MANUEL LIBRE
MathS 1 re
STATISTIQUES PROBABILITÉS ANALYSE GÉOMÉTRIE
S
ANALYSE
■ A1 SEcoNd dEgré . . . . 7 1. Fonction polynôme du second degré
2. Équation ax2 + bx + c = 0 3. Inéquation du second degré
■ A2 FoNctioNS dE réFérENcE . . . . 33 1. Sens de variations d’une fonction
2. Fonctions carré et inverse 3. Fonction racine carrée 4. Fonction valeur absolue 5. Fonction u + k et ku 6. Fonction
7. Fonction
■ A3 dérivAtioN . . . . 59 1. Nombre dérivé et tangente
2. Fonction dérivée 3. Dérivées et opérations
■ A3 APPLicAtioN dE LA dérivAtioN . . . . 81 1. Signe de la dérivée et variations
2. Extrema d’une fonction
■ A5. NotioN dE SuitE . . . . 105 1. Modes de génération d’une suite ; représentation graphique
2. Les suites arithmétiques 3. Les suites géométriques
■ A6. comPortEmENt gLobAL d’uNE SuitE . . . . 131 1. Sens de variations
2. Comportement à l’infini
trAvAiLLEr AutrEmENt
. . . . 155 Cette partie propose de travailler hors chapitre afin de stimuler l’activité de recherche des élèves sans être biaisée par un titre en pied de page ou autre. les exercices proposés sont des problèmes ouverts, des problèmes de synthèse.géométriE PLANE
■ g1 vEctEurS Et droitES du PLAN . . . . 169 1. Colinéarité de deux vecteurs
2. Équations cartésiennes d’une droite 3. Décomposition d’un vecteur 4. Norme d’un vecteur
■ g2 ANgLES oriENtéS Et trigoNométriE . . . . 191 1. Repérage sur le cercle trigonométrique
2. Mesures d’un angle orienté
3. Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté 4. Équations et inéquations trigonométriques
Sommaire
■ g3 Produit ScALAirE dANS LE PLAN . . . . 217 1. Définition du produit scalaire et orthogonalité
2. Produit scalaire et coordonnées 3. Propriétés algébriques
4. Autres expressions du produit scalaire 5. Vecteur normal à une droite
6. Applications du produit scalaire
StAtiStiquES – ProbAbiLitéS
■ SP1 StAtiStiquES . . . . 247 1. Diagramme en boîte et écart-interquartile
2. Variance et écart-type 3. Résumé d’une série statistique
■ SP2 ProbAbiLitéS : vAriAbLES ALéAtoirES . . . . 269 1. Variable aléatoire et loi de probabilité
2. Espérance, variance et écart-type
3. transformation affine d’une variable aléatoire
■ SP3 Loi biNomiALE Et iNtErvALLE dE FLuctuAtioN . . . . 293 1. Répétitions indépendantes d’une expérience aléatoire
2. Loi de Bernoulli
3. Schéma de Bernoulli et coefficient binomial 4. Loi binomiale
5. Échantillonnage
■ FicheS tice . . . . 321
■ SolutionS . . . . 333
■ lexique . . . . 348
■ rAbAtS
Mémento Algobox . . . . I Le manuel numérique 1re . . . .II et III Syntaxe de différents langages de programmation . . . . IV Mémento d’algorithmique . . . . V et VI
LogoS Et iNdicAtioNS
19 Exercice corrigés en fin de manuel Exercice avec l’ordinateur Exercice avec la calculatrice Exercice d’algorithmique
TRAVAILLER UN CHAPITRE
Manuel et manuel numérique , deux outils complémentaires
1 VÉRIFIER SES PRÉREQUIS
1 Réalisez le test de début de chapitre. 3 Remédiez à vos difficultés grâce aux exercices et aides du manuel numérique.
2 Vérifiez vos réponses en fin de manuel.
2 APPRENDRE UNE LEÇON
1 Apprenez les définitions et les propriétés .
2 Refaites les exercices corrigés des méthodes du cours.
Renvoi
3 Faites l’ exercice d’entraînement lié à la méthode.
4 Vérifiez vos réponses en fin de manuel
ou suivez le raisonnement à l’aide du corrigé pas à pas du manuel numérique.
3 S’ENTRAÎNER AVEC DES EXERCICES 1 Repérez les éléments importants de la consigne , comme les verbes d’action à l’infinitif.
2 Vérifiez votre compréhension du vocabulaire.
→ utilisez le lexique à la fin du manuel ou sur le manuel numérique . 3 Réalisez un schéma si nécessaire.
4 Réalisez les parcours pédagogiques personnalisés (J3P) pour vous entraîner de façon adaptée et éventuellement approfondir les notions étudiées.
4 PRÉPARER UN CONTRÔLE
1 Faites les exercices d’ Activités mentales . Sans difficultés calculatoires, ils permettent de
vérifier que les raisonnements sont compris.
2 Réalisez le QCM de fin de chapitre
u vérifiez vos réponses en fin de manuel ;
u refaites les compléments proposés dans le manuel numérique.
Analyse
►Déterminer la forme canonique par le calcul . . . . 12
►Déterminer la forme canonique graphiquement . . . . 12
►Utiliser la symétrie de la parabole . . . . 13
►Étudier les variations d’une fonction du second degré . 14 ►Résoudre une équation du second degré . . . . 16
►Résoudre une inéquation du second degré . . . . 18
►Résoudre une équation irrationnelle . . . . 38
►Résoudre une inéquation avec racines carrées . . . 39
► Étudier et représenter une fonction avec des valeurs absolues . . . . 41
►Étudier une fonction du type . . . . 43
►Étudier une fonction du type . . . . 44
►Déterminer un nombre dérivé . . . . 62
►Déterminer l’équation réduite d’une tangente . . . . 63
►Lire graphiquement un nombre dérivé . . . . 63
►Déterminer la fonction dérivée d’une fonction . . . . 66
►Déterminer les variations d’une fonction . . . . 85
►Faire le lien entre extrema et dérivée . . . . 87
►Étudier une suite définie de façon explicite . . . .109
► Utiliser la calculatrice dans l’étude d’une suite définie par une formule explicite . . . . 110
►Étudier une suite définie par récurrence . . . . 111
► Utiliser la calculatrice dans l’étude d’une suite définie par une relation de récurrence . . . . 112
►Démontrer qu’une suite est arithmétique . . . . 113
►Démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique . . . . 113
►Déterminer la forme explicite d’une suite arithmétique 114 ►Démontrer qu’une suite est géométrique . . . . 115
►Démontrer qu’une suite n’est pas géométrique . . . . 115
►Déterminer la forme explicite d’une suite géométrique 116 ► Montrer qu’une suite est monotone par différence de termes . . . . 135
► Montrer qu’une suite est monotone par quotient de deux termes . . . . 135
► Montrer qu’une suite est monotone par l’étude d’une fonction . . . . 136
►Montrer qu’une suite n’est pas monotone . . . . 136
►Conjecturer la limite d’une suite à partir de valeurs . . . 138
►Lire graphiquement la limite d’une suite . . . .139
Géométrie
►Montrer que deux droites sont parallèles . . . .172►Déterminer si des points sont alignés . . . .172
►Déterminer une équation cartésienne de droite . . . .175
► Déterminer un vecteur directeur et un point d’une droite . . . .175
►Convertir entre degrés et radians . . . .195
►Déterminer la mesure principale d’un angle orienté . . .196
►Calculer sin x quand on connaît cos x . . . .198
►Calculer une mesure des angles associés . . . .200
►Utiliser une formule de duplication . . . .201
►Résoudre cos x = a avec x ∈ ℝ . . . .201
►Résoudre sin x = a avec x ∈ ℝ . . . .202
►Résoudre une inéquation trigonométrique . . . .202
►Étudier la perpendicularité de deux droites . . . .222
► Introduire un repère orthonormé pour calculer un produit scalaire . . . .222
►Déterminer un angle avec le produit scalaire . . . .224
►Trouver une équation de droite avec un vecteur normal . . . . 226
►Trouver une équation de cercle de diamètre donné . . . .227
Statistique et probabilités
►Tracer un diagramme en boîte . . . .250►Comparer deux séries statistiques . . . .251
►Déterminerl’écart-type . . . .252
► Déterminer l’écart-type avec la calculatrice : série de valeurs . . . .253
► Déterminer l’écart-type avec la calculatrice : tableau d’effectifs . . . .253
►Résumer une série statistique . . . .254
►Étudier une variable aléatoire . . . .272
►Utiliser la calculatrice . . . .273
►Interpréter l’espérance et la variance . . . .274
►Appliquer une transformation affine . . . .275
►Obtenir un coefficient binomial avec la calculatrice . . .301
► Déterminer une probabilité P(X = k) à l’aide de la calculatrice . . . .303
► Déterminer une probabilité P(X ⩽ k) à l’aide de la calculatrice . . . . 303
►Déterminer un intervalle de fluctuation . . . . 304
►Rejeter ou non une hypothèse . . . . 306
MÉTHODES DE l’annÉE
ANALYSE
Second degré 1
Connaissances nécessaires à ce chapitre
◮ Lire un graphique
◮ Étudier le signe d’une expression
◮ Étudier le sens de variations d’une fonction
◮ Développer et factoriser une expression
◮ Résoudre une équation
Auto-évaluation
Des ressources numériques pour préparer le chapitre surmanuel.sesamath.net
@
1
1 1
1) a)Déterminer f(−0, 5).
b)Donner le(s) antécédent(s) de−1 parf. 2)Dresser le tableau de variations de f. 3)Résoudre l’équation f(x) =0.
4)Dresser le tableau de signes de f. 2 Développer les expressions suivantes.
1)(x−2)2 3)3(2x−1) (4+x) 2)−2(5−3x)2 4)xy x2+3y2
3 Factoriser, puis étudier le signe des expressions suivantes.
1)(x−3) (2−3x)−(x−1) (x−3) 2) x2−3x
3)9−4x2 4) x2+8x+16
4 On considère la courbe représentative ci-dessous d’une fonctionf du second degré.
0 1 1
S
1)Le pointA(1 ; 2)appartient-il à la courbe ? 2)Quelles sont les coordonnées deS? 3)5 est-il solution de l’équationf(x) =2 ? 4)3 est-il solution de l’inéquation f(x)<4 ?
5 Parmi ces expressions, lesquelles sont égales quel que soitxréel ?
1)x2−8x+7 3)(x−2) (x−3) 2)(x−4)2−9 4)(x−7) (x−1)
6 Résoudre les équations suivantes dansR. 1)2x2+3=0 2)(x+3) (2x−1) =0
➤➤➤
Voir solutions p. 333Activités d’approche
ACTIVITÉ 1 Cette courbe tient une sacrée forme !
Soitf la fonction du second degré définie surRpar f(x) =2x2−8x−6.
1 2
0
S
1)Lecture graphique
a) Lire les coordonnées du sommet de la paraboleCf.
b)La fonctionf peut s’écrire sous la formef(x) =a(x−α)2+β, appelée forme canonique de la fonctionfet cette écriture est unique.
Que valentαetβ?
c) En remarquant quef(5) =4, on peut écrire quea(5−α)2+β=4.
En déduirea, puis la forme canonique de f.
2)Sans utiliser la courbe représentative de la fonction f, on peut mener le raisonnement sui- vant pour déterminer la forme canonique.
a) Trouver le nombre réeldtel que 2x2−8x−6=2 x2−4x−d .
b)En développant(x−2)2, détermineretel quex2−4x−d= (x−2)2+e.
c) En déduire la forme canonique def.
3)Reprendre la démarche précédente pour déterminer la forme canonique de la fonction g définie surRpar :
g(x) =4x2+8x+10.
4)Dans le cas général, une fonction f du second degré est définie surRpar : f(x) =ax2+bx+caveca6=0.
a) Développera
x+ b 2a
2
. b)En déduire queax2+bx+c= a
x+ b
2a 2
+doùdest un nombre réel que l’on déter- minera.
c) On poseα=− b
2a. Calculerf(α).
d)Conclure sur la forme canonique def.
Activités d’approche
ACTIVITÉ 2 Prévision du bénéfice d’une entreprise
INFO CALCAlarmé par sa banque à propos de la mauvaise situation financière, le chef d’entreprise de- mande au comptable de faire une prévision sur le bénéfice des années suivantes. Le comptable dispose des données suivantes.
Année 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Rang de l’année 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Bénéfice (en dizaine
de milliers d’euros)
−20 −8, 5 −5 −1, 64 0,99 4,21 5 4,04 1,58
Partie 1 : Modélisation par une fonction du second degré
Le comptable décide de modéliser cette évolution par une fonction du second degré.
Une fonction du second degré définie sur[0 ; +∞[par f(x) = ax2+bx+cest entièrement déterminée par la donnée des coefficientsa,betc.
On peut par exemple effectuer le choix de ne garder que les données des années 0, 6 et 8.
1)Montrer que cela revient à résoudre le système :
c=−20
a×62+b×6=25 a×82+b×8=21, 58
2)Vérifier que le système précédent donne l’expression f1(x) = −0, 73x2+8, 55x−20 en arrondissant les coefficients à 0,01 près.
On pourra utiliser un logiciel de calcul formel.
3)Calculer la prévision du bénéfice pour 2015, puis pour 2020.
4)Préciser l’intervalle[x1; x2]dans lequel le bénéfice de l’entreprisef1(x)est positif (arrondir x1etx2à 0,1 près).
Après 5 années de bénéfice positif, le bénéfice de l’entreprise reste-t-il positif en 2015 ? Partie 2 : Avec le tableur ou la calculatrice
1)Entrer les données comme sur la figure ci-dessus.
2)Afficher les points correspondants. Suivant le tableur uti- lisé, le type de diagramme est XY dispersion ou Nuage de points.
3)Insérer une courbe de tendance polynomiale degré 2 et faire afficher l’équation.
Quelle est l’équation de la courbey= f2(x)affichée par le tableur ? Arrondir les coefficients à 0,01 près.
4)Calculer la prévision du bénéfice avec cette fonction f2en 2015, puis en 2020.
Activités d’approche
ACTIVITÉ 3 Combien de solutions ?
INFOSoit f la fonction du second degré définie surRpar f(x) =ax2+bx+cdont la forme cano- nique estf(x) =a(x−α)2+β.
Partie 1 : Expérimentation
0 +
1 1+ β•
α• a• 1)Avec un logiciel de géométrie, créer
trois variables réellesa,αetβcompris entre−5 et 5 avec un pas de 0,1.
2)Fixera=1. Faire varierαetβ.
Du quel de ces deux paramètres dépend le nombre de solutions de l’équation f(x) =0 ? Préciser les observations effectuées.
3)Fixerβ=1. Faire varieraetα.
Du quel de ces deux paramètres dépend le nombre de solutions de l’équation f(x) =0 ? Préciser les observations effectuées.
4)Fixerβ=0.
Combien l’équation a-t-elle de solutions ? Partie 2 : Synthèse des observations 1)Recopier et compléter le tableau ci-dessous
qui donne le nombre de solutions de l’équation ax2+bx+c=0 selon les valeurs deaetβ.
a>0 a<0 β=0
β>0 β<0 2)Compléter les propositions ci-dessous.
Siβ=0, alors l’équation a . . . solution(s).
Siaetβsont de même signe, l’équation a . . . solution(s).
Siaetβsont de signe contraire, l’équation a . . . solution(s).
Partie 3 : Démonstration
En fait, résoudre l’équation revient à résoudrea(x−α)2+ β=0.
1)Résoudre cette équation siβ=0.
2)Siβ6=0, montrer que le nombre de solutions dépend du nombre β a. 3)En quoi cela rejoint-il la synthèse effectuéepartie B. 2)?
Cours - Méthodes
Dans ce chapitre, on munit le plan du repère orthogonal (O;I,J).
1. Fonction polynôme du second degré A. Généralités
DÉFINITION
Toute fonctionf définie surRpar f(x) =ax2+bx+coùa,betcsont des réels aveca6=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré.
Exemples Parmi les fonctions suivantes, définies surR:
• f1(x) =2x2−3x+1 est l’expression d’une fonction polynôme du second degré aveca=2, b=−3 etc=1 ;
• f2(x) = 1
2x−2 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction affine ;
• f3(x) = x3−x2+3x−6 n’est pas l’expression d’une fonction du second degré, c’est une fonction de degré 3.
VOCABULAIRE:
L’expression algébrique ax2+bx+c, oùa,betcsont des réels aveca 6= 0, est appelée trinôme du second degréet l’écriture f(x) =ax2+bx=cest appeléeforme développée de f.
La courbe représentative d’une fonction du second degré est appelée uneparabole.
REMARQUE:On remarque que f(0) = a×02+b×0+c= c. Le coefficientcs’interprète donc graphiquement comme l’ordonnée du point d’intersection de la courbeCf et de l’axe des ordonnées.
Exemple La courbeCfreprésentative de la fonction fdéfinie surRpar f(x) =−x2+3x−1 coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées(0 ; −1).
1 1
0
B. Forme canonique
THÉORÈME
Toute fonction f du second degré définie sur Rpar f(x) = ax2+bx+cpeut s’écrire de façon unique sous la forme f(x) =a(x−α)2+βoù
α=− b 2a β= f(α)
. Cette forme est appelée laforme canonique. La courbe représentative def est uneparabolede sommetS(α;β).
L’équation de la parabole esty=ax2+bx+c.
Cours - Méthodes
PREUVE
f(x) =ax2+bx+c=a
x2+ b ax
+c=a x+ b 2a
2
− b2 (2a)2
! +c=a
x+ b
2a 2
−b2 4a+c.
On peut réécrire cette expression sous la forme f(x) =ax2+bx+c
=a
x+ b 2a
2
+4ac−b2 4a . On poseα=− b
2a etβ= 4ac−b2
4a donc f(x) =ax2+bx+c=a(x−α)2+β.
Alors f(α) =a(α−α)2+β. Par conséquent, on obtient f(α) =β.
MÉTHODE 1 Déterminer la forme canonique par le calcul Ex. 12 p. 20 Exercice d’application
Soitf la fonction du second degré définie surRpar f(x) =−x2+3x−1.
Déterminer sa forme canonique.
Correction
La forme développée def a pour coefficientsa=−1,b=3 etc=−1.
On obtientα=− b 2a = 3
2etβ= f 3
2
=− 3
2 2
+3×3
2 −1= 5 4. La forme canonique def est doncf(x) =−
x−3
2 2
+5
4et la courbe représentative de fest donc une parabole de sommetS
3 2; 5
4
.
MÉTHODE 2 Déterminer la forme canonique graphiquement Ex. 17 p. 21
1 1
0 On considère la parabolePdonnée ci-contre.
Pour déterminer son équation :
1)on lit les coordonnées du sommetS(α; β);
2)on utilise un autre point pour déterminer le coefficienta.
Exercice d’application
Obtenir la forme canonique correspondant à la parabole ci-dessus.
Correction
Le sommet de la parabole a pour coordonnées(−1 ; 3).
La forme canonique s’écrity=a(x−(−1))2+3=a(x+1)2+3. Pour trouvera, on utilise les coordonnées d’un point de la courbe différent du sommet, par exemple(−3 ; 1). L’équation précédente permet d’obtenir a(−3+1)2+3 = 1 puisa(−2)2 = −2 soit 4a = −2 et enfin a=−1
2. En conclusion,y=−1
2(x+1)2+3.
Cours - Méthodes
REMARQUE:On peut également obtenir la forme canonique dans des cas simples en repre- nant la démarche de la preuve du théorème précédent.
Considérons l’exemplef(x) =2x2−6x+8.
On écritf(x) =2x2−4x+8=2(x2−2x+4) =2((x−1)2−1+4) =2((x−1)2+3)et on obtient finalementf(x) =2(x−2)2+6.
En dehors de ces cas simples, cette démarche peut conduire à des calculs compliqués.
PROPRIÉTÉ
Une parabole de sommetS(α; β)est symétrique par rapport à la droite d’équationx=α.
MÉTHODE 3 Utiliser la symétrie de la parabole Ex. 19 p. 21
1 1
0
x=2 La symétrie de la parabole par rapport à la droite d’équation
x = α implique que deux points symétriques par rapport à cet axe ont même ordonnée. La moyenne des abscisses de ces deux points est égale àα.
Exercice d’application
Soit f une fonction du second degré tel que f(−1) = −2 et le minimum de f vaut−3 pourx=2.
Que vaut f(5)?
Correction
Le sommet de la parabole a pour coordonnées(2 ; −3)donc l’axe de symétrie de la parabole Cf est la droite d’équation x=2. Soitx′l’abscisse du point de la parabole symétrique du point d’abscisse−1 par la symétrie d’axe d’équationx = 2.
On ax′+ (−1)
2 =2, soitx′=5. Doncf(5) = f(−1) =2.
C. Sens de variation
Soit f une fonction du second degré dont la forme canonique estf(x) =a(x−α)2+β.
Le sens de variation de fdépend du signe dea.
a>0 a<0
x variations
de f
−∞ α +∞
β β
×S β×
×α (d)
x variations
de f
−∞ α +∞ β
β
×S β×
×α (d)
Cours - Méthodes
PREUVE casa>0:La forme canonique de la fonctionf est un enchaînement de fonctions : x−−−−−→soustraireα x−α
élever au carré
−−−−−→(x−α)2
multiplier para
−−−−−→a(x−α)2−−−−−→ajouterβ a(x−α)2+β Sur l’intervalle]−∞; α]
Soituetvdeux nombres tels queu<v≤α u−α<v−α≤0
(u−α)2>(v−α)2 ≥0
car la fonction carré est strictement décrois- sante sur]−∞; 0].
a×(u−α)2>a×(v−α)2>0 cara>0 a×(u−α)2+β>a×(v−α)2+β>β
f(u)> f(v)>β
Conclusion : La fonction f change l’ordre, doncf est décroissante sur]−∞;α[.
Sur l’intervalle[α; +∞[ Soituetvdeux nombres tels que α≤u<v
0≤u−α<v−α 0≤(u−α)2 <(v−α)2
car la fonction carré est strictement crois- sante sur[0 ; +∞[.
0<a×(u−α)2<a×(v−α)2cara>0 β<a×(u−α)2+β<a×(v−α)2+β β< f(u)< f(v)
Conclusion: La fonction f conserve l’ordre, doncf est croissante sur[α; +∞[.
De plus f(α) =a(α−α)2+β=β.
MÉTHODE 4 Étudier les variations d’une fonction du second degré Ex. 21 p. 21 Pour étudier les variations d’une fonction du second degré définie surRpar :
f(x) =ax2+bx+c
1)calculer les coefficientsαetβde la forme canonique ; 2)suivant le signe dea, on déduit le tableau de variations.
Exercice d’application
Étudier les variations de la fonction du second degré définie parf(x) =−2x2+3x−1.
Correction a=−2,b=3 etc=−1 doncα=− 3
2× (−2) = 3 4et β= f
3 4
= (−2)× 3
4 2
+3×3
4−1 soitβ= (−2)×9
16 + 9
16−1= −18+9−16
16 =−25
16. La forme canonique def est f(x) =−2
x−3
4 2
−25 16.
De plus, le coefficientaest de signe négatif, donc on obtient le tableau de variations suivant : x
f
−∞ 3
4 +∞
−25
−1625 16
VOCABULAIRE:
Sia >0, f admet un minimum enx= αégal àβque l’on peut traduire par « le sommet de la parabole est en bas » ou par «f est convexe ».
Sia < 0, f admet un maximum enx = αégal àβ. On peut dire que « le sommet de la parabole est en haut » ou que «f est concave ».
Cours - Méthodes
2. Équation ax 2 + bx + c = 0
DÉFINITION :Équation du second degré
Uneéquation du second degréest une équation du typeax2+bx+c=0 aveca,betcdes nombres réels eta6=0.
DÉFINITION :Discriminant
∆=b2−4acest lediscriminantdutrinôme du second degréax2+bx+c.
VOCABULAIRE:
On appelleracinesdu trinôme du second degréax2+bx+cles solutions de l’équation ax2+bx+c=0.
Les solutions de l’équation f(x) =ax2+bx+c=0 sont appelées racines ou zéros de la fonction f.
THÉORÈME
Le nombre de solutions de l’équation du second degréax2+bx+c= 0 dépend du signe de∆.
∆>0 ∆=0 ∆<0 L’équation
ax2+bx+c=0
a deux solutionsx1
etx2: x1 = −b−√
∆ 2a x2 = −b+√
∆ 2a
a une solution x0 =α=− b
2a
n’a pas de solution réelle
La courbe représentativeCf
coupe l’axe des abscisses en deux points(x1; 0)et (x2; 0)
coupe l’axe des ordonnées en son sommet(x0; 0)
ne coupe pas l’axe des abscisses
Forme factorisée de f
a(x−x1) (x−x2) a(x−x0)2 pas de factorisation dansR
PREUVE L’expression f(x)peut s’écrire sous la forme : f(x) =ax2+bx+c=a
x+ b
2a 2
+4ac−b2
4a (vu en1.B), soit f(x) =a
x+ b
2a 2
− ∆ 4a =0.
Ora6=0 donc cela revient à
x+ b 2a
2
= ∆ 4a2.
Le nombrea2étant strictement positif, on en déduit que ∆
4a2 a le même signe que∆. Le nombre de solutions de l’équation dépend donc uniquement du signe du discriminant.
Cours - Méthodes
PREUVE (suite) 1ercas :∆>0 L’équation
x+ b
2a 2
= ∆ 4a2
est de la formeX2= AavecA>0 dont les solutions sontX=√
AetX=−√ A.
En notant les deux solutions correspondantesx1etx2, on obtient : x1+ b
2a =− r ∆
4a2 etx2+ b 2a =
r ∆
4a2 soitx1 = −b−√
∆
2a etx2= −b+√
∆ 2a . L’expression f(x)peut s’écrire sous la forme :
f(x) =a x+ b 2a
2
− ∆ 4a2
!
=a x+ b 2a+
√∆ 2a
! x+ b
2a−
√∆ 2a
!
grâce à l’identité remarquableA2−B2car∆=√
∆2
(∆>0).
2ecas :∆=0 L’équation
x+ b
2a 2
=0 a une unique solutionx0telle que,x0+ b
2a =0 c’est-à-direx0=− b
2a =α. Cela correspond au cas où la forme canonique de f est telle queβ= 0, c’est-à-dire f(x) = a(x−α)2qui est une forme factorisée.
3ecas : ∆<0 L’équation
x+ b
2a 2
= ∆ 4a2 n’a pas de solution pourx∈Rcar quel que soitx∈R,
x+ b
2a 2
≥0 et ∆ 4a2 <0.
MÉTHODE 5 Résoudre une équation du second degré Ex. 30 p. 22 Pour résoudre l’équationax2+bx+c=0 dansR:
1)on lit les coefficientsa,betc;
2)on calcule le discriminant∆=b2−4ac;
3)suivant le signe du discriminant, on en déduit les solutions de l’équation si elles existent.
Exercice d’application
Résoudre l’équation 2x2−3x+1=0.
Correction
On aa=2,b=−3 etc=1.
Il faut d’abord calculer le discriminant∆=b2−4ac= (−3)2−4×2×1=1.
Le discriminant est strictement positif donc l’équation a deux solutions notéesx1etx2: x1 = −b−√
∆
2a = −(−3)−√ 1
2×2 = 1
2 et x2= −b+√
∆
2a = −(−3) +√ 1 2×2 =1.
Les deux solutions obtenues sont 1 et 1 2.
Cours - Méthodes
REMARQUES:
Sicest nul dans la forme développée, il est inutile de calculer∆car on peut factoriser ax2+bx=x(ax+b).
On résout une équation produit nul, l’équation a deux solutions : 0 et−b a.
Siaetcsont de signe contraire et non nuls, alors l’expression−4acest de signe strictement positif et donc∆>0 et l’équation du second degréax2+bx+c=0 a donc deux solutions.
En effet, si on considère l’équation du second degré1
3x2−2x−2
3 =0, on aa = 1
3,b=−2 etc=−2
3. Cette équation a deux solutions car1 3et−2
3sont de signe contraire.
3. Inéquation du second degré A. Définition
DÉFINITION
Uneinéquation du second degréest une inéquation du typeax2+bx+c≥0
ouax2+bx+c>0 ouax2+bx+c≤0 ouax2+bx+c<0 aveca,betcdes réels eta6=0.
REMARQUE:Soit fla fonction du second degré définie par f(x) =ax2+bx+c.
Résoudre une inéquation du second degré revient donc à étudier la position de la courbe représentativeCfpar rapport à l’axe des abscisses.
Exemple On veut résoudre l’inéquation 2x2−3x+1≥0 dansR. Soit f la fonction du second degré définie parf(x) =−2x2+2x+4.
Lorsque l’on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire le tableau de signes. La fonction fétudiée ici est concave (a<0).
1 1
0
x signe de f(x)
−∞ −1 2 +∞
− 0 + 0 − L’ensemble des solutions de l’inéquation estS= [−1 ; 2].
Cours - Méthodes
B. Signe d’un trinôme
PROPRIÉTÉ :Signe du trinôme
ax
2+ bx + c
∆>0 ∆=0 ∆<0 Signe de
f(x) = ax2+bx+c a>0
x f(x)
−∞ x1 x2 +∞ +0 - 0+
x f(x)
−∞ x0 +∞ +0+
x f(x)
−∞+∞ +
0 |
x1
|
x2 0 |
x0 0
Signe de f(x) = ax2+bx+c a<0
x f(x)
−∞ x1 x2 +∞
−0+0−
x f(x)
−∞ x0 +∞
−0−
x f(x)
−∞+∞
−
0 |
x1
|
x2 0 |
x0 0
REMARQUE:Pour déterminer le signe du trinômeax2+bx+c, il faut d’abord chercher ses racines. Le signe du trinôme dépend :
du signe du discriminant : la courbeCf coupe-t-elle l’axe des abscisses ? du signe dea: le sommet est-il en haut ou en bas de la courbe ?
MÉTHODE 6 Résoudre une inéquation du second degré Ex. 51 p. 25 Exercice d’application
Résoudre l’inéquation 2x2−3x+1>0 dansR. Correction
Étape 1: on résout l’équation du second degré 2x2−3x+1=0 (voir Méthode 1).
L’équation a deux solutions notéesx1= 1
2 etx2 =1.
Étape 2: on réalise le tableau de signes du trinôme 2x2−3x+1.
a=2 donca>0, on en déduit d’après la propriété en3.B) que le signe du trinôme est : x
Signe de 2x2 −3x+1
−∞ 1
2 1 +∞
+ 0 − 0 +
Étape 3: on conclut sur l’ensemble des solutions de l’inéquation : S=
−∞; 1 2
∪
1 ; +∞
.
S’entraîner
Activités mentales
1 Les fonctions suivantes sont-elles du second de- gré ?
Si oui, précisera,betcles coefficients du trinôme.
1) f1(x) =2x2+3 2) f2(x) =2x3+3x 3) f3(x) = −x2+4x+2
3 4) f4(x) = 1
2+x2−4x
2 Les courbes correspondant aux équations sui- vantes sont-elles des paraboles ?
1) y=2x−1 2) y=2x2−1 3) y= 1 4) y2=xx2
3 Compléter dans chaque cas.
1) x2−6x+9= (x−...)2doncx2−6x= (x−...)2−...
2) x2+4x+4= (x+...)2doncx2+4x= (x+...)2−4 3) x2+2x= (x+...)2−...
4) x2−2x= (x−...)2−...
4 Les expressions suivantes peuvent-elles être la forme canonique d’une fonction fdu second degré ? Si oui précisera,αetβ.
1) f1(x) =x2+3 2) f2(x) = (x−1) +2 3) f3(x) =
x+√ 52
4) f4(x) = (x+1)2−(x−2)2 5 Sommet de la parabole
La courbe est-elle une parabole d’équationy = f(x)? Si oui, lire les coordonnées du sommet et le signe dea.
1)
1 1
0
2)
1 1
0
3)
1 1
0
4)
1 1
0
6
1)Résoudre l’équationx2−3x+2=0.
2)Réaliser le tableau de signes du trinômex2−3x+2.
3)Résoudre l’inéquationx2−3x+2>0.
7 Dans chacun des cas suivants, le nombrea est-il solution de l’équation ?
1) a=1 2x−1=0
2) a=2 2x2+2x−6=0
3) a=0 x2−2x=0
4) a=−1 2x2+x−1=0 5) a=3 (2x−6) (x−1) =0 6) a=−2 −2x2−1=0
S’entraîner
8 Dans chacun des cas suivants, quel est le nombre de solutions de l’équation ?
1)3x2+x−2=0 2)3x2+2=0 3) x2−x=0 4)2(x−1)2=0
Fonctions du second degré
9 Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions du second degré ? Si oui, donner leurs coefficientsa,betc.
1) f1(x) = (x−3) (5−2x) 2) f2(x) =2x2+3√x−1 3) f3(x) =√
7x2−3x+ 1 4) f4(x) =3x−1−2x2 2
10 Les expressions suivantes sont-elles des trinômes du second degré ? Si oui, préciser les coefficients a,b etc.
1)3
4(x+4)2+1 3)x2+3x+1 2 2)3x3−2x2+x+3
2 4)(2x−1)2+ (2−3x)2 11 À chacun des trinômes du second degré suivants, associer sa forme canonique.
Trinôme Forme canonique
1−3x2 3(x−1)2+2
3x2−6x+5 3(x−1)2+5
−3x2+6x+8 −3x2+1 3x2−6x+8 3(x+1)2+5 3x2+6x+8 −3(x−1)2+11 12 MÉTHODE 1 p. 12
Mettre sous forme canonique les polynômes du second degré suivants.
1)x2+4x+1 3)−2x2+3x−6
2)4x2−3 4)x2+6x
13 Mettre sous forme canonique les fonctions poly- nômes suivantes.
1) f(x) =1 2
(x−3)2+4 2) g(x) = (x−3)2+ (1−2x)2 3) h(x) =2(x−1) (x+3) 4) k(t) =2t2+8t+8
14 On considère la fonction du second degré f défi- nie surRpar :
f(x) =1
2x2−5x+ 39 2 .
1)Montrer que la forme canonique de f est : f(x) =1
2(x−5)2+7.
2)En déduire le minimum de f surR.
15 On considère la fonction du second degré f défi- nie surRpar :
f(x) =2 3x2+16
3 x+17 3.
Marina, Hicham, Sophie et Joël, quatre élèves de 1reS proposent leur réponse.
Marina : f(x) = 2
3(x−4)2−5 Hicham : f(x) = 2
3(x+4)2−5 Sophie : f(x) = 2
3(x−4)−5 Joël :f(x) =2(x+4)2−5
Leur professeur dit « Je peux éliminer trois réponses sans faire de calculs ».
Quelles réponses peuvent être éliminées sans faire de calcul ?
16 Associer les courbesC1,C2,C3etC4des fonctions du second degré suivantes à leur forme canonique en justifiant.
1) f1(x) = (x−1)2+2 2) f2(x) =−(x+1)2+2 3) f3(x) = (x+1)2+2 4) f4(x) = 1
2(x−1)2+2
1 1
0
C1 C2
C3 C4
S’entraîner
17 MÉTHODE 2 p. 12
Soit f une fonction du second degré dont la courbe re- présentative est donnée ci-dessous.
1 1
0
1)Expliquer pourquoi la forme canonique de f peut s’écrire :
f(x) =a(x+2)2+3.
2)En utilisant l’image de 0, détermineraet en déduire la forme canonique de f.
18 La parabole ci-dessous est la courbe représenta- tive d’une fonction f.
Déterminer la forme canonique de f.
1 1
0
19 MÉTHODE 3 p. 13
On considère une fonction du second degré qui a pour minimum 4, atteint pourx=1.
On sait également que f(−1) =2.
Que vaut f(3)?
20 Le tableau de valeurs ci-dessous est celui d’une fonction du second degré f.
1)Quelles sont les coordonnées du sommet de sa para- bole ?
2)Déterminer la forme canonique de f. 21 MÉTHODE 4 p. 14
Étudier les variations de chacune des fonctions du se- cond degré définies surRpar les expressions suivantes.
1) f1(x) = (x−1)2+10 2) f2(x) =−2(x−5)2+2 3) f3(x) =3x2+1 4) f4(x) =−2(x+33)2−5
22 Étudier les variations de chacune des fonctions du second degré définies sur R par les expressions sui- vantes.
1) f1(x) =x2−x+1 2) f2(x) =−1
2(x−5) (x+3) 3) f3(x) = 3
2x2−4 4) f4(x) =3x2−6x3+3
23 Étudier les variations de la fonction du second de- gré f suivant la valeur du paramètre réelm:
f(x) =mx2−(m+1)x+1.
24 CALC
Romain a utilisé sa calculatrice pour déterminer le som- met d’une parabole dont il connaît l’équation :
y=2x2+12x+17.
Il a obtenu l’écran suivant et pense qu’il a fait une er- reur. Comment aider Romain ?
S’entraîner
25 Déterminer la fonction du second degré corres- pondant aux tableaux de variations suivants et aux va- leurs données.
1) f(0) =1
x f
−∞ −1 +∞ 22
2) g(1) =0
x g
−∞ 3 +∞
−2
−2
26 Déterminer la fonction du second degré corres- pondant aux tableaux de variations suivants et aux va- leurs données.
1) f(5) =−2 x f
−∞ 7 +∞
−1
−1
2) g(1) = 3
x g
−∞ 0 +∞ 11
27 Une entreprise a pour mission de construire une mini-rampe pour un skate park constitué de deux arcs de parabole A1(0≤ x ≤2)etA2(3≤ x ≤5)et d’une section plateS(2≤x≤3)selon la figure suivante.
1 1
0 A
B C
D
1)Déterminer la fonction du second degré dont la courbe représentative est l’arc parabolique A1 de sommetB.
2)Déterminer la fonction du second degré dont la courbe représentative est l’arc parabolique A2 de sommetC.
28 On souhaite résoudre l’équationx2−2x+5 = 0 dansR.
1)Compléter les égalités successives : x2−2x= (x−...)2+...
x2−2x+5= (x−...)2+...
2)En déduire que l’équationx2−2x+5 =0 est équi- valente à(x−1)2=−4.
3)En déduire la résolution de l’équation : x2−2x+5=0.
29 On souhaite résoudre l’équation 2x2−8x−1=0.
1)Compléter les égalités successives : 2x2−8x=2(x−...)2+...
2x2−8x−1=2(x−...)2+...
2)En déduire que l’équation 2x2−8x−1=0 est équi- valente à(x−2)2= 9
2.
3)En déduire la résolution de l’équation : 2x2−8x−1=0.
4)Résoudre de la même façon l’équation :
−x2+3x+2=0.
Équations du second degré
30 MÉTHODE 5 p. 16
Donner le nombre de solutions des équations suivantes.
1)x2+x+1=0 3)1
2x2−4x−3 2 =0 2)−2x2+x+1=0 4)√
2x2−x+1 2 =0 31 Donner le nombre de solutions des équations sui- vantes suivant la valeur du paramètre réelm.
1)x2+mx+1=0 2)x2−2x+3m=0 32 Résoudre les équations suivantes.
1)x2+x−2=0 3)3 4x2+1
2x+3 8 =0 2)−3x2+2x−1=0 4)−3x2−1=0
33 Résoudre les équations suivantes.
1)−x2+3−4x=0 3)4x2+2x− 1 2 =0 2)x2+1
2x=0 4)x 4x2+x+1
=0 34 Factoriser, si possible, les trinômes du second de- gré suivants en un produit de polynômes de degré 1.
1)x2+3x−4 3)3x2−3x+1
2)x2+4 4)−x2+4x
S’entraîner
35 Le nombreaest-il racine du trinômeP(x)? 1) a=1 P(x) =8x2−7x−1
2) a=0 P(x) =−x2+2x−1 3) a=−2 P(x) =x2−2x−4 4) a=2 P(x) =x2+x+2
36 ALGO
1)On souhaite écrire un algorithme qui détermine si le nombrezest solution de l’ équation du second degré ax2+bx+c=0.
1. Algorithme: Second degré 2. Liste des variables utilisées 3. a, b, c, z, t : nombre réels 4. Traitements
5. Demander a 6. Demander b 7. Demander c 8. Demander z
9. Donner à t la valeur ...
10. Si ...
11. Afficher ...
12. sinon
13. Afficher ...
14. FinSi
15.Fin de l’Algorithme
2)Programmer cet algorithme avec un logiciel ou une calculatrice.
On souhaite trouver les solutions de l’équation : 2x2−80x+399=0.
Tester les trois nombres suivants : a)19
b)20 c) 21
3)Modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette de vérifier si le nombre 2 est solution de l’équation de degré 3 :
x3+8x2−16x−8=0.
37 Résoudre les équations suivantes.
1) x2+3x−1=2x2+5x+2 2) x2+ 1
3x= 1 2 3)4x2+2x−1
2 =3x+ 1 4) (x+3) 2x2−3x−12
=0
38 Résoudre les équations suivantes.
1)(x−1)2=2(x+3)2 3) 1
x−2+x+3=0 2)2x+1=x2 4)3x−4
x+1 = x−1 2x+3 ALGO CALC 39
On considère l’équation suivante qui dépend de la va- leur du paramètrem:
x2+3mx+9=0.
1) a)Avec la calculatrice, créer un programme qui dé- termine le nombre n de solutions de l’équation pour les valeurs demsuivantes.
m −3 −2 −1 0 1 2 3
n
b)Conjecturer le nombre nde solutions de l’équa- tionx2+3mx+9=0 suivant la valeur dem.
2)Résoudre l’équationx2+3mx+9=0 en se plaçant dans les différents cas de la question1) b).
40 Déterminer les racines des trinômes suivants.
1)1
3x2−2x+3 3)4+5x−x2 2)x2−4x+4 4)4x2+3
41 CALC
Soit Pla parabole d’équationy = x2−x+1 et (d) la droite d’équationy=4x−3.
1)À l’aide de la calculatrice, conjecturer les coordon- nées des éventuels points d’intersection dePet (d).
2)Déterminer par le calcul, s’il(s) existe(nt), le(s) point(s) d’intersection dePet (d).
42 CALC
Soit Pla parabole d’équationy = 2x2+x+4 et P′la parabole d’équationy=−x2−5x+1.
1)Conjecturer à l’aide de la calculatrice, le nombre de points d’intersection dePetP′.
2)Déterminer, par le calcul, le nombre de points d’in- tersection dePetP′.
3)En déduire les coordonnées des points d’intersection des parabolesPetP′.
43 La parabole P coupe l’axe des ordonnées en A(0 ; 3)et passe parB(1 ; −1)etC(3 ; 1). Déterminer son équation sous la formey=ax2+bx+c.
S’entraîner
44 À l’intérieur d’un jardin carré dont la longueur du côté est 10 mètres, un jardinier souhaite installer, le long du bord, une allée en graviers de largeur constante.
Comment faire en sorte que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur ?
45 ALGO
1)On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2+bx+c=0.
1. Algorithme:Second degré 2. Liste des variables utilisées 3. a, b, c, D : nombre réels 4. Traitements
5. Demander a 6. Demander b 7. Demander c
8. Donner à D la valeur ...
9. Si ... alors
10. Afficher « l’équation a 2 solutions » 11. sinon si ...
12. Afficher « l’équation a 1 solution » 13. sinon
14. Afficher «...»
15. Finsi
16.Fin de l’Algorithme
2)Modifier l’algorithme précédent pour qu’il donne les solutions éventuelles de l’équation :
ax2+bx+c=0.
46 Un tennisman frappe droit devant lui une volée à 1 m du filet alors que la balle est à 0,9 m de hauteur en A. La balle franchit le filet enBà une hauteur de 1,1 m et atteint enCune hauteur maximale de 1,3 m.
La longueur d’un terrain de tennis est 23,77 m.
La balle sortira-t-elle du cours ?
1 1
0 A
B
C
47 Un designer doit réaliser un logo pour une en- treprise. Il veut créer la partie blanche de la figure ci- dessous, située à l’intérieur du demi-disque de dia- mètre [BC] et à l’extérieur des demi-disques de dia- mètre [CM] et [MB] oùMest un point quelconque du segment [BC].
On aBC=10 cm et on posex=CM.
C M B
Le designer doit faire en sorte que l’aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l’aire du demi-disque de diamètre [BC].
Comment doit-il positionner le pointM?
48 Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter le Nouvel An. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes.
Sachant que 468 cadeaux ont été distribués, combien de personnes étaient présentes à cette fête ?
S’entraîner
Inéquations du second degré
49 Soit Cf la courbe représentative ci-contre d’une fonction fdu second degré.
Résoudre graphiquement l’inéquation : 1) f(x)>0
2) f(x)≤2
1 1
0
C f
50 SoitCf etCg les courbes représentatives de deux fonctions du second degré f etg.
1 1
0
C f
Cg
1)Résoudre graphiquement :
a)f(x)≥0 b)f(x)> g(x)
2)Donner, à l’aide du graphique, la position relative des courbesCf etCg.
51 MÉTHODE 6 p. 18
Résoudre les inéquations du second degré suivantes dansR.
1)x2+x−2>0 3)2x2+3x≥0 2)−3x2+x−2≤0 4)2x2−8<0
52 Résoudre les inéquations du second degré sui- vantes surR.
1)1
2x2+7x−3>0 3)−2x2−9≥0 2)−3x2+4x+1≤0 4)2x2−4x<0
53 Résoudre les inéquations suivantes surI.
1)2x2+8x>4 I=R
2) x3−4x2+2x−1≤x3+3x2+2x+48 I=R 3) 1
x2−1− 1
x+1 <1 I=R\{−1 ; 1}
4) x2+x+1
x−4 ≥0 I=R\{4} 54 Résoudre les inéquations suivantes surR.
1) x2−4>3x I=R
2)2x2−x+1≤x2+3x−4 I=R 3) 1
x−4− 1 x−3 < 1
2 I=R\{3 ; 4} 4) x+1
2x2−5x−4 <0 I=R
55 Un carréABCDde côté 2 est partagé en deux par- ties en utilisant un pointEdu segment [AC].
Comment faire en sorte que l’aire du triangleDCEsoit supérieure ou égale à 3
2? 56 CALC
SoitCfetCgles courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinies surRpar :
f(x) =x2−6x+2 et g(x) =−2x2−3x+8.
1)Conjecture
a)On étudie la variable booléenne {f(x) ≤ g(x)}
obtenue avecy . Elle vaut 1 siCf est en- dessous de Cg et 0 sinon. Entrer dans la calcula- trice les informations suivantes.
b)Que peut-on conjecturer sur la position relative des courbesCf etCg?
2)Étudier le signe de f(x)−g(x).
3)En déduire la position relative des courbesCf etCg.
Approfondir
57 Un pont est soutenu par un arc parabolique d’une portée de 200 m et d’une hauteur de 80 m. Le pont et l’arc se coupent à 40 m de la rive.
G portée 200 m
• • •
• pont
arc parabolique
•
•
hauteur 80 m
•
•40 m•
Quelle est la hauteur du pont ?
58 Soit xla longueur de l’arête du cube. Si on aug- mente de deux centimètres la longueur de l’arête d’un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm3. Quelle est la longueur de l’arête de ce cube ?
59 Le directeur d’une salle de théâtre a remarqué qu’à 40 e la place, il peut compter jusqu’à 500 spec- tateurs et que chaque baisse de 2,50 elui amène 100 personnes de plus. On souhaite savoir combien il doit faire payer la place pour avoir une recette maximale.
1)Soit x le nombre de baisses du prix de la place de 2,50e.
a)Parmi les fonctions suivantes, choisir celle qui per- met de modéliser le problème.
f1(x) = (40+2, 5x) (500+100x) f2(x) = (40−2, 5x) (500+100x) f3(x) = (40+2, 5x) (500−100x) f4(x) = (40−2, 5x) (500−100x) b)Préciser son ensemble de définition.
2)En étudiant les variations de la fonction choisie, ré- soudre le problème.
60 Transformisme
L’objectif est de résoudre l’équation suivante : 1
x−1+ 1 x+1 =1.
1)Deux valeurs sont à exclure d’emblée de l’ensemble des solutions. Lesquelles ?
2)Montrer que cette équation équivaut à : (x+1) + (x−1) = (x−1) (x+1). 3)En déduire l’ensemble des solutions de l’équation.
61 Encore plus fort
On souhaite résoudre l’équation de degré 4 suivante :
2x4+x2−3=0. (1)
1)On poseX=x2. Quelle équation enXobtient-on ? 2)Résoudre l’équation obtenue. On note X1 et X2 ses
solutions.
3)En résolvantx2 = X1 puisx2 = X2, déterminer les solutions de l’équation (1).
4)En déduire que l’on peut écrire : 2x4+x2−3=2(x−1) (x+1)
x2+ax+b oùaetbsont des nombres à déterminer.
62 Somme et produit des racines
L’objectif est de démontrer et d’illustrer la propriété.
PROPRIÉTÉ
Un trinôme du second degré X2 −SX+P dont le discrimi- nant est strictement positif a deux racines x1 et x2 telles que
x1+x2=S x1×x2= P
1)Démonstration
a)Développer l’expression(X−x1) (X−x2). b)En déduire, par unicité des coefficients d’un poly-
nôme du second degré, que l’on a le système sui- vant
x1+x2=S
x1×x2=P. (1)
2)Application 1
Donner l’écriture d’un trinôme du second degré dont les racines sont :
a)2 et 3 b)1 et−4
3)Application 2
a)On considère l’équation du second degré suivante
x2−5x+6=0. (2)
Montrer que 2 est solution de l’équation(2).
En déduire la deuxième solution de l’équation(2) en résolvant le système (1).
b)On considère l’équationx2+x−2=0.
Trouver une solution évidente, puis en déduire la deuxième solution en résolvant le système(1).
