2 Théorème de Stone-Weierstrass

Analyse

Chapitre 2 : Étude autour des fonctions continues sur un compact

Lucie Le Briquer 23 novembre 2017

C(X, F)oùX métrique compact etF métrique.

• SiX métrique compact,F est métrique. On munitC(X, F)de la distance : d(f, g) = sup

x∈X

d_F(f(x), g(x))

• SiF est complet,drendC(X, F)complet.

• SiF est un Banach, alorsC(X, F)est un Banach pourkfk∞= sup

x∈X

kf(x)kF

Propriété 1(Rappel)

1 Compacts de C(X, F )

SoitA ⊂ C(X, F).

• Aest équicontinue enx∈X si :

∀ε >0,∃η >0,∀y∈X, d(x, y)< η⇒ ∀f ∈ A, d(f(x), f(y))< ε

• Aest uniformément équicontinue si :

∀ε >0,∃η >0,∀x, y∈X, d(x, y)< η⇒ ∀f ∈ A, d(f(x), f(y))< ε Définition 1(équicontinuité)

Exercice 1.

E, F espaces métriques

1. Montrer que siAfinie, alors Aest équicontinue en tout point.

2. Montrer que si A ne contient que des fonctions k−lipschitziennes, A est uniformément équicontinue.

3. Montrer que si A est équicontinue sur un compact X, A est uniformément équicontinue surX.

Solution 1.

1. Soitx∈X,A={f1, ..., fn} ⊂ C(X, F). Siε >0,∃η1, ..., ηn tels que : d(x, y)< ηi⇒d(fi(x), fi(y))< ε On prend alorsη= minηi.

2. Soitε >0, on poseη= ^ε_k. Alors si :

d(x, y)6η, d(f(x), f(y))< kd(x, y)6kη6ε

3. Par l’absurde.

∃ε >0, ∀n >0, ∃(xn, y_n)∈X², d(x_n, y_n)< 1

n et∃fn∈ A, d(fn(x_n), f_n(y_n))> ε Par compacité,y_ϕ(n)−−−−−→

n→+∞ xalorsx_ϕ(n)−−−−−→

n→+∞ x. MaisAéquicontinue enxdonc :

∃α >0, ∀u, v ∈X, d(x, u)< α etd(y, u)< α ⇒ d(f(u), f(v))< ε∀f ∈ A Or x_ϕ(n)−−−−−→

n→+∞ xet y_ϕ(n)−−−−−→

n→+∞ y donc à partir d’un certain rangN :

d(x, x_ϕ(N))< αet d(x, y_ϕ(N))< α mais d(f_ϕ(N)(x_ϕ(N)), f_ϕ(N)(y_ϕ(N)))> ε Absurde. Donc Auniformément équicontinue.

SoitX métrique compact etF métrique complet. SoitA ⊂ C(X, F). Sont équivalents : 1. Aest relativement compact (d’adhérence compacte).

2. A est équicontinue en tout point et ∀x ∈ X,Ax = {f(x), f ∈ A} est relativement compact.

Théorème 1(Ascoli)

Remarque.Sert à :

• Montrer la compacité d’un opérateur

• Extraire des sous-suites convergentes Preuve.

(2)⇒(1):

Soit(f_n)_n∈N∈ A^N. On va montrer que l’on peut extraire une sous-suite de(f_n)convergente.

• CommeX est métrique compact,X est séparable. En effet :

X = [

x∈X

B Å

x,1 n

ã

=

m

[

i=1

B Å

xⁿ_i,1 n

ã

(cf. poly)

SoitD= (xn)_n∈N dénombrable, dense dansX.

1. x₁. A_x1 ={f(x₁), f ∈ A}relativement compact. Donc de(f_n(x₁))_non peut extraire une sous-suite convergente :f_ϕ1(n)(x₁)−−−−−→

n→+∞ f(x₁).

2. De même de(f_ϕ1(n)(x2))non extrait une sous-suite convergente :f_ϕ1◦ϕ2(n)(x2)−−−−−→

n→+∞

f(x₂)

3. Pourx_p.(f_{ϕ1◦...◦ϕp−1(n)}(x_p))_n∈Nest relativemen compact. On extraitf_{ϕ1◦...◦ϕp(n)}(x_p)−−−−−→

n→+∞

f(xp). On poseψ(n) =ϕ1◦...◦ϕn(n)(procédé d’extraction diagonale).

On vérifie que :

∀p∈N, fψ(n)(xp)−−−−−→

n→+∞ f(xp)

• On veut prolonger f sur X grâce au théorème de prolongement vu au TD1. →montrons quef est uniformément continue surD.

Soitε >0. CommeAest équicontinue surX compact, elle est uniformément équicontinue.

Donc∃η >0, d(x, y)< η⇒ ∀f ∈ Ad(f(x), f(y))< ε. Soitx_k, x_l∈D tels qued(x_k, x_l)<

η :

d(f(x_k), f(x_l))6d(f(x_k), f_ψ(n)(x_k)) +d(f_ψ(n)(x_k), f_ψ(n)(x_l)) +d(f_ψ(n)(x_l), f(x_l)) 6ε+ε+ε= 3ε

Doncf est uniformément continue surD. Donc par théorème de prolongement,f se pro- longe en une fonction uniformément continue pour toutX.

• Montrons que(f_ψ(n))converge uniformément vers f surX. Soitε >0, x∈X d(f(x), f_ψ(n)(x))6ε.

Idée. d(f(x), f_ψ(n)(x))6d(f(x), f(x_k)) +d(f(x_k), f_ψ(n)(x_k)) +d(f_ψ(n)(x_k), f_ψ(n)(x)).

Soitηassocié à l’uniforme équicontinuité deA. On sait queX =S

k∈NB(x_k, η)(où(x_k)_k∈N sous-ensemble dense à partir duquel f est construite). Par compacité,

X =

n

[

i=1

B(x_ki, η)

Soiti,d(x, xk_i)< η.

d(f(x), f_ψ(n)(x))6d(f(x), f(x_ki))

| {z }

6ε(UF)

+d(f(x_ki), f_ψ(n)(x_ki))

| {z }

6ε(APCR idp dex)

+d(f_ψ(n)(x_ki), f_ψ(n)(x))

| {z }

6ε

(1)⇒(2):

Arelativement compact. En particulier,Aest précompact. Soitε >0,A=Sn

i=1B(f_i, ε).

Soitη₁, ..., η_n associés à l’uniforme continuité desf_i. Posonsη= minη_i. Soientx, y∈X tels qued(x, y)< η. Soitf ∈ A,∃itel que d(f, fi)< ε.

d(f(x), f(y))6d(f(x), f_i(x))

| {z }

6ε

+d(f_i(x), f_i(y))

| {z }

6ε(UF def_i)

+d(f_i(y), f(y))

| {z }

6ε

63ε

Donc A est uniformément équicontinue. De plus, ∀x, A_x est relativement compact puisque A est relativement compact. D’où l’équivalence.

Remarque.Même équivalence sans l’hypothèse F complet.

Contre-exemples.

• Si Axn’est pas relativement compact. SurC([0,1]),fn(x) =n∀x∈[0,1].

• SiAn’est pas équicontinue en tout point.fn(x) = sin(nx)sif_ψ(n)−−−−−→

n→+∞ funiformément.

On a :

∀ϕ∈ C([0, π]) Z π

0

ϕ(x) sin(nx)dx−−−−−→

n→+∞ 0 Alors

∀ϕ∈ C([0, π]) Z π

0

ϕ(x)f(x)dx= 0 et doncRπ

0 f(x)²dx= 0

Exercice 2.

On munitC¹([a, b])de la normekfk=kfk_+∞+kf⁰k_+∞.

i: (C¹([a, b]),k.k)−→(C([a, b]),k.k_∞) (l’identité) Montrer queiest une application continue compacte.

Solution 2.

• Continuité. ∀f ∈ C¹([a, b]),

ki(f)k∞

= 6kfk

kfk_∞6kfk_∞+kf⁰k_∞

• Compacité. Montrons que i est compacte. Soit B = B(0,1) pour k.k dans C¹([a, b]).

Montrons que i(B) = B (d’un point de vue ensembliste) est relativement compact dans (C([a, b]),k.k_∞).

Si x∈[a, b], Ax ={f(x), f ∈B}, kfk∞6kfk61. Donc ∀x,Ax est borné dansRdonc relativement compact.

• Montrons queB est équicontinue. Par les inégalités des accroissements finis :

|f(x)−f(y)|6kf⁰k_∞|x−y| comme kf⁰k_∞61carf ∈B alors∀x, y, |f(x)−f(y)|6|x−y|.

DoncBest composée de fonctions1−lipschitzienne. DoncBest uniformémen équicontinue.

Donc par Ascoli,B est relativement compact dansC([a, b]).

Remarque.Si dimF <+∞, Axest relativement compact⇔ Axest borné.

Exercice 3.

SoitX, Y compact métrique deRⁿ,K∈ C(X×Y). Pourf ∈ C(X), on définit : T f(y) =

Z

X

K(x, y)f(x)dx

1. Montrer queT est un opérateur deC(X)dansC(Y).

2. Montrer queT est compact.

Solution 3.

1. Définition. T f ∈ C(Y)car∀x∈X, y7→K(x, y)f(x)∈ C(Y), et :

∀y∈Y, ∀x∈X, |K(x, y)f(x)|6kKk_∞kfk_∞ intégrable surX Donc par théorème de continuité,T f ∈ C(Y).

Linéarité. Évident Continuité. On a :

|T f(y)|6 Z

X

|K(x, y)||f(x)|dx6kKk∞kfk∞Vol(X) DonckT fk∞6kKk∞kfk∞Vol(X). DoncT est un opérateur.

2. Soit B = B(0,1) dans (C(X),k.k_∞). Montrons que T(B) est relativement compact dans (C(Y),k.k∞).

• Ay={T f(y), f ∈B}

|T f(y)|6 Z

X

|K(x, y)||f(x)|

| {z }

61

dx6kKk_∞Vol(X)

DoncAy est borné donc relativement compact.

• Soitε >0,y∈Y, etη associé à l’uniforme continuité(x, y)7→K(x, y)(|x−x⁰|+|y− y⁰|< η⇒ |K(x, y)−K(x⁰, y⁰)|6ε). Soity⁰∈Y,|y−y⁰|< η alors :

|T f(y)−T f(x)|= Z

X

(K(x, y)−K(x⁰, y⁰))f(x)dx 6ε

Z

X

kfk_∞

| {z }

61

dx6εVol(X)

Donc(T f)f∈B est équicontinue eny. Par Ascoli,T(B)est relativement compact.

2 Théorème de Stone-Weierstrass

X espace métrique compact.

(fn)n∈N∈ C(X)^Ntelle que fn−−−−−→

n→+∞ f simplement,f continue et∀n∈N, fn+1>fn

Alors la convergence est uniforme.

Théorème 2(Dini)

Preuve.

Ωn={x∈X |fn(x)> f(x)−ε}

Par continuité desf_net def,Ω_nest ouvert. Par croissance des(f_n),Ω_n⊂Ω_n+1. Par convergence simple, X = S

n∈NΩ_n. Comme X est compact, X = Sm

i=1Ω_ni = Ω_nm (en supposant les n_i croissants).

Donc,∀n>nm, ∀x∈X,f(x)−fn(x)< ε. Et commef >fn (par croissance des(fn)),

∀n>nm, ∀x∈X, |f(x)−fn(x)|< ε D’où la convergence uniforme.

SoitX métrique compact.A ⊂ C(X),Asous-algèbre deC(X), unitaire et séparante.

(séparante) ∀x, y∈X, x6=y, ∃f ∈ Atqf(x)6=f(y) AlorsAest dense dansC(X).

Théorème 3(Stone-Weierstrass)

∃(Pn)_n∈N∈R[X]^N|P_n−−−−−→

n→+∞ | |uniformément sur[−1,1]

Lemme 1

Preuve.(du lemme) En effet en prenant :

ß P₀= 0

Pn+1(x) =Pn(x) +¹₂(x²−Pn(x)²)∀x∈[−1,1]

On montre que∀n∈N,06Pn(x)6Pn+1(x)6|x| ∀x∈[−1,1].

Comme(P_n(x))est croissante et majorée,(P_n(x))converge versf(x)qui vérifie : f(x) =f(x) +1

2(x²−f(x)²) doncf(x)²=x²etf(x)>0. Doncf(x) =|x|. DoncP_n−−−−−→

n→+∞ | |simplement et(P_n)croissante.

Donc par Dini on a la convergence uniforme.

Preuve.(du théorème de Stone-Weierstrass) On va utiliser les 2 arguments suivants :

1. Sif, g∈ A, montrons quemin(f, g)et max(f, g)sont dansA.

Sif ∈ A, f 6= 0alors|f| ∈A. En effet, _kfk^f

∞ à valeurs dans[−1,1]etP_nÄ _f

kfk∞

ä∈ A. Par convergence uniforme,

f kfk∞

∈ A. Donc|f| ∈ A. Or : max(f, g) =f +g

2 +|f−g|

2 ∈ A et min(f, g) = f+g

2 −|f−g|

2 ∈ A

2. Soit α, β ∈R avecα6= β, et x, y∈ X. Montrons qu’il existe u∈ A tel que u(x) =α et u(y) =β.

En effet, il existev∈A,v(x)6=v(y)et le système : ß λv(x) +µ=α

λv(y) +µ=β est de Cramer Åv(x) 1

v(y) 1 ã

= Åα

β ã

D’où l’existence d’un telu.

Soitf ∈ C(X),ε >0. Soitx∈X.∀y∈X, il existeuy∈ Atel queuy(x) =f(x)etuy(y) =f(y) par(2). On pose :

Oy={x⁰∈X |uy(x⁰)< f(x⁰) +ε}

u_y,f ∈ C(X)doncO_y est ouvert etx, y∈O_y.

X = [

y∈X,y6=x

Oy

OrX compact donc il existey1, ..., yn∈X tel queX =Sn i=1Oy_i. On posevx= min16i6nuy_i ∈ A. Et,∀x⁰∈X,

vx(x⁰) = min

16i6nuy_i(x⁰)< f(x⁰) +ε Posons :

∀x∈X, Ωx={x⁰∈X |vx(x⁰)> f(x⁰)−ε}

Ω_xest un ouvert,x∈Ω_xdoncX =S

x∈XΩ_x. Donc il existsx₁, ..., x_n∈Xtels queX =Sn i=1Ω_xi. On pose alorsv= max_16i6nv_xi ∈ A.

Alors∀x∈X,v(x)>f(x)−εet v(x)< f(x) +ε. Donc|v(x)−f(x)|< ε∀x∈X. Doncv∈ A etkv−fk_∞6ε. DoncA=C(X).

Remarques.(conséquences)

• Stone-Weierstrass ⇒ Weierstrass : les polynômes sont denses dans C([a, b]), il suffit de vérifier que l’ensemble est bien une sous-algèbre.

• Les fonctions Lipschitziennes sont denses dansC([a, b]).

• Les polynômes sont-ils denses dansC(X,C)(X compact deC) ? X =S¹={z∈C, |z|= 1} Soitf:z7→ ¹_z ∈ C(S¹,C) Si on afn −−−−−→

n→+∞ f uniformément surS¹ on aurait : Z

S¹

P_n(z)dz= 0−−−−−→

n→+∞

Z

S¹

dz

z = 2iπ absurde

• Si Aest stable par conjugaison, le théorème de Stone-Weierstrass reste vrai dansC(X,C) pour X un compact deC. (se montre juste avec<(u) =^u+¯₂^u)

• Soit T =R/2πZ, les polynômes trigonométriques sont denses dansC(T,C)(puis T vérifie bien la stabilité par conjugaison).

Exemple.

S = ( _N

X

n=−N

cne^inx ; cn∈C )

S algèbre, unitaire,T(x)6=T(y)six6=y avecT(x) =e^ix. AlorsSest dense dansC⁰(T,C)muni de la normek.k_∞.

2.1 Transformée de Fourier

SoitL¹(T)l’ensemble des fonctions2π−périodiques intégrables. Soitf ∈L¹(T). Pourn∈Zon peut définir :

f(n) =ˆ Z 2π

0

e^−inxf(x)dx La suite( ˆf(n))_n∈Z appartientl^∞(Z).

En fait( ˆf(n))n∈Z∈c0(Z), l’espace des suites de limite nulle (lemme de Riemann-Lebesgue). En effet, sif ∈ C¹(T)(fonctionsC¹ 2π−périodiques), alors :

fˆ(n) = Z 1

−in∂_X(e^−inx)f(x)dx puisO Å1

n ã

par IPP Notons :

F:

ß L¹(T) −→ c0(Z) f 7−→ ( ˆf(n))_n∈Z

F est injective.

Lemme 2

Preuve.

SiF(f) = 0alorsR

f(x)T(x)dxpour toutT ∈S. DoncR

f(x)g(x)dx= 0pour toutg∈ C⁰(T,C) par densité. On approche ensuite _|f|(+ε)^f¯ doncf = 0.

Est-ce queF est surjective ? cf. Chapitre 3