Rappels de topologie des espaces de Banach

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PHILIPPE JAMING

Rappels de topologie des espaces de Banach

Temps de travail estim´e: 2h30 `a 3h.

Le but de ce premier chapitre est de rappeler les notions de base de topologie dans les espaces de Banach et de les illustrer par des exemples.

1. D´efinitions 45 min

D´efinition 1.1. SoitE un espace vectoriel surKRouC.

Unenorme surEest une application}.}deEdans les réels positifsR qui vérifie les propriétés suivantes: pourλPKet x, yPE

(1) }0} 0,}x} ¥0 et}x} 0 impliquex0;

(2) }λx} |λ|}x}; (3) }x y} ¤ }x} }y}.

On dira alors quepE,}.}qestespace vectoriel norm´e.

Une suitepenqdansEconverge versePEsi }ene} Ñ0, c’est-`a-dire si:

pour toutε¡0 il existeN (dependant de ε) tel que, pour toutn¥N, }e_ne} ¤ε.

Dans ce cas, on ´ecriraelime_n.

Une suitepe_nqdeEest unesuite de Cauchysi

pour toutε¡0 il existe N (dependant deε) tel que, pour tous m, n¥N, }enem} ¤ε.

Exemple 1.2. Soit E unR-espace vectoriel de dimension finie, pekqk1,...,d une base de E. Alors tout e P E s’´ecrit de fa¸con unique e

¸d k1

xkek. Ceci nous permet de d´efinir }x}₈sup_k_1,...,d|x_k|.

Il est facile de voir que ceci d´efinit une norme surE. Notez que cette norme d´epend de la base choisie.

De plus, si pf_nq est une suite dans E, on peut ´ecrire chaque f_n sous la forme f_n

¸d k1

x^p_n^k^qe_k. On montre alors ais´ement quef_nconverge (resp. est de Cauchy) si et seulement si chaquepx^pn^k^qqconverge (resp. est de Cauchy).

Date: September 3, 2020.

1

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Supposons maintenant quepfnqsoit de Cauchy. Alors, pour chaquekP t1, . . . , du. px^pn^k^qq est une suite de Ret dans R(par d´efinition ou construction de R) les suites de Cauchy convergent. Ainsi pfnqconverge dansE.

Avertissement au lecteur

Tout au long de ces notes, vous trouverez des affirmations telles que “il est facile de montrer que”. Il s’agˆıt d’exercice que le lecteur s’efforcera de systématiquement résoudre avec efficacité. Le fait de ne pas y arriver est un indicateur de lacunes héritées de vos études passées et doivent être comblées dès la première lecture de ce document.

Remarque 1.3. Il est facile de voir que toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque peut être fausse (dans un espace vectoriel de dimension infinie). Le choix de la bonne norme s’avère ici cruciale pour cette réciproque.

D´efinition 1.4. SoitEun espace vectoriel et}.},|||.|||deux normes surE. On dira que ces normes sont´equivalentessi, pour toutePE,

1

C}e} ¤ |||e||| ¤C}e}.

Ceci définit une relation d’équivalence sur les normes, i.e. si }.}1 est équivalent à }.}2

qui elle est équivalente à }.}3, alors}.}1 est équivalente à }.}3. Le lemme suivant est facile à démontrer:

Lemme 1.5. SoitEun espace vectoriel et}.},|||.|||deux normes ´equivalentes surE. Alors toute suite de Cauchy (resp. suite convergente) pour l’une des normes est aussi une suite de Cauchy (resp. une suite convergente) pour l’autre norme.

Un fait plus subitle est le suivant

Théorème 1.6. SoitE un espace vectoriel de dimension finie. Alors deux normes sur E sont éequivalentes.

La démonstration complète sera (re?-)donnée dans le chapitre sur la compacité du deuxième semestre. Rappelons qu’un ensemble A E est (séquentiellement) compact si, de toute suite pa_nqn A on peut extraire une sous-suite pa_n_kqk qui converge dans A (i.e. qui converge et dont la limite est dans A). Un ensemble compact est fermé et borné, mais la réciproque est fausse (en dimension infinie). On vérifie aisément qu’une partie fermée d’un compact est encore compacte. En utilisant le principe de dichotomie, il est facile de voir qu’un intervalle fermé borné de R est compact. Partant de là, il est aussi facile de voir que, siE est une espace vectoriel de dimension finie, muni d’une base et de la norme }.}₈ associée, alors la boule unité deE est compacte et par suite, la shère unité

´

egalement. Enfin, on montre qu’une fonction continue sur un compact est bornée et que, si elle est à valeurs réelles, elle atteint son maximum et son minimum.

Esquisse de démonstration. On commence par fixer une basepekqdeE, il suffira alors de montrer que toute norme surE est équivalente `la norme}.}₈ définie ci-dessus.

Dans un sens, c’est facile: pour e°

x_ke_k PEon a }e} ¸

xkek ¤¸

|xk|}ek} ¤¸

}ek} max|xk| ¸

}ek} }e}₈. La r´eciproque est plus subtile et bas´ee sur les faits suivants:

(3)

l’inégalité précedente implique queeÑ }e}est continueE,}.}₈ versR; la sphère unité deE,}.|₈, SE tePE :}e}₈1uestcompacte;

une fonction continue sur un compact atteint son minimum;

il existe donc en un point e0 PSE tel que i.e. pour tout e avec}e}₈ 1,}e} ¥ }e0} 0 (care00 puisquee0PSE);

on termine en utilisant que sixPEzt0ualors _}_x^x_}

8 PSE et par homogénéité de la norme, on en déduit que}x} ¥ }e0}}x}₈.

D´efinition 1.7. SoitpE,}.}q un espace vectoriel norm´e. On dit queE est completou un espace de Banachsi toute suite de Cauchy dans E converge.

Remarque 1.8. Ceci est une propriété clé de l’analyse puisqu’elle permet de définir un objet comme étant une limite alors que la définition d’une limite requière d’avoir une idée de sa valeur.

Th´eor`eme 1.9. Tout espace vectoriel de dimension finie est complet.

Démonstration. Nous avons déjà vu cela pourE,}.}₈(avec une base fixée). Le cas général résulte du fait que toutes les normes sont équivalentes.

2. Rappel sur les espaces de Hilbert 30 min Un cas particulier d’espace de Banach qui est central est celui des espaces de Hilbert.

Rappelons qu’un espace de HilbertH surRest unR-espace vectoriel muni d’unproduit scalaire, c’est-`a-dire d’une applicationx,y :HH ÑRtelle que

(1) sym´etrie: pour tousx, yPH,xx, yy xy, xy,

(2) bi-linéarité: pour tout y PH, xÑ xx, yy est linéaire et donc, par symétrie, xÑ xy, xyest également linéaire

(3) la forme quadratique associ´ee est d´efinie positive: pour toutxPH, xx, xy ¥0 et xx, xy 0 si et seulement six0.

Un espace de Hilbert H sur C est un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, c’est-`a-dire d’une applicationx,y :HHÑCtelle que

(1) anti-ym´etrie: pour tousx, yPH,xx, yy xy, xy,

(2) sesqui-linéarité: pour toutyPH,xÑ xx, yyest linéaire et donc, par antisymétrie, xÑ xy, xyest anti-linéaire

(3) la forme quadratique associ´ee est d´efinie positive: pour toutxPH, xx, xy ¥0 et xx, xy 0 si et seulement six0.

Il en r´esulte quexÑa

xx, xyest unenormesurH. Enfin, un espace de Hilbert est par définitioncomplet. Deux propriétés clés sont

– l’inégalité de Cauchy-Schwarz: pour tousx, yPH,|xx, yy| ¤ }x} }y}et l’égalité a lieu si et seulement sixet y son colinéaires;

– l’identit´e du parall´elogramme: }x y}² }xy}²2p}x}² }y}²q.

Notons que cette dernièrecharactérise les espaces de Hilbert. En effet, on peut péniblement vérifier que, si une norme vérifie l’identité du parallélogramme, alors l’application suivante

xx, yy

#1

4 }x y}² }xy}²

si H est unR-e.v.

1 4

°3

k0i^kx i^ky² si H est unC-e.v.

(4)

définit un produit scalaire et}x}² xx, xy. Le lecteur vérifiera aisément que ces identités sont bien valables si la norme provient d’un produit scalaire.

L’exemple cl´e est le suivant:

Lemme 2.1. L’espace`²

#

x pxnqn¥1C :

¸8 n1

|xn|² 8 +

muni du produit scalaire xx, yy °₈

n1xnyn.

Démonstration. Il y a plusieurs choses à vérifier. En premier lieu que c’est bien un espace vectoriel: six, yP`²etλ, µPCalors|λxn µyn|²¤2|λ|²|xn|² 2|µ|²|yn|²donc

¸8 n1

|λxn

µy_n|² 8.

Ensuite, il faut vérifier que le produit scalaire est bien définie. Soient doncx, yP`² et N ¥1 un entier. On utilise Cauchy-Schwarz dansC^N pour vérifier que

¸N k1

|xkyk| ¤ _N

¸

k1

|xk|²

1{2 _N

¸

k1

|yk|² 1{2

¤ }x}}y} ainsi la s´erie°₈

n1xnynest (absolument) convergente. Il est alors évident quexx, yydéfinit bien un produit scalaire. Reste donc à voir la complétude.

Soit doncx^p^k^qune suite de Cauchy dans`². Chaquex^p^k^qest une suite que nous noterons x^p^k^q px^pn^k^qqn. Fixons d’abordn0¥1 et remquons que

|x^p_n^p₀^qx^p_n^q₀^q| ¤ ¸

n¥1

|x^p_n^p^qx^p_n^q^q|² 2

x^p^p^qx^p^q^q.

Ainsipx^pn^k₀^qqk est une suite de Cauchy dansC. CommeCest complet, cette suite converge, et on note xn0 sa limite. Ceci nous permet donc de d´efinir une suitex pxnqcomplexe.

Mais, une suite de Cauchy est born´ee, il existe donc C ¡ 0 tel que, pour tout k, x^p^k^q ¤C. En particulier, si on fixe un entierN,

¸N n1

|x^p_n^k^q|²¤ ¸⁸

n1

|x^p_n^k^q|²¤C² et, en faisant tendrekÑ 8, on en d´eduit que

¸N n1

|xn|²¤C². CommeN est arbitraire,

¸8 n1

|xn|²¤C²i.e. xP`²avec}x} ¤C.

Enfin, soit ε ¡0, il existe doncK tel que, sip, q ¥K, x^p^p^qx^p^q^q ¤ε. `A nouveau, prenonsN un entier et observons que ceci implique

¸N n1

|x^p_n^p^qx^p_n^q^q|²¤ε² qui implique, en faisant tendreq vers l’infini, que

¸N n1

|x^p_n^p^qxn|²¤ε².

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Enfin,N ´etant arbitraire, on en d´eduit que, pour toutp¥K,x^p^p^qx ¤εi.eon a bien

x^p^p^qÑxdans`².

La propriété centrale des espaces de Hilbert est le résultat suivant:

Théorème 2.2 (Théorème de projection). SoitH un espace de Hilbert et C une partie non-vide, convexe et fermé de H. Pour toutxPH, il existe un unique point de C, noté PCpxq, tel que}xPCpxq} distpx, Cq:infyPC}xy}

Lorsque C M est un un sous-espace fermé de H, la projection PM sur M, définie comme ci-dessus, est linéaire, continue de norme1. De plus, pour toutxPH,PMpxqest l’unique élément deM tel que, pour tout yPM,xxPMpxq, yy 0. De plus,IdPmest la projection sur

M^K: txPH :xx, yy 0 @yPMu.

Enfin, les espaces de Hilbert (séparables) ont une propriété qui permet dans certain cas de reproduire des raisonnements analogues à ceux de l’algèbre linéaire:

D´efinition 2.3. Une base orthonorm´ee d’un espace de Hilbert H est une suitepekqk¥1

telle que

(i) pour tousj, k¥1 avecjk,xej, eky 0;

(ii) pour toutk¥1,}ek} 1

(iii) l’espace vectoriel engendr´e par lespekqk¥1est dense (on dit que la suite esttotale).

On montre alors que sipekqk¥1 est une base orthonorm´ee deH, alors – pour toutxPH, }x}² ¸⁸

k1

|xx, eky|²(qui est finie),

– pour tousx, yPH,xx, yy ¸⁸

k1

xx, ekyxy, eky,

– toutxPH s’´ecritx ¸⁸

k1

xx, ekyek (et cette s´erie converge dansH).

Enfin, siM est un sous-espace vectoriel ferm´e deH etpe_kqkPI est une base orthonorm´ee deM alors

P_Mpxq ¸

kPI

xx, e_kye_k.

L’existence de bases orthonormées est garantie par le procédé d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt, à condition que l’espace de Hilbert soit séparable, c’est-à-dire qu’il existe une suitepxkqtotale. On peut la supposer libre (si elle ne l’est pas, on se retrouve à diviser par 0 dans le processus ci-dessous, il suffirait alors de sauter l’étape en question).

La première étape consiste à poser e1 x₁

}e1}. Ensuite, une fois qu’on a construit e₁, . . . , e_n on pose E_n V ectpe₁, . . . , e_nq et y_n ₁ x_n ₁P_E_npx_n ₁q. Ce vecteur est alors orthogonal `a e₁, . . . , e_n puisque c’est la projection orthogonale dex_n ₁ surE_n^K. Par ailleurs, il sera non-nul si x1, . . . , xn, xn 1 est libre. Enfin, on pose en 1 _}^y_yⁿ_n ¹₁_} et on obtient ainsi une suite orthonorm´ee. Cette construction montre que, pour tout n, V ectpe1, . . . , enq V ectpx1, . . . , xnq, ce qui montre que la suite ainsi construite est encore totale.

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3. Un exemple: l’espace des fonctions continues 25 min Th´eor`eme 3.1. SoitECpr0,1sq tfr0,1s ÑC :f est continue sur r0,1su. Munissons

E de la norme

}f}₈ sup

xPr0,1s|fpxq|. AlorsE est un espace de Banach.

Remarque 3.2. Les fonctions continues surr0,1ssont born´ees donc}f}₈ est bien d´efini et il est facile de voir que ceci est bien une norme.

Rappelons que dansE, il y a deux modes de convergences:

– la convergence simple: on dit qu’une suite pf_nq de fonctions r0,1s Ñ K converge simplement vers une fonctionf :r0,1s ÑKsi, pour toutxP r0,1s,f_npxq Ñfpxq. Ceci se lit aussi:

pour toutxP r0,1s, pour toutε¡0, il existeN (d´ependant dexet de ε) tel que, pour toutn¥N, |f_npxq fpxq| ε.

– La convergence uniforme: on dit qu’une suitepfnqde fonctions r0,1s Ñ Kconverge uniform´ement vers une fonctionf :r0,1s ÑKsi,}f_nf}8:sup_x_Pr_0,1_s|f_npxqfpxq| Ñ0.

Ceci se lit aussi:

pour toutε¡0, il existeN (ne d´ependant que deε) tel que, pour toutn¥N, pour toutxP r0,1s, |fnpxq fpxq| ε.

Rappelons ce r´esultat cl´e de l’analyse de licence:

Lemme 3.3. Il existe une suite pf_nq dans Cpr0,1sq qui converge simplement vers une fonction f qui n’est pas continue.

Soit pfnq est une suite de Cpr0,1sq et f une fonction r0,1s Ñ C. Si pfnq converge uniform´ement versf, alors f est continue.

Remarque 3.4. Lorsqu’on ditf_n Ñf dansCpr0,1sqon entendpf_nqconverge uniformément versf. Pour montrer une convergence uniforme, on cherche une suitean(ne dépendant pas dex) telle quean Ñ0 et, pour toutxP r0,1s,|fnpxq fpxq| ¤an. On peut bien entendu prendrean sup_x_Pr_0,1_s|fnpxq fpxq|, mais ce n’est pas nécessaire puisque l’obtention de ce sup peut être délicat. Par exemple, en utilisant l’estimation du reste dans le critère des séries alternées, montrer que

¸n k1

p1q^k

k x^k Ñ lnp1 xq uniform´ement sur r0,1s.

Notez que votre cours sur les séries entières vous montre que le rayon de convergence de la série entière

¸8 k1

p1q^k

k x^k est 1. Ainsi, cette série converge uniformément sur r0, as, pour touta 1. Ce n’est pas la même chose que la convergence uniforme surr0,1s. Démonstration. Pour la convergence simple, définissons fnpxq xⁿ alors fn converge simplement vers la fonctionf définie parfpxq

#

0 six 1

1 six1 qui n’est pas continue en 1.

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Supposons maintenant que pfnq converge uniform´ement vers f. Fixons x0 P r0,1s et ε¡ 0. Alors il existe ntel que, pour tout xP r0,1s, |fnpxq fpxq| ¤ε. Comme fn est continuue enx0, il existe un voisinnageV dex0tel que, pour toutxPV,|fnpxqfnpx0q| ¤ ε. Mais alors, pour cesx,

qui montre la continuit´e def enx0.

Nous pouvons maintenant conclure:

Démonstration du théorème. Soitpfnqune suite de Cauchy: pour tout ε¡0 il existe N tel que, sim, n¥N etxP r0,1salors|fnpxq fmpxq| ε.

Fixons xP r0,1s et remarquons que fnpxq

n est de Cauchy dans C, qui est complet.

Par suite, f_npxq

n a une limite que nous allons noter fpxq. Ceci defini une fonction fr0,1s ÑCqui est lalimite simpledepfnq. Il reste donc à montrer quef est aussilimite uniforme i.e. }fnf}₈ Ñ 0. Une fois ceci fait, le lemme précédent montre que f est continue.

Pour cela, on fixe ε ¡ 0, on prend N tel que si n ¥ N et x P r0,1s, alors pour tout m ¥ N, |fnpxq fmpxq| ε. Mais, pour x et n ¥ N fix´es, on fait m Ñ 8 donc

|fnpxq fpxq| ¤ε. Ainsi, pour n¥N,}fnf}₈ :sup_x_Pr_0,1_s|fpxq| ¤ εqui est bien ce

qu’on voulait montrer.

La première étape de la démonstration précédente consiste à montrer que la convergence uniforme implique la convergence simple. La réciproque estfausse, même si la limite est continue. Pour cela, on peut définirfn de la fa¸con suivante:

fnpxq

$'

&

'%

nx si 0¤x¤ _n¹ 2nx si _n¹ ¤x¤ ²_n

0 sinon

qui converge simplement vers 0, mais pas uniform´ement puisque sup_x_Pr_0,1_s|f_npxq 0| 1.

Notez qu’on peut munirCpr0,1sq, d’une autre norme, par exemple }ϕ}1

»1 0

|ϕpxq|dx.

Notons quef_nÑf pour cette norme ainsi}}₁ n’estpas equivalente`a }}₈. Notons aussi que sif_n xⁿ, on af_n Ñ fpxq

#

0 six 1

1 six1. Commef n’est pas continue, Cpr0,1sq muni de la norme}}1n’est pas complet.

Remarque 3.5. Tout ce qui a ´et´e dit dans cette section est valable pourCpKq, l’ensemble des fonctions continues sur un compact K.

4. Un second exemple: applications lin´eaires continues 30 min Dans cette section,E, F sont des espaces de Banach.

Rappelons le r´esultat fondamental suivant:

Théorème 4.1. SoitT :EÑF une application linéaire. On a équivalence entre:

(1) T est continue sur E;

(8)

(2) T est continue en 0;

(3) T est born´e sur la boule unit´e de E: il existe C tel que, pour tout x P E avec }x} ¤1,}T x} ¤C.

(4) il existe K¡0 tel que, pour tout xPE,}T x} ¤K}x}.

Esquisse de d´emonstration. L’´equivalence de (1) et (2) provient de Tpxq Tpx₀q Tpx x₀q Tpxx₀q Tp0q.

(4) implique évidemment (3) avecCK. Pour la réciproque, six0, alors _}^x_x_} est de norme 1 donc ^}_}^{T x}_x_}^} T_}^x_x_} ¤Cd’où (4) avecKC.

Finallement (4) implique clairement (2). Réciproquement, si on a (2), en prenantε1 dans la définition de la continuité deT en 0, il existeη ¡0 tel que, si}x} ¤η,}T x} ¤1.

Par suite, si}x} ¤1, alors }ηx} ¤ηdonc }T x} 1

η}Tpηxq} ¤ 1 η

ce qui termine la d´emonstration.

Lemme 4.2. Si E est de dimension finie, alors toute application lin´eaire E Ñ F est continue.

Esquisse de d´emonstration. En prenant la norme }}₈ sur E et en ´ecrivantx° x_ie_i on a T x°

xiT ei donc

}T x} ¤¸

|xi|}T ei} ¤¸

}T ei} }x}₈.

En utilisant l’´equivalence des normes surE, on conclue facilement queT est continue quel

que soit la norme choisie.

Pour une application linéairecontinue (bornée)T :EÑF, on défnit }T} sup

xPE,}x}E¤1

}T x}F sup

xPE,}x}E1

}T x}F sup

xPE,x0

}T x}F

}x}_E .

Il est facile de voir que les trois quantité ainsi définies sont bien égales et qu’elles définissent une norme surBpE, Fq: tT :EÑF linéaire et continueu. Une telle norme surBpE, Fq est ditesubordonée.

Th´eor`eme 4.3. L’espace BpE, Fqmunie de cette norme est une espace de Banach.

Esquisse de démonstration. La démonstration est presque la même que pour la complétude deCpr0,1sq. SoitT_n une suite de Cauchy dansBpE, Fq.

Etape 1: observons que pour´ x P E, Tnpxq est une suite de Cauchy dans F qui est complet. On peut donc d´efinirTpxq limTnpxq.

Etape 2: il est facile de voir que´ T est une application lin´eaire.

Etape 3:´ Tn est de Cauchy donc une suite born´eei.e. il existeC¡0 tel que}Tn} ¤C.

En d’autres termes, pourxPEavec}x} ¤1,}Tnpxq} ¤C.

Comme la norme est une fonction continue E ÑR (exercice),}T_npxq} Ñ }Tpxq}donc pour xPE avec}x} ¤1,}Tpxq} ¤C etT est born´ee i.e. continue.

Etape 4:´ }TnT} Ñ0 c’est-`a-dire TnÑT dansBpE, Fq. Un cas particulier important est l’espace dual deE:

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D´efinition 4.4. SoitE un espace de Banach sur KRouC. LedualdeE est l’espace de BanachE¹BpE,Kq.

SipE¹q¹E on dit queEest un espace reflexif.

SiE est une espace de Hilbert, il est r´eflexif:

Théorème 4.5 (Riesz). SoitH un espace de Hilbert surKalorsH¹ s’identifie àH de le sens que, pour tout élément `PH¹ il existe un unique aPH tel que`pxq xx, ayoùx., .y est le produit scalaire deH.

Notons que Cauchy-Schwarz implique que x Ñ xx, ay est effectivement borné sur H. D’autres exemples d’espaces réflexifs seront donnés dans ce cours.

La dualit´e nous permet de d´efinir une nouvelle convergence.

D´efinition 4.6. SoitEun espace de Banach etE¹son dual. Une suitepxnqdeEconverge faiblement vers x P E si, pour tout ` P E¹, `pxnq Ñ `pxq. On ´ecrit wlimxn x ou x_náx.

Le terme convergence “faible” est justifi´ee par le fait que la convergence implique la convergence faible. En effet,`´etant continue, sixn Ñxalors`pxnq Ñ`pxq.

Il se trouve que siEest de dimension finie, la réciproque est également vraie. Pour voir cela, fixons une base pe_kqk1,...,d de E de sorte que chaque xPE s’écrit de fa¸con unique x°

x_ke_k. On définit l’applicationl_k:EÑKparl_kpxq x_k. L’unicité desx_k implique que chaquel_kest linéaire. ComeEest de dimension finie, lesl_k sont continues,i.e. l_k PE¹. Mais alors, sipx^pⁿ^qqconverge faiblement versx, pourk1, . . . , d,l_kpx^pⁿ^qq ÑnÑ8l_kpxqet alors

x^pⁿ^q

¸d k1

l_kpx^pⁿ^qqe_kÑnÑ8

¸d k1

l_kpxqe_kx.

En dimension infinie, la situation est différente, même si E est un espace de Hilbert séparable. En effet, un tel espace a une base orthonormalepenq. Une telle suite ne converge pas(et n’a même pas de sous-suite convergente) puisque, pourmn

}enem}² }en}² }em}² 2<xen, emy 2.

D’autre part, si`PH¹ alors d’apr`es Riesz, il existeaPH tel que`pxq xx, ay. Mais alors

¸

n¥0

|`pe_nq|² ¸

n¥0

|xe_n, ay|² }a}².

En particulier, cette serie converge donc son terme g´en´eral tend vers 0: |`penq|²Ñ0 donc

`penq Ñ0. Comme`est arbitraire, on vient de montrer quewlimen0.

La notion de convergence faible est essentielle en dimension infinie. Une des raisons

`

a cela est qu’un ensemble fermé borné n’est pas forcément compact, mais, sous certaines conditions, une suite bornée aura une sous-suite faiblement convergente.

5. Compl´ements utiles sur la convergence 10 min 5.1. Convergence au sens de Cesaro.

D´efinition 5.1. SoitE un espace de Banach,xPE etpxnqn¥0une suite dansE. On dit quepxnqCesaro-converges versxsi la moyenne de sesn 1 premiers termes converge

x₀ x₁ x_n

n 1 Ñx.

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Il est facile de trouver une suite Cesaro-convergente sans ˆetre convergente. Par exemple, sixn p1qⁿ, alors

x0 x1 xn

n 1

#

1{pn 1q si nest paire

0 si nest impaire Ñ0.

Toutefois, la r´eciproque est vraie:

Lemme 5.2. Sipx_nqconverge versxalorspx_nqCesaro-converge versx.

D´emonstration. Remarquons d’abord que x0 x1 xn

n 1 xpx0xq px1xq pxnxq

n 1 .

En rempla¸cantxn parxnxon peut donc supposer quex0.

Soitε¡0, et soitN tel que, pour toutn¥N,}xn} ¤ε. Alors x₀ x₁ x_n

n 1

¤ }x₀} }x_N₁} }x_N} }x_n} n 1

¤ C

n 1

pnN 1q

n 1 ε

o`uC }x0} }xN1}. Choisissons alorsN¹¥C{ε, alors pour n¥N¹, x1 x2 xn

n

¤ε ε

ce qui montre la convergence.

5.2. Convergence de s´eries. Enfin, nous allons conclure avec quelques r´esultats qui nous seront utiles dans la suite.

SoitEun espace de Banach. Pour une suitepxnqn¥0deEon consid`ere la suitepSNqN¥0

des sommes partiellesSN °N n0xn. D´efinition 5.3. On dit que la se´erie °₈

n0x_n converge si la suite des sommes partielles SN converge et, dans ce cas, on note°₈

n0xn limSN. On dit que°₈

n0xn estnormalle convergentesi la s´erie (r´eelle)°₈

n0}xn}converge.

Notons que dansRouC, la convergence normale est appel´ee convergence absolue.

Nous allons utiliser les 2 lemmes suivants:

Lemme 5.4. Soitpxnqune suite dans un espace de BanachE. Si°₈

n0xn est normallement convergente, elle est convergente. La r´eciproque est fausse.

Démonstration. Pour la réciproque, il suffit de considér la suite réelle p1qⁿ{n. La série associée est convergente, mais pas absolument convergente. On fixe aloresePE, e0 et on prend la suitex_n p1qⁿe{n.

Rappelons que, pour la convergence, rappelons que le reste est estimé par le critère des séries alternées: pourp¤q

¸q kp

p1qⁿ n

¤1

p

ce qui montre que la suite des sommes partielles est de Cauchy, donc convergente.

(11)

Pour voir que° ^p_n¹^qⁿ ° ₁

n diverge, le plus rapide est de comparer `a une int´egrale:

¸N k1

1 k ¥

¸N k1

»k 1 k

dx

x

»N 1 1

dx

x lnpN 1q Ñ 8. Pour le sens qui nous int´eressen in suppose que °₈

n0}xn}converge et on consid`ere les sommes partiellesS_N °N

n0x_n. Alors, pourN ¥M, }S_N S_M}

¸N nM 1

x_n ¤

¸N nM 1

}x_n}.

AinsiSN est de Cauchy donc converge.

Il se trouve que cette propriété caractérise les espaces de Banach. Cette propriété est parfois pratique pour montrer qu’un espace est complet:

Lemme 5.5. Soit E,}.} un espace vectoriel norm´e. Supposons que dans E, toute s´erie normallement convergente est convergente. Alors E est complet i.e. est un espace de Banach.

Démonstration. Supposons que E ait cette propriété et soitpxnqune suite de Cauchy.

D’abord, en utilisant la d´efinition d’une suite de Cauchy (ε10^k), on peut construite une suite d’entiersn_k tels quex_n_k ₁x_n_k ¤10^k.

On defini ensuiteu_kx_n_k ₁x_n_k et on note que

— la s´erie °

u_k est normallement convergente, donc convergente,

— commex_n_N °N1

k0 u_k x_n₀, la sous-suite suitex_n_k converge.

Finallement, on va utiliser le fait simple suivant:

Lemme 5.6. Si une suite de Cauchy a une sous-suite convergente, alors est elle-mˆeme convergente.

D´emonstration du Lemme 2.6. Soit pfkq une suite de Cauchy et supposons qu’une sous- suite converge: fk_j Ñf quandjÑ 8.

Soitε¡0, il existeN tel que, sik, l¥N,}fkfl}p ¤ε{2. Il existeJ tel que, sij¥J, k_j ¥ N (puisque k_j Ñ 8 par d´efinition d’une sous-suite) et f_k_jf

p ¤ ε{2 (la suite pfk_jqj converge versf). Mais alors}fkf}p ¤fkfk_j

p fk_j f

p ¤ε qui montre

quefk Ñf.

Univ. Bordeaux, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France. CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France.

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