G275 - De multiples multiples [*** à la main]
Problème proposé par Michel Lafond
L’ensemble {3, 5, 10, 15, 25, 30} contient exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5.
Trouvez des ensembles d’entiers naturels strictement positifs, dont la somme des éléments est minimale et qui contiennent exactement k multiples de k dans les cas suivants :Q1 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5}.
Q2 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7}.
Q3 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11}.
Q4 : Pour tout k appartenant à {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Solution proposée par l’auteur:
En me limitant aux seuls facteurs premiers cités dans la question, et sans garantie d’avoir les sommes minimales, je trouve (sans garantie d’avoir les sommes minimales) :
Q1 : E1 = {3, 5, 9, 10, 15, 20, 25} de somme 87 fait mieux que l’exemple donné dans l’énoncé.
Il contient bien exactement 2 multiples de 2, 3 multiples de 3 et 5 multiples de 5.
facteurs
3 5 9 10 15 20 25
2
× ×
3
× × ×
5
× × × × ×
Q2 : E2 = {5, 7, 14, 15, 21, 25, 28, 35, 49, 105} a pour somme 304.
Q3 : E3 = {5, 7, 11, 22, 33, 35, 49, 55, 77, 99, 121, 154, 231, 275, 385} a pour somme 1559.
5 7 14 15 21 25 28 35 49 105
2
× ×
3
× × ×
5
× × × × ×
7
× × × × × × ×
5 7 11 22 33 35 49 55 77 99 121 154 231 275 385
2
× ×
3
× × ×
5
× × × × ×
7
× × × × × × ×
11
× × × × × × × × × × ×
Q4 : E4 = {7, 11, 13, 39, 49, 55, 65, 77, 91, 117, 121, 143, 169, 275, 286, 429, 455, 539, 572, 637, 715}
a pour somme 4865.
7 11 13 39 49 55 65 77 91 117 121 143 169 275 286 429 455 539 572 637 715
2
× ×
3
×
× ×
5
× ×
× × ×
7
× × × × × × ×
11
× × × × × × × × × × ×
13
