégénérer omplètement modulo

p^′

). Danslesdeux as,

x1, . . . , xn+1

dépendentalgébriquementde

t1, . . . , tm

sur

K

dans

R′/p′

On en on lutprimo que

dim p′ ≤ m

etdon que

dim A′ ≤ m

et se undo que si

dim p′ = m

alors

p^′∩ M = ∅

L'idéal

A^′

admet une famille génératri e formée de

n + 1

éléments dans un anneau de polynmesen

n + m + 1

indéterminées.D'après lethéorème de l'idéalprin ipal

dim A′ ≥ m

. En ombinantles deux inégalités,on on lutque

dim A′ = m

Lapropositionsuivante, ombinéeàlaproposition37, on lutladémonstrationdu

théo-rème 3.

Proposition 38 Les idéaux premiers asso iés à

A^′

sont de dimension

m

et ne ren ontrent pas

M

Preuve L'idéal

A^′

admetunefamillegénératri eforméede

n+1

élémentsdansunanneaude polynmesen

n + m + 1

indéterminées.D'après lelemme4,sadimensionest

m

.Lethéorème de Ma aulay peut don s'appliquer:tous ses idéauxpremiersasso iés sontde dimension

m

. D'après le lemme4, au un de ses idéaux premiers asso iés ne ren ontre

M

J'ai retrans rit la preuve du théorème de Ma aulay telle qu'elle est donnée dans [108,

hapter VII, Theorem 26℄, augmentée de quelques ommentaires. C'est un beau mor eau

d'algèbre ommutative.

Théorème 7 (théorème de Ma aulay)

Si un idéal

A

d'un anneau

R = K[x1, . . . , xn]

admet une famille génératri e formée de

h

éléments (

1 ≤ h ≤ n

) et si

dim A = n− h

alors tous les premiers asso iés à

A

sont de dimension

n− h

Preuve On onsidèreunefamillegénératri e

{p1, . . . , ph}

A

.Lapreuveestuneré urren e sur

h

La base

h = 0

est triviale.

Soit

p

un premierasso iéà

A

,de dimension

d

Comme

dim A = n− h

ona né essairement

d ≤ n − h

Renumérotons les indéterminées de telle sorte que

p∩ K[x1, . . . , xd] = (0)

. Notons

M

la famille multipli ativeformée par les éléments non nuls de

K[x1, . . . , xd]

et plaçonsnous dans l'anneau de polynmes

M−1R = K(x1, . . . , xd)[xd+1, . . . , xn]

Lespremiersasso iésà

M−1A

sontdelaforme

M−1p^′

où

p^′

estasso iéà

A

etneren ontre pas

M

.Ladimensionde esidéauxlà hute exa tementde

d

etdon

dim M−1A≤ n−d−h

. Par ailleurs

dim M−1A≥ n − d − h

puisque et idéal est engendré par

h

éléments dans un anneaudepolynmesen

n− d

indéterminées (théorèmede l'idéalprin ipal).Par onséquent

dim M−1A= n− d − h

On voit égalementque l'idéal

M−1p

est asso ié à

M−1A

eta pour dimension zéro. Il sut don , en revenant aux notations du théorème, de montrer que si

n − h > 0

dim p = 0

alors

p

n'est pas asso iéà

A

. On onsidère l'idéal

B= (p1, . . . , ph−1)

J'armeque

dim B = n−h+1

.Preuve.D'aprèslethéorèmedel'idéalprin ipal,

dim B≥

n − h + 1

. Supposons

dim B > n− h + 1

. Alors

B

aurait un premier asso ié

p^′

tel que

dim p′ > n−h+1

(p′, ph)

auraitun premierasso ié

p^′′

telque

dim p′′ > n−h

(théorèmede l'idéalprin ipalànouveau).C'estimpossiblepuisque

A⊂ p′′

dim A = n−h

.L'armation est don prouvée.

L'hypothèse de ré urren e s'applique une première fois : tous les premiers asso iés à

B

ont pour dimension

n− h + 1

. Notonsles

p₁, . . . , pr

et rajoutons à ette liste les premiers

p_r+1, . . . , pr′

asso iés à

A

quisontexa tementde dimension

n− h

.Au un idéalde ette liste n'est maximal (on asupposé

n− h > 0

Admettonsqu'onpuisse onstruireunpolynme

yt= xt+φ(x1, . . . , xt−1)

(pourun ertain

1≤ t ≤ n

) telque

yt

soittrans endant sur

K

modulo

p_i

(pour

1≤ i ≤ r′

Comme

dim p = 0

onvoitque

yt

est algébriquesur

K

modulo

p

etonnote

f

lepolynme minimalde

yt

modulo

p

.On voitque

f ∈ p

et que

f /∈ pi

puisque

yt

est trans endant sur

K

modulo

p_i

(pour

1≤ i ≤ r′

On onsidère un élément

a ∈ R

tel que

a p ⊂ A

. J'arme qu'il sut de montrer que

a∈ A

pour on lurelapreuvedu théorèmede Ma aulay.Preuve.Notons

q_j

les omposantes d'unedé ompositionprimaireminimalede

A

(pour

1≤ j ≤ s

).Supposonsque

p

soitasso ié à

A

et à

q₁

. Alors il existe un exposant

ρ

tel que

p^ρ ⊂ q1

( 'est une propriété des idéaux primaires dans les anneaux n÷thériens). On peut alors prendre

a ∈ pρ−1∩ q2 ∩ · · · ∩ qs

et don

a /∈ A

telque

a p⊂ A

. L'armationest prouvée.

On a

a f ∈ A = (B, ph)

don il existe

b ∈ R

telque

a f + b ph ∈ B

b ph ∈ (B, f)

. J'armeque

ph

n'appartient àau un des premiersasso iés à

(B, f )

.Preuve. Dans l'an-neaude polynmes

R/(f ) = K(y_t)[x1, . . . , xt−1, xt+1, . . . , xn]

, onsidéronsl'idéal

(B, f )/(f )

. Il est engendré par

h− 1

éléments. Sa dimension est

n− h

f

a été hoisi en dehors des premiers asso iés à

B

dont on a prouvé qu'ils ont tous pour dimension

n− h + 1

. Comme

R/(f )

est unanneaude polynmesen

n−1

indéterminéesaudessusd'un orps,l'hypothèse de ré urren e s'applique une se onde fois: tous les premiersasso iés à

(B, f )/(f )

ontpour dimension

n− h

Les premiersasso iés à

(B, f )

sontdon euxaussi de dimension

n− h

Si un premierasso iéà

(B, f )

ontenait

ph

, ilserait aussi asso iéà

A

(puisque

dim A =

n − h

). C'est impossible puisqu'il ontient

f

et qu'on a hoisi

f

en dehors des premiers asso iés à

A

de dimension

n− h

L'armation est don prouvée.

Maintenant

b ph ∈ (B, f)

. Comme

ph

n'appartient à au un des premiers asso iés à et idéalona

b∈ (B, f)

(propriétédesidéauxprimaires).Ilexistedon

c∈ R

telque

b−c f ∈ B

. Cette relation, ombinée ave

a f − b ph ∈ B

, montre que

(a− c ph) f ∈ B

. Comme

f

a été hoisi en dehors des premiers asso iés à

B

on on lut que

a− c ph ∈ B

et don que

a∈ (B, ph) = A

La preuve du théorème de Ma aulay est terminée.

Il reste simplement à montrer la onstru tion du polynme

yt

. On se donne une famille d'idéauxpremiersnonmaximaux

p₁, . . . , p_r′

R

.Onmontrequ'ilexisteunindi e

1≤ t ≤ n

et un polynme

φ(x1, . . . , xt−1)

tel que

yt = xt + φ(x1, . . . , xt−1)

soit trans endant sur

K

modulo haque

p_j

On forme un tableau à double entrée. Les indi es de ligne sont les

xi

. Les indi es de olonne sont les

p_j

. Aux oordonnées

(xi, pj)

, on pla e un

T

ou un

A

suivant que

xi

est trans endantoualgébriquesur

K

modulo

p_j

.Onpro èdeàdes permutationsde olonne(on renumérote les

p_j

).On ommen e par pla erleplus àgau he possibletous les

p_j

tels que

x1

est trans endant sur

k

modulo

p_j

.La première ligne ressemble alors à

p₁ · · · pr1−1 p_r1 · · · pr′

x1 T · · · T A · · · A

On onsidère ensuite les

p_j

qui restent ( eux d'indi e supérieur ou égal à

r1

). On pla e le plus à gau he eux tels que

x2

est trans endant sur

k

modulo

p_j

. Lesdeux premières lignes ressemblent alors à

p₁ · · · pr1−1 p_r1 · · · pr2−1 p_r2 · · · pr′

x1 T · · · T A · · · A A · · · A

x2 T · · · T A · · · A

En ontinuant ainsi, on nit par atteindre (à un ertain indi e

1≤ t ≤ n

) le bord droit du tableauave des

T

(né essairementpuisquelesidéauxsontsupposés nonmaximaux).Sur

K

, modulo

p_r_t, . . . , pr′

ona

xt

trans endant,

x1, . . . , xt−1

algébriquesetdon

xt+ φ(x1, . . . , xt−1)

trans endant quel quesoitle polynme

φ(x₁, . . . , x_t−1)

Considérons maintenant l'un des idéaux

p_j

pour

rt−1 ≤ j < rt

. On a

xt−1

trans endant sur

K

modulo

p_j

J'armequ'ilexisteauplusun exposant

a

telque

x_t− xa

t−1

estalgébriquesur

K

modulo

p_j

. Preuve. Siun autre telexposant

b

existait,la diéren e

xa

t−1− xb

t−1

(et don

xt−1

) serait algébriquesur

K

modulo

p_j

. L'armationest don prouvée.

Il existe don un exposant

c

tel que

xt− xc

t−1

est trans endant sur

K

modulo tous les idéaux

p_r_t−1, . . . , prt−1

.Ce polynme est don trans endant sur

K

modulo

p_r_t−1, . . . , pr′

En ontinuant de pro he en pro he, onforme lepolynme

φ

désiré.

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 111-117)

A = {p1, . . . , pn}

R = K[x1, . . . , xn, t1, . . . , tm]

pi

xi

A

(A)

h∞

R

h

A

A

A

A ={x1, x1x2}

R0 = K(t1, . . . , tm)[x1, . . . , xn]

A0

(A)

h∞

R0

M

K[t1, . . . , tm]

R0

M−1R

R0/A0

(M/A)−1(R/A)

a/b

a∈ R/A

b∈ M/A

R/A

R0/A0

a

R/A

a/b

R0/A0

M/A

M/A

R0/A0

R/A

R

A

M

M

A

M/A

dim p

p

R

K

R/p

K

dim B

B

R

B

A

m

M

h

xn+1

pn+1 = h xn+1−

1

A′ = A∪ {pn+1}

R′ = R[xn+1]

pn+1

A

A′

(A′)

R′

R−−−→ hφ −1R ≃ R′/(pn+1)←−−− Rπ ′.

h−1R ≃ R′/(pn+1)

R

xn+1

h−1

φ

h

π

(pn+1)

B

R

h−1B

h^∞

R₀ = K(t₁, . . . , t_m)[x₁, . . . , x_n]

A₀

h^∞

R₀/A₀

R₀/A₀

A^′ = A∪ {pn+1}

R^′ = R[xn+1]

A^′

R−−−→ h^φ ⁻¹R ≃ R^′/(pn+1)←−−− R^π ^′.

x_n+1

B^′

πR′ = R′/(p_n+1)

A^′

q^′₁ ∩ · · · ∩ q′

A^′

h^∞

A^e

A^′

q^′₁∩ · · · ∩ q′

A^′

A^′

p^′

A^′

p^′

p^′

t₁, . . . , t_m