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× × 3 × × × 5 × × × × × Q2 : E2 = {5, 7, 14, 15, 21, 25, 28, 35, 49, 105} a pour

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

G275 - De multiples multiples [*** à la main]

Problème proposé par Michel Lafond

L’ensemble {3, 5, 10, 15, 25, 30} contient exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5.

Trouvez des ensembles d’entiers naturels strictement positifs, dont la somme des éléments est minimale et qui contiennent exactement k multiples de k dans les cas suivants :Q1 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5}.

Q2 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7}.

Q3 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11}.

Q4 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11, 13}.

Solution proposée par l’auteur:

En me limitant aux seuls facteurs premiers cités dans la question, et sans garantie d’avoir les sommes minimales, je trouve (sans garantie d’avoir les sommes minimales) :

Q1 : E1 = {3, 5, 9, 10, 15, 20, 25} de somme 87 fait mieux que l’exemple donné dans l’énoncé.

Il contient bien exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5.

facteurs

3 5 9 10 15 20 25

2

× ×

3

× × ×

5

× × × × ×

Q2 : E2 = {5, 7, 14, 15, 21, 25, 28, 35, 49, 105} a pour somme 304.

Q3 : E3 = {5, 7, 11, 22, 33, 35, 49, 55, 77, 99, 121, 154, 231, 275, 385} a pour somme 1559.

5 7 14 15 21 25 28 35 49 105

2

× ×

3

× × ×

5

× × × × ×

7

× × × × × × ×

5 7 11 22 33 35 49 55 77 99 121 154 231 275 385

2

× ×

3

× × ×

5

× × × × ×

7

× × × × × × ×

11

× × × × × × × × × × ×

(2)

Q4 : E4 = {7, 11, 13, 39, 49, 55, 65, 77, 91, 117, 121, 143, 169, 275, 286, 429, 455, 539, 572, 637, 715}

a pour somme 4865.

7 11 13 39 49 55 65 77 91 117 121 143 169 275 286 429 455 539 572 637 715

2

× ×

3

×

× ×

5

× ×

× × ×

7

× × × × × × ×

11

× × × × × × × × × × ×

13

× × × × × × × × × × × × ×

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