Algorithmes de al ul de haînes régulières

6.2.1 L'algorithme reg_ hara teristi

Il s'agit d'un algorithme non diérentiel qu'on peut appliquer soit dans une situation

purementalgébriquesoitsur dessystèmesdiérentielsquisatisfontleshypothèsesdulemme

de Rosenfeld.Leprin ipede l'algorithmeest fortementinspiréde l'algorithmelexTriangular

dont le prin ipe est dû à Daniel Lazard dans [59℄ et qui est bien larié dans la thèse [69℄

de Mar Moreno Maza. C'est Daniel Lazard qui m'a suggeré de l'appliquer dans le adre

diérentiellorsd'un séminairetenu àla n de l'année1996.

L'algorithme reg_ hara teristi prend en entrée un système

A = 0, S 6= 0

d'un anneau de polynmes

K[t₁, . . . , t_m, x₁, . . . , x_n]

.Lesystème

A

esttriangulaire.L'ensemble

S

ontient les initiaux et séparants de

A

mais pas seulement. Il produit en sortie une famillenie de haînes régulières

C1, . . . , Ck

telles que

(A)

S^∞ = (C1)

H_C^∞₁ ∩ · · · ∩ (Ck)

H_C^∞_k.

La famille produite peut être vide, e qui signie que

(A)

S^∞

est l'idéal unité. On peut montrer grâ e authéorème des zéros et aulemme de Lazard que l'idéal

(A)

S^∞

est l'idéal des polynmes qui s'annulent sur toutes les solutions du système

A = 0, S 6= 0

. L'idée lef mise en ÷uvre est rappelée dans laproposition suivante.

Proposition 34 Soit

A

un idéald'unanneau

R

m

un élément de

R

. L'idéal

A

m^∞ = A

men epar transformer

A

enune haînerégulièrepuis iltestelarégularitédes élémentsde

S

modulo l'idéal déni par la haîne. Tout élément prouvé régulier est supprimé. Il peut bien

sûradvenirqu'untest derégularitéé houe.Dans e as,unefa torisationd'unélémentde

A

est exhibée qui donne lieu à un s indage en deux bran hes. Il arrive fréquemment que l'un

des deuxfa teursexhibéssoitun fa teurd'unélémentde

S

.Dans e as,onne gardequ'une seule des deux bran hes. Il peut aussi arriver qu'un élément de

S

soit dans l'idéal déni par

A

. Dans e as, l'idéal

(A)

S^∞

est l'idéalunité.

L'algorithme reg_ hara teristi est appliqué par l'algorithme RosenfeldGröbner sur les

systèmesdiérentielsréguliersproduitsàlandu traitementpurementdiérentiel,aussi

biendanslepaquetagedialgdeMAPLE9quedanslesbibliothèquesBLAD.L'implantation

en MAPLE9est due àFrançoisLemaire.Cetteappli ationest suggeréedans [10℄etpubliée

parFrançoisLemaireetmoidans [12℄.L'an ienneméthodesuggerée dans[7,9℄etimplantée

dans les premières versions de dialg onsistait à al uler une base de Gröbner de l'idéal

(A)

S^∞

en utilisant le tru de Rabinovit h. En notant

s

le produit des éléments de

S

, il s'agissaitd'introduire une nouvelleindéterminée

x_n+1

et d'appliquer :

(A)

S^∞= (A, xn+1s− 1) ∩ R.

L'an ienne méthode présentait le gros in onvénient d'expli iter les inverses algébriques des

éléments de

S

et de ne pas tenir ompte de la stru ture triangulaire de

A

. L'algorithme reg_ hara teristi exploite ette stru ture, teste l'existen e des inverses mais ne les al ule

pas.

Il existe une autre variante de reg_ hara teristi qui s'applique dans le adre

d'algo-rithmesde hangementd'ordresur lesindéterminées dansles haînes régulières.On her he

à al ulerunedé ompositionen haînesrégulières del'idéal

(A)

S^∞

pourun ordre

O

surles indéterminées. On suppose qu'on onnaîtà l'avan eune haîne régulièrede l'idéal

(A)

S^∞

mais pour un ordre sur lesindéterminées autre que

O

. On sesert de la haîne onnue pour ouper des bran hes lors des s indages. En parti ulier, lorsqu'on dispose d'une telle haîne

etqu'onsaitàl'avan e quel'idéal

(A)

S^∞

est premier,l'algorithmereg_ hara teristi peut être implanté sans jamais produire le moindre s indage. En eet, haque fois qu'une

fa to-risation d'un élément de

A

est exhibée, on ne garde que le fa teur qui appartient à l'idéal

(A)

S^∞

.La haîne onnue est utiliséepour ee tuerletestd'appartenan e.Cette situation se produit en n de traitement dans l'algorithme PARDI.

Le programmeCsuivant montre uneimplantationde reg_ hara teristi .Dans ette

im-plantation, on suppose que le système

A

initial est déjà une haîne régulière. Le premier paramètre de la fon tion est une interse tion (un tableau) de haînes régulières. La haîne

régulièreenndetableauestla haîne

A

.Ledeuxièmeparamètreestlalisted'inéquations

S

. Le troisième paramètre est optionnel. S'il est présent, il est ensé être une haîne régulière

(pour un autre ordre sur les indéterminées) de l'idéal

(A)

S^∞

. La fon tion supprime la haîne

A

du tableaupuis ajouteen n de tableaules haînes régulières al ulées. Ce mé a-nisme peut sembler alambiqué. Il minimiseles allo ations dynamiquesdans lesdeux as de

gurequi seproduisent presque systématiquement: le as oùl'idéal

(A)

S^∞

est représenté par zéro ou une haîne régulière.

#in lude "bad.h"

int main ()

{ bav_Iordering r;

stru t bad_interse tof_reg hain tabC;

bap_listof_polynom_mpz S;

stru t ba0_mark M;

bad_restart (0, 0);

ba0_re ord (&M);

ba0_ss anf2 ("ordering (derivations = [℄, blo ks = [x, y℄)",

"%ordering", &r);

bav_R_push_ordering (r);

bad_init_interse tof_reg hain (&tabC);

ba0_ss anf2 ("interse tof_reg hain \

([reg hain ([y^2 - 1, (x + 2)*(x - y)℄, \

[autoredu ed℄)℄, [autoredu ed℄)",

"%interse tof_reg hain", &tabC);

ba0_ss anf2 ("[(y^2 + 2)*(y - 1)*(x + 3)℄", "%l[%Az℄", &S);

bad_reg_ hara teristi _reg hain (&tabC, S, (bad_reg hain)0);

ba0_printf ("%interse tof_reg hain\n", &tabC);

ba0_restore (&M);

bad_terminate (ba0_init_level);

return 0;

}

La haînerégulièreest

A ={y2−1, (x+2) (x−y)}

.Laliste

S

omporteleseulpolynme

(y2 + 2) (y− 1) (x + 3)

qui omporte en fa teur un fa teur d'un élément de

A

. La haîne est simpliéepar reg_ hara teristi . Au un s indage n'est produit. Le troisième paramètre

optionnel de lafon tion n'estpas utilisé.Les haînes régulières al ulées sont omplètement

autoréduites.

$ ./reg_ hara teristi

interse tof_reg hain ([reg hain ([y + 1, x^2 + 3*x + 2℄, [autoredu ed℄)℄, [

autoredu ed℄)

6.2.2 L'algorithme regalise

Il s'agit là aussi d'un algorithme non diérentiel qui peut être appliqué soit dans une

situationpurementalgébriquesoitsur des systèmes diérentielsquisatisfontleshypothèses

publiée.

L'algorithmeregalises'appliquedansle adred'algorithmesde hangementd'ordresurles

indéterminées dans les haînes régulières. Il prend en entrée un système

A = 0, S 6= 0

d'un anneau de polynmes

R = K[t1, . . . , tm, x1, . . . , xn]

. Le système

A

est triangulaire pour un ertain ordresur lesindéterminées

O

. Lesinitiaux et lesséparants de

A

appartiennent à

S

. L'idéal

(A)

S^∞

est supposé premier.L'algorithmeprend aussi en entrée haîne régulière

C

telle que

(A)

S^∞ = (C)

H_C^∞

. En pratique,

C

est un haîne régulière de

(A)

S^∞

mais pour un ordre sur lesindéterminées autre que

O

. L'algorithmeproduit en sortie une haîne régulière

_C¯

pour l'ordre

O

telle que

(A)

S^∞= ( ¯C)

H_C^∞_¯

Voi ileprin ipedel'algorithme.Onsaitque

(A)

H_A^∞⊂ (C)

H_C^∞

.Onutiliselesméthodes dé rites dans le hapitre 5 pour transformer

A

en une haîne régulière, pour tester que les éléments de

C

appartiennent à

(A)

H_A^∞

et que les éléments de

H_C

sont réguliers modulo et idéal. Si es tests sont tous positifs, on a l'autre in lusion

(A)

H_A^∞ ⊃ (C)

H_C^∞

don l'égalitéentrelesidéauxet

A

est la haîne

_C¯

re her hée. Biensûr,un élément

p∈ C

peutne pas apparteniràl'idéal

(A)

H_A^∞

mais 'estalors né essairement undiviseur dezéro modulo et idéal. Pourquoi? Par e que

(C)

H_C^∞

s'obtient à partir de

(A)

H_A^∞

par un pro édé de saturation: 'estdon unidéalpremierasso iéà

(A)

H_A^∞

.Ilsutalorsdetesterlarégularité de

p

modulo

(A)

H_A^∞

parlesméthodesdu hapitre5.Cetesté houené essairementetexhibe unefa torisationd'unélémentde

A

.Onsesertdela haîne onnue

C

pourdéterminerlequel desdeuxfa teursappartientàl'idéal

(C)

H_C^∞

etnegarderque eluilà.Demême,unélément de

HC

peut être un diviseur de zéro modulo

(A)

H_A^∞

. Dans e as aussi, une fa torisation d'un élémentde

A

est exhibée. On sesert de la haîne onnue

C

pour déterminer lequel des deux fa teurs appartient àl'idéal

(C)

H_C^∞

etne garderque eluilà.

Par rapport à l'une des variantes de reg_ hara teristi dé rites idessus, l'algorithme

regaliseprésentel'avantagedene pasdépendrede

S

dutout. Ilestdon pluse a e lorsque la liste

S

est volumineuse ou lorsqu'elle omporte des polynmes volumineux. Dans le as diérentielpar exemple,la haîne onnue est souvent forméede petits polynmesd'initiaux

et de séparants égaux à

1

. L'algorithme est dans e as très rapide.

6.2.3 L'algorithme PARDI (PODI)

Ils'agitinitialementd'unalgorithmepourlessystèmesauxdérivéespartielles:l'a ronyme

PARDI signie Prime pARtial Dierential Ideal . On peut évidemment l'appliquer aux

systèmesdiérentielsordinairesetauxsystèmesnondiérentiels.Dans es ontextes,PARDI

sesimplieetonappellerespe tivementPODI(pourPrime Ordinary DierentialIdeal)

et PALGIE (pour Prime ALGebrai IdEal ) les algorithmes simpliés. Il a été mis au

point par François Lemaire, Mar Moreno Maza et moi et publié dans [11℄. Pour éviter

d'avoiràdé rireen etten de hapitrelesmé anismesde omplétionpropresauxsystèmes

aux dérivées partielles,je hoisis de dé rirePODI pluttque PARDI.

L'algorithme PODI prend en entrée une haîne diérentielle régulière

C

pour un las-sement

O

ainsi qu'un autre lassement

O¯

. L'idéal diérentiel

A

déni par la haîne

C

est supposé être premier. L'algorithme produit en sortie une haîne diérentielle régulière

_C¯

pour le lassement

O¯

équivalenteà

C

dans lesens où

A=

def[C]

H_C^∞= [ ¯C]

H_C^∞¯ .

PARDImet en ÷uvre plusieursidées.

Idée1:pasdes indage. Le al uldela haînediérentiellerégulière

_C¯

peutêtreee tué sans pro éder à au un s indage : la haîne onnue

C

permet de déterminer à haque étape de l'algorithmesiun polynmedonnéappartientounonàl'idéal

A

.Dansdes ontextes plus généraux, où onne dispose pas d'unetelle haîne, lesalgorithmes sont amenésà pro éderà

desdis ussionsde as.C'estle asdeRosenfeldGröbnerparexemple.Cettepremièreidéeest

dueàFrançoisOllivieretprésentéedanssathèse[78,page97℄.Jel'aid'ailleursimplantéedès

lapremièreversiondupaquetagedialgde MAPLE:ilsutdepasserla haînediérentielle

régulière onnue en paramètresupplémentaire à lafon tion RosenfeldGröbner de dialg.

Idée 2 : un algorithme in rémental. Les algorithmes PALGIE et PODI peuvent être

implantésenutilisantuneliste

P

d'équationsàtraiteretuneliste

A

d'équationsdéjàtraitées. Initialement,

P

ontient les éléments de

C

A

est vide. À la n des al uls,

P

est vide et

A

ontient la haîne

_C¯

. À haque itération, une équation de

P

est extraite de la liste, traitée pour fournir éventuellement une nouvelleéquation de

A

. Le traitement peut amener à introduire de nouvelles équations dans

P

. L'appellation équation déjà traitée est un peu trompeuse pour les éléments de

A

dans la mesure où l'algorithme peut être amené à simplier(voireàsupprimer)lesan iennesenutilisantlesnouvelles.Dansle asdessystèmes

auxdérivéespartielles,unelistedepaires ritiquesdoitaussiêtregérée ommeense tion9.4,

page 147.

Idée3 :établirunerelationprofesseurétudiant. Toutpolynmeréduitàzéroparla

haîne onnue

C

doit aubout du ompte l'êtreaussipar la haîne en onstru tion

_C¯

.S'ilne l'est pas, il doit être rajoutéà la listedes équations à traiterde telle sorte que l'étudiant

_C¯

apprenne les polynmes réduitsà zéro par le professeur

C

Idée 4: s'assurer du rang des polynmes. Soit

p = advd+· · ·+ a1v + a0

un polynme diérentiel de dérivée dominante

v

. Notons

R_<v

l'anneau des polynmes diérentiels de dérivée dominante stri tement inférieure à

v

A_<v

l'idéal

A∩ R<v

. On peut s'assurer du degréde

p

entantqu'élément de

(A∩ R<v)[v]

en déterminant si

ad∈ A<v

. Ilsut pour ela de testersi

a_d

est réduitàzéro parla haîne onnue.Si

a_d∈ A<v

onsimplielepolynmeen le remplaçant par

p− advd

. Sile oe ient

ad∈ A/ <v

,on peut en ore tester si son séparant

s = d advd−1+· · · + a1

appartient à et idéal. Si 'est le as, on simpliele polynme en le remplaçantpar

d p− v s

Idée 5 : les ra ines ommunes de deux polynmes sont les ra ines de leur pg d.

dé omposition en haînes régulières.

Leproblèmed'untel al ulsepose lorsqu'uneéquationàtraiter

p1

extraitede

P

amême dérivée dominante

v

qu'une équation déjà traitée

p2 ∈ A

. Alors, en notant

R<v

l'anneau des polynmes diérentiels de dérivée dominante stri tement inférieure à

v

A_<v

l'idéal

A∩ R<v

, es deux polynmes ont un pg d non trivial

g

dans

(R<v/A<v)[v]

et il sut de rempla er

p2

par

g

dans

A

Comment al uler e pg d? On remarque d'abord que la haîne régulière onnue

C

per-metdere onnaîtrezérodans

R<v/A<v

.Ilestdon possibled'appliqueraumoinsl'algorithme d'Eu lidenaïf.Maintenant,onvoudraitpouvoirappliquerunalgorithmeunpeupluse a e.

À défaut de méthodes modulairesqui ommen ent seulement à être mises aupoint [14, 24℄

on voudrait utiliser des implantations sophistiquées [36, 65℄ de l'algorithme de al ul de la

suite des sousrésultants. La seule di ulté onsiste à réaliser dans

R_<v/A_<v

les divisions exa tes prédites par la théorie des sousrésultants et mises en ÷uvre ave subtilité par es

méthodes. Cettedi ulté selèvede lafaçonla plus élémentaire qui soit: il sut de mener

les al uls ommedans

R_<v[v]

etde s'assurer uniquement 3

queles oe ientsdominantsdes

sousrésultants al ulés sont non nuls modulo

A_<v

. Si l'un des sousrésultants a un oe- ientdominant nulmodulo

A_<v

,il sut de lesimplieret de réamor erle al ulde lasuite à partirde e sousrésultant et de elui qui lepré ède.

Une appli ation en BLAD de PODIest dé rite dans le hapitre4.

Équations d'Euler pour un uide in ompressible

Dans le adre des systèmes aux dérivées partielles, des implantations en BLAD et en

MAPLE de l'algorithme PARDI ont permis de mener à terme en 2001 des éliminations qui

n'avaient jamais pu l'être. Le plus gros exemple traité on erne les équations d'Euler pour

un uide in ompressible:

~v + (~v· ~∇) ~v + ~∇p = ~0, ∇~v = 0.^~

Endeux dimensions,en notant

~v = (v1, v2)

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y)~

, onobtienttroiséquations diérentiellespolynomiales:

v_t¹+ v¹v_x¹+ v²v¹_y+ px = 0, v_t²+ v¹v_x²+ v²v_y²+ py = 0, v_x¹+ v_y² = 0.

Il y a trois indéterminées diérentielles

v1

v2

( omposantes de la vitesse) et la pression

p

. Ellesdépendentde troisvariablesindépendantes

x

y

(variablesd'espa e)etletemps

t

.Pour un ertain lassement ompatibleave l'ordretotal,l'algorithmeRosenfeldGröbner produit

l'unique haîne diérentielle régulière

C

yv¹, v¹_x+ v_y², v_t²+ v¹v²_x+ v²v_y²+ py.

Onsait parexemplequ'ilexistedeuxreprésentations ourantes desélémentsde

Z/nZ

: soitlesentiers de

0 n− 1

soit lesentiers de

−(n − 1)/2

(n− 1)/2

. Le hoixde la représentationdépend des besoins del'algorithmequil'utilise. Pourl'algorithmePARDI,nousavons hoisiunereprésentationdesélémentsde

Cette haîne dénit un idéal diérentiel premier

p

(il s'agit d'un système orthonomique et ohérent).Voiren se tion 6.1.1. Pour le lassement d'éliminationpar blo s suivant

(p, v¹)≫

degrevlex

(v²)

ave

t > x > y

, lesimplantationsde PARDI ont permis de al uler une haîne diérentielle régulière

C

p

.Cette haîne est tropgrossepour êtreé ritei i(le hier fait

600

Ko).Elle omporteseptéquationsdépendantde inquantedérivéesdiérentes destrois indéterminées

diérentielles.Voi ile rang de la haîne

{px, py, v¹, v_xxxxt² , v²_xxxtt, v²_xxytt, v²_xxxyyt}.

L'es alier orrespondant àl'indéterminéediérentielle

v2

est le suivant:

x

y

t

v2

Ce al ul orrespond davantage à un hallenge al ulatoire qu'à une véritable

appli- ation. Il avait été mené partiellement par JeanFrançois Pommaret dans [82℄ et par moi

dans ma thèse [7℄. Un problème al ulatoire toujours ouvert onsiste à éliminer les deux

Fondements algébriques des systèmes

triangulaires

Ce hapitre expose les preuves des théorèmes qui fondent la théorie des systèmes

trian-gulaires.On ommen epar deux théorèmesnon diérentiels:lethéorème deMa aulayetle

lemmede Lazard eton ontinue par deux théorèmes diérentiels:lelemme de Rosenfeldet

le lifting du lemme de Lazard dans le ontexte diérentiel.

C'est à l'o asion de la ontroverse au sujet de la preuve du lemme de Lazard [9,

Lemma2℄que SallyMorrisonamisen éviden e[72℄ l'importan edu théorèmede Ma aulay

pour lessystèmestriangulaires.Lapreuvede SallyMorrisonest publiéedans [73℄.C'est

his-toriquementlapremièrepreuve omplètedu lemmede Lazard.La ontroverse ne on ernait

que les idéaux de la forme

(A)

S_A^∞

qui apparaissent naturellement dans le as diérentiel mais le problème soulevé on ernait tout autant lesidéaux de laforme

(A)

I_A^∞

dans le as algébrique.Lapreuvede [2,Theorem 5.1℄sourede e problèmeetn'a été orrigéequedans

lathèse dePhilippeAubry[1℄. Ce derniern'utilisepasexpli itementlethéorème de

Ma au-lay mais les propriétés des suites régulières dans les anneaux de CohenMa aulay

qui sontles anneaux dans lesquels lethéorème de Ma aulay s'applique!

Quelest leproblème?Notons

t₁, . . . , t_m

lesindéterminées dontunsystèmetriangulaire

A

dépend et qui ne sont pas des indéterminées prin ipales de

A

. Les preuves de [2, Theorem 5.1℄ et [9, Lemma 2℄ utilisent impli itement le fait suivant : tout polynme non nul qui ne

dépend que de

t₁, . . . , t_m

est régulier modulo l'idéal déni par

A

. Cette hypothèse est vraie mais ne saurait être onsidérée omme évidente.

Dans le as algébrique, mentionnons le résultat d'équidimensionnalité de ShangChing

Chou et XiaoShanGao [21℄ malheureusement insusant (il ne résout pas la problème des

premiers immergés ). Dans le as diérentiel, mentionnons une jolie preuve élémentaire

de FrançoisOllivier[79℄,reprise dans[10℄,quiévitel'emploidu théorème de Ma aulay mais

ne s'applique qu'aux idéaux de la forme

(A)

S_A^∞

. La formulation idessous, qui traite en même temps les idéaux de la forme

(A)

I_A^∞

(A)

S_A^∞

est de moi. Je l'ai publiée ave François Lemaireet Mar Moreno Maza dans [13℄.

Pour lapartie diérentielle, disonsquel'appellation lemmedeRosenfeld laisse

Rosenfeld [87℄. Dans son livre Ellis Robert Kol hin généralise le lemme de Rosenfeld mais

le dé oupe en deux parties [56, hapter III, se tion 8, page 136; remarques page 167℄,

e qui a pour eet de masquer le fait que les hypothèses de Rosenfeld sont algorithmiques.

Le lifting du lemme de Lazard dans le ontexte diérentiel omporte deux parties. La

première (laradi alitédes idéaux diérentielsde la forme

[A]

H_A^∞

)est publiéedans[9℄ par DanielLazard,FrançoisOllivier,Mi helPetitotetmoi.Lase onde asembletilététrouvée

indépendemment par Évelyne Hubert [50℄et lesauteurs ités idessus dans [10℄.

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 103-111)

Algorithmes de al ul de haînes régulières

A = 0, S 6= 0

K[t1, . . . , tm, x1, . . . , xn]

A

S

A

C1, . . . , Ck

(A)

S∞ = (C1)

HC∞1 ∩ · · · ∩ (Ck)

HC∞k.

(A)

S∞

(A)

S∞

A = 0, S 6= 0

A

R

m

R

A

m∞ = A

A

S

A

S

S

A

(A)

S∞

(A)

S∞

s

S

xn+1

(A)

S∞= (A, xn+1s− 1) ∩ R.

S

A

(A)

S∞

O

(A)

S∞

O

(A)

S∞

A

(A)

S∞

A

A

S

(A)

S∞

A

(A)

S∞

A ={y2−1, (x+2) (x−y)}

S

(y2 + 2) (y− 1) (x + 3)

A

A = 0, S 6= 0

R = K[t1, . . . , tm, x1, . . . , xn]

A

O

A

S

(A)

S∞

C

(A)

S∞ = (C)

HC∞

C

(A)

S∞

O

C¯

O

K[t₁, . . . , t_m, x₁, . . . , x_n]

S^∞ = (C1)

H_C^∞₁ ∩ · · · ∩ (Ck)

H_C^∞_k.

S^∞

S^∞

m^∞ = A

S^∞

S^∞

x_n+1

S^∞= (A, xn+1s− 1) ∩ R.

S^∞

S^∞

S^∞

S^∞

S^∞

S^∞

S^∞

S^∞ = (C)

H_C^∞

S^∞

_C¯

S^∞= ( ¯C)

H_C^∞_¯

H_A^∞⊂ (C)

H_C^∞

H_A^∞

H_C

H_A^∞ ⊃ (C)

H_C^∞

_C¯

H_A^∞

H_C^∞

H_A^∞

H_A^∞

H_A^∞

H_C^∞

H_A^∞

H_C^∞

_C¯

H_C^∞= [ ¯C]

H_C^∞¯ .

_C¯

_C¯