Systèmes triangulaires

} ba0_restore (&M); bad_terminate (ba0_init_level); return 0; }

Voi il'a hage obtenuà l'exé ution.

Inversion of 3*x2 su eeded

x2*(x1 + 2) * 3*x2 = 9 modulo reg hain ([x1^2 - 1, x2^2 + x1 - 2℄, [℄)

Inversion of x2 + x1 failed. Zero divisor found : x1 - 1

Les bibliothèques BLAD orent aussi une fon tion nommée

bad_ he k_regularity_poly-nom_mod_reg hain quivérie qu'unpolynme passéen paramètreestinversible(mais sans

al ulerl'inverse) etqui lèveune ex eptionsinon.

5.3 Systèmes triangulaires

Il s'agit du as où

R = K[x1, . . . , xn, t1, . . . , tm]

et

A = {f1, . . . , fn}

est un système triangulaire tel que

ld fi = xi

. Les

xi

sont les indéterminées prin ipales du système, les

ti

lesindéterminées non prin ipales. Commeonne suppose pas

A

unitaire,onne dispose plus de l'algorithme de division eu lidienne. On her he alors des méthodes de dé ision fondés

sur l'algorithme disponible le plus pro he : l'algorithme de pseudodivision, noté

prem

. Si

f ∈ R

est pseudoréduit à zéro alors

f ∈ (A)

:

I_A^∞

où

I_A

désignel'ensembledes initiaux des élémentsde

A

. L'idéalqu'on estdon naturellementamenéàasso ier ausystèmen'est don plus l'idéal engendré par

A

mais

1

A= (A)

:

I_A^∞

.

5.3.1 Le point lef et la dénition des haînes régulières

Le point lef idessous est démontré dans le hapitre 7.

Point lef 1 Dé ider de la nullité ou de la régularité dans

R/A

est stri tement équivalent à dé ider delanullité ou de larégularité dans

R0/A0

où

R0 = K(t1, . . . , tm)[x1, . . . , xn]

est l'anneau de polynmes obtenu en  faisant passer les indéterminées non prin ipales dans le

orps des oe ients  et

A₀ = (A)

:

I_A^∞

dans

R0

. 1

Oui...maissions'intéressequandmêmeàl'idéal

(A)

?

 Eh bien,soiton l'étudiedire tement ave lesbases deGröbner soiton ledé ompose enune interse tion

d'idéauxdelaforme

(A)

:

I∞A

ave

A

triangulaire.Desméthodesexistentpour eladontjeneparleraipas dans e hapitre.Pourêtretoutàfait orre t,jepré ise que esméthodesnereprésententpasexa tement

Ce théorèmes'appliqueàl'idéal

(A)

:

I_A^∞

.Ilest fauxpour l'idéal

(A)

.Plaçonsnousdans

R0

. Noussommespresqueramenésauproblèmepré édent.Presquepar eque,silesystème

A

admet autant d'équations que d'in onnues, il n'est pas unitaire. On her he une ondition

susante pour le rendre unitaire. Considérons

f1

. Le oe ient initial

c1

de

f1

appartient à

K(t1, . . . , tm)

. Son inverse

c1

existe. On ne hange pas l'idéal

A₀

en remplaçant

f1

par le polynme unitaire

f′

1 = c1f1

. Considérons ensuite

f2

. Son oe ient initial

c2

appartient à

K(t1, . . . , tm)[x1]

.On peut tenter de l'inverser ave l'algorithmeinverse_algébrique de la se tionpré édente.C'estpossiblepar eque e al ulnefaitintervenirque

f′

1

,quiestunitaire, etpas

f2, . . . , fn

qui ne lesont pas. Supposons queson inverse

c2

(modulol'idéal

(f′

1)⊂ A0

don ) existe. On ne hange pas l'idéal

A₀

en remplaçant

f₂

par

f′

2 = c₂f₂

. On voit, en ontinuantdepro heenpro he,quedans

R0

,sipourtout

1≤ k ≤ n

,le oe ientinitialde

fk

est inversible modulo l'idéal

(f1, . . . , fk−1)

alors

A

est équivalent àun système triangulaire unitaire omportant autant d'équations que d'in onnues. Ce sont de tels systèmes qu'on

appelledes haînesrégulières. La dénition suivantesynthétise tous es raisonnements.

Dénition 5 Un ensembletriangulaire

A

est une haînerégulièresi pourtout

2≤ k ≤ n

le oe ient initial de

fk

est régulier modulo l'idéal

(f1, . . . , fk−1)

:

(i1· · · ik−1)^∞

.

Les haînesrégulièressontdesensembleséquivalentsàdessystèmestriangulairesunitaires

omportantautantd'équationsqued'in onnuespourpeuqu'onfassepasserlesindéterminées

non prin ipales dans le orps des oe ients. Dans ette dénition en ore, 'est le fait de

saturer par les initiaux qui permet de fairepasser les indéterminées non prin ipales dans le

orps des oe ients. Considérons par exemple lesystème

A

suivant de

R = K[t, x1, x2]

.

(x₁+ 1) x2

2+ x₁ + 1 = 0, t x2

1− 1 = 0.

On a

R0 = K(t)[x1, x2]

. Construisons

A0

de pro he en pro he. On rendunitairela première équation sans di ulté :

(x1+ 1) x²₂+ x1+ 1 = 0, x²₁− 1/t = 0.

Lafon tioninverse_algébriquepermetde al ulerl'inverse

t (x1− 1)/(1 − t)

del'initial

x1+

1

de la deuxième équation, modulo l'idéal engendré par la première. On obtient ainsi le système

A0

suivant.

x²₂ +^{t (x1}− 1)

1− t ^x2+

t (x1− 1)

1− t ^{= 0, x}

2

1− 1/t = 0.

Le système

A

onstitue don une haîne régulière. La fon tion suivante soit, prouve qu'un ensemble triangulaire

A

est une haîne régulière soit, exhibe une fa torisationd'un élément de

A

qui permet de s inder

A

en deux systèmes plus simples.

fon tion est_une_ haîne_régulière (

A

) début

pour

i

variantde

1

à

n

faire

c

:=le oe ient dominantde

fi

¯

c

:=inverse_algébrique(

c

,

A0

)dans

K(t1, . . . , tm)[x1, . . . , xi−1]

si le al uld'inverse a é houé alors

retourner faux n si

A0

:=

A0∪ {rem(¯cfi, A0)}

n retourner vrai n

5.3.2 Dé ider de la nullité et de la régularité

Le  point lef  étant admis, lesdeux propositions idessous sont immédiates.

Proposition 16 Soit

A

une haînerégulière. Dé ider si

f = 0

dans

R/A

revient à dé ider si

prem(f, A) = 0

.

Proposition 17 Soit

A

une haîne régulière. Dé ider si

f

est régulier dans

R/A

revient à dé ider si

f

est inversible dans

R0/A0

.

5.3.3 Dénition de la forme normale

Dénition 6 On appelle forme normale d'un polynme

f

par une haîne régulière

A

toute fra tionrationnelledelaformesuivantetelleque

f = p/q mod A

et

deg(p, xi) < deg(pi, xi)

pour tous

1≤ i ≤ n

:

NFalg(f, A) = ^p

q ∈ K(t1, . . . , tm)[x1, . . . , xn]

Lefaitque

q∈ K[t1, . . . , tm]

assureque

q

estrégulierdans

R/A

etdon quela ongruen e

f = p/q mod A

est sensée.

Proposition 18 La forme normaled'un polynme

f

par une haînerégulière

A

estunique. Deux polynmes équivalents modulo

A

ont même forme normale.

Preuve Il sut de montrer que deux polynmes équivalents modulo

A

ont même forme normale. On suppose

f = g mod A

et

NFalg(f, A) = p/q

et

NFalg(g, A) = r/s

. Alors

s p − q r ∈ A

. Par e que les dénominateurs

q

et

s

ne dépendent que des variables

ti

, le polynme

s p − q r

est irrédu tible par

A

(il est égal à son propre pseudoreste par

A

). D'après l'une des propositions idessus, ildoit être nul.

Preuve Soient

f

unpolynmeet

A

une haînerégulièrede

R

.Soit

A0

lesystèmede

R0

trian-gulaire,unitaire, omportantautantd'équations qued'in onnues, auquel

A

est équivalente. La fra tion rationnelle

rem(f, A0)

est une forme normalede

f

par

A

.

Reprenons l'exemple pré édent.

NFalg(x²₁x²₂, A) = rem(x²₁x²₂, A0) = ^(x1− 1) x2+ x1− 1

t− 1 ^·

Dans le document Réécriture algébrique dans les systèmes d'équations différentielles<br />polynomiales en vue d'applications dans les Sciences du Vivant (Page 74-77)