G275- De multiples multiples
Problème proposé par Michel Lafond
L’ensemble {3, 5, 10, 15, 25, 30} contient exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5. Trouvez des ensembles d’entiers naturels strictement positifs, dont la somme des éléments est minimale et qui contiennent exactement k multiples de k dans les cas suivants :
Q₁ : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5}.
Q₂ : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7}.
Q₃ : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11}.
Q₄ : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Solution proposée par Bernard Vignes
Les sommes minimales obtenues sont respectivement égales à 87,304,1494 et 4080. Les 4 tableaux ci-après donnent les entiers qui sont retenus dans chacun des cas avec un astérisque pour repérer les entiers divisibles par l’un des facteurs premiers 2 ou 3 ou 5 ou 7 ou 11 ou 13.
Des améliorations sont très probablement possibles, notamment dans Q₃ et Q₄.
2 3 5 2 3 5 7 11 13
3 * 7 *
5 * 11 *
9 * 13 *
10 * * 49 *
15 * * 55 * *
20 * * 65 * *
25 * 77 * *
87 91 * *
121 *
2 3 5 7 143 * *
5 * 154 * * *
7 * 169 *
14 * * 187 *
15 * * 195 * * *
21 * * 209 *
25 * 221 *
35 * * 231 * * *
49 * 247 *
63 * * 273 * * *
70 * * * 275 * *
304 286 * * *
299 *
2 3 5 7 11 325 * *
7 * 377 *
11 * 4080
22 * *
25 *
33 * *
35 * *
49 *
55 * *
77 * *
91 *
121 *
143 *
154 * * *
165 * * *
231 * * *
275 * *
1494
