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Limitation de vitesse

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Études de fonctions

DÉBAT 2 Limitation de vitesse

Un automobiliste parcourt une distance de 260 km sur une autoroute, limitée à 130 km·h1.

Sur son smartphone est ins-tallée une application qui, à l’aide d’un relevé régulier des ses coordonnées GPS, lui permet d’obtenir la dis-tance parcourue en fonction du temps.

Le résultat est représenté sur le graphique ci-contre.

0,5+ +

1 +

1,5 +

2 50+

100+ 150+ 200+ 250+

0

Temps (h) Distance (km)

1)Cet automobiliste regarde son graphique et tient le raisonnement suivant : « J’ai parcouru les 260 km en 2 h, soit une moyenne de 130 km·h1, je ne recevrai donc pas d’amende ».

Qu’en pensez-vous ? 2)Graphiquement

a) À quel(s) moment(s) sa vitesse était-elle la plus grande ? b)À quel(s) moment(s) sa vitesse était-elle la plus petite ? c) À quel(s) moment(s) roulait-il à 130 km·h1?

Cours - Méthodes

Soit f une fonction définie sur un intervalleIdeReta∈I. On noteCf sa courbe représentative.

1. Nombre dérivé et tangente

DÉFINITION :Accroissement moyen

Soitx1etx2deux réels distincts appartenant àI. On appelleaccroissement moyendefentre x1etx2la quantité :

∆f

∆x(x1; x2) = f(x2)−f(x1) x2−x1 . En notantx1=aetx2=a+havech6=0, on obtient :

∆f

∆x(a) = f(a+h)− f(a)

h .

REMARQUE: ∆f

∆x(x1; x2)est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe passant par les points(x1; f(x1))et(x2; f(x2)).

DÉFINITION :Nombre dérivé Si, lorsquehse rapproche de 0, ∆f

∆x(a)se rapproche d’un réelℓ, alors : on dit que lafonction fest dérivable ena;

le réelℓest appelénombre dérivé de f ena, que l’on note f(a).

On écrit alors :

f(a+h)− f(a)

h →

h0 f(a).

«h

0. . . » se lit «tend vers. . . lorsquehtend vers 0 ».

MÉTHODE 1 Déterminer un nombre dérivé Ex. 10 p. 68 Exercice d’application

Soitf la fonction définie surRpar : f(x) =x2. Déterminer s’il existef(3).

Correction

Pour touth6=0 : ∆f

∆x(3) = (3+h)2−32

h = 6h+h2

h =6+h d’où ∆f

∆x(3) =6+h →

h06.

On obtient un nombre réel donc f est dérivable en 3 etf(3) =6.

REMARQUE: f(a)se note aussi df

dx(a). Le d symbolisant une petitedifférence, en compa-raison avec le∆, symbolisant une grandeDifférence.

DÉFINITION :Tangente

SoientAetMdeux points distincts d’une courbe. Géométriquement, latangenteà la courbe au pointAest la position limite de la sécante(AM)lorsqueMse rapproche deA.

Cours - Méthodes

REMARQUE :Soit a un réel pour lequel f est dérivable et soit h 6= 0 tel que a+h ∈ I.

Les deux pointsA(a; f(a))etM(a+h; f(a+h))sont deux points distincts deCf. ∆f

∆x(a)représente le coeffi-cient directeur de la droite(AM), sécante à la courbe.

On noteTAla tangente àCf au pointA.

Lorsqueh→0 :

Mse rapproche deA; (AM)se rapproche deTA;

∆f

∆x(a)→ f(a).

×A

a f(a)

a+h f(a+h)

Cf

TA

0

h

PROPRIÉTÉ :Coefficient directeur de la tangente

f(a)est lecoefficient directeurde la tangente à la courbe au point d’abscissea.

MÉTHODE 2 Déterminer l’équation réduite d’une tangente Ex. 12 p. 68 1)On calcule ∆f

∆x(a)puis on fait tendrehvers 0.

2)Si fest dérivable ena, la tangente a alors pour équation réduitey= f(a)x+p.

3)On trouvepen utilisant les coordonnées d’un point de la tangente :A(a; f(a)).

Exercice d’application Soit fla fonction définie surRpar f(x) =x2−3x.

Déterminer l’équation réduite de la tangente àCf au pointAd’abscisse 1.

Correction ∆f

∆x(1) = f(1+h)− f(1)

h = [(1+h)2−3(1+h)]−[12−3×1]

h = h2−h

h =h−1.

+1 1+

0 Cf

TA A× Lorsqueh→0, on a :h−1→ −1.

f est donc dérivable en 1 et on a f(1) =−1.

Ainsi, TAa pour équation y = −x+p. On utilise maintenant le point A(1 ; f(1)), c’est-à-direA(1 ;−2)et on obtient−2=−1+p, c’est-à-dire p=−1.TAa donc pour équation réduitey=−x−1.

MÉTHODE 3 Lire graphiquement un nombre dérivé Ex. 14 p. 68 Exercice d’application

−+1 1+ 0 Cf

TA A× Soit f une fonction dont on donne la représentation graphique. La droite TAest tangente à la courbe au pointAd’abscisse−2.

Déterminer graphiquement f(−2).

Correction f(−2)est le coefficient directeur deTA. Graphiquement, on a f(−2) =1

2.

PROPRIÉTÉ :Équation réduite de la tangente

Soit f une fonction dérivable en a de courbe représentativeCf.L’équation réduite de la tangenteàCf au point d’abscisseaest :

y= f(a)(x−a) +f(a).

Cours - Méthodes

PREUVE Si f est dérivable ena, f(a)est alors par définition le coefficient directeur de la tangente donc son équation est du typey= f(a)x+p. Pour déterminerp, on utilise le point commun à la tangente et à la courbe, c’est-à-direA(a; f(a)). On obtient alors :

f(a) = f(a)a+p⇐⇒p= f(a)− f(a)a.

Ainsi, l’équation réduite de la tangente est :

y= f(a)x+f(a)− f(a)a= f(a)(x−a) +f(a).

2. Fonction dérivée

DÉFINITION

Si, pour tout réela∈I, f(a)existe, on dit que fest dérivable surI.

On définit alors une nouvelle fonction fsurIpar : f:x7→ f(x).

PROPRIÉTÉ :Dérivées des fonctions usuelles

Fonction Domaine

de définition

Domaine de dérivabilité

Fonction dérivée

f(x) =mx+p R R f(x) =m

f(x) =p R R f(x) =0

f(x) =x2 R R f(x) =2x

f(x) =xn,n∈N R R f(x) =nxn1

f(x) = 1

x R R f(x) =− 1

x2 f(x) =√x [0 ; +∞[ ]0 ; +∞[ f(x) = 1

2√x PREUVE

• Soit f :x7→mx+p. Voir exercice 10 p. 68.

• Soit f :x7→x2. Pour toutx∈Reth6=0, on a :

∆f

∆x(x) = (x+h)2−x2

h = 2xh+h2

h =2x+h →

h02x.

• Soit f :x7→ 1

x. Pour toutx∈Reth6=0 tel quex+h∈R, on a :

∆f

∆x(x) = 1 x+h−1

x

h =

− h x(x+h)

h =− 1

x(x+h) →

h0− 1 x2.

• Soit f :x7→√x. Pour toutx∈]0 ; +∞[eth6=0 tel quex+h∈]0 ; +∞[, on a :

∆f

∆x(x) =

√x+h−√x

h =

√x+h−√x

h ×

√x+h+√x

√x+h+√x = h h√

x+h+√x =→

h0

1 2√x.

Cours - Méthodes

3. Dérivées et opérations

PROPRIÉTÉ :Dérivation : somme et produit

Soientuetvdeux fonctions définies et dérivables surIetk∈R. Alors :

La fonctionu+v:x7→u(x) +v(x)est dérivable surIet on a(u+v)=u+v. La fonctionku:x7→ku(x)est dérivable surIet on a(ku) =ku.

La fonctionuv:x7→u(x)v(x)est dérivable surIet on a(uv)=uv+uv. PREUVE Soita∈Ieth6=0 tel quea+h∈I. Alors :

• (u+v)(a+h)−(u+v)(a)

h = u(a+h)−u(a)

h +v(a+h)−v(a)

h →

h0u(a) +v(a).

• Le deuxième point se traite facilement.

• (uv)(a+h)−(uv)(a)

h = u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a) h

= u(a+h)v(a+h)−u(a)v(a)

On ajoute et retranche la même quantité

z }| {

+u(a)v(a+h)−u(a)v(a+h) h

= u(a+h))−u(a)

h v(a+h)+u(a)v(a+h)−v(a) h

h0u(a)v(a) +u(a)v(a).

Exemple

1) f :x7→√x+x5est de la formeu+vavecu(x) =√xetv(x) =x5. Ainsi : f(x) =u(x) +v(x) = 1

2√

x+5x4. 2) f :x7→8x5est de la formekuaveck=8 etu(x) =x5. Ainsi :

f(x) =ku(x) =8×5x4 =40x4.

3) f :x7→8x5√xest de la formeuvavecu(x) =8x5etv(x) =√x. Ainsi : f(x) =u(x)v(x) +u(x)v(x) =40x4

x+8x5 1

2√x = 40x4x+4x5

√x = 44x5

√x .

PROPRIÉTÉ :Dérivation : inverse et quotient

Soientuetvdeux fonctions définies et dérivables sur Itelles quevne s’annule pas sur I.

Alors :

La fonction 1

v :x7→ 1

v(x)est dérivable surIet on a1 v

=−v v2. La fonction u

v :x7→ u(x)

v(x)est dérivable surIet on au v

= uv−uv v2 . PREUVE Voir exercice 51 p. 73.

Cours - Méthodes

MÉTHODE 4 Déterminer la fonction dérivée d’une fonction Ex. 29 p. 70 1)On commence par identifier la forme de la fonction f (somme, produit, inverse, quotient

de fonctions usuelles).

2)On détermine l’ensemble de définition et de dérivabilité.

3)On dérive séparément chacune des fonctions composant f.

4)On calcule f(x)en appliquant les formules de dérivation du cours.

Exercice d’application Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1) f(x) =7x3−2x2+5

2)g(x) =x√x

3)h(x) = 1 x2+1 4)i(x) = x−3

2x+4 Correction

1) f est de la formeu+v+w(somme) avecu(x) =7x3,v(x) =−2x2etw(x) =5.

Ces trois fonctions sont définies et dérivables surR, il en est de même pourf. De plus,u(x) =7×(3x2) =21x2,v(x) =−2×(2x) =−4xetw(x) =0.

Ainsi, pour tout réelx:

f(x) =21x2−4x.

2)gest de la formeuv(produit) avecu(x) =xetv(x) =√x. Ces deux fonctions sont définies sur[0 ; +∞[et dérivables sur]0 ; +∞[, il en est de même pourg.

De plus,u(x) =1 etv(x) = 1

2√x. Ainsi, pour toutx>0 : g(x) =1×√

x+x× 1 2√x =√

x+

√x

2 = 3√x 2 . 3)hest de la forme 1

v (inverse) avecv(x) = x2+1.vest définie surRet ne s’annule jamais donchest définie et dérivable surR.

De plus,v(x) =2x. Ainsi, pour tout réelx: h(x) =− 2x

(x2+1)2. 4)iest de la forme u

v (quotient) avecu(x) =x−3 etv(x) =2x+4. Ces deux fonctions sont définies surRmaisvs’annule en−2. Donciest définie et dérivable surR\ {−2}.

De plus,u(x) =1 etv(x) =2. Ainsi, pour toutx6=−2 : i(x) = 1×(2x+4)−(x−3)×2

(2x+4)2 = 10 (2x+4)2.

Vérification pour les fonctionsgetià l’aide du logiciel de calcul formel Maxima.

S’entraîner

Activités mentales

1 Soit f telle que f(2) =5 et f(2) =3. Déterminer l’équation de la tangente àCf au point d’abscisse 2.

2 Le taux d’accroissement enade la fonctionf défi-nie par f(x) = (x−5)3est égal à :

h2+ (3a−15)h+3a2−30a+75.

Quel est son nombre dérivé ena? 3 Quel est le nombre dérivé de : 1)la fonction inverse en 4 ?

2)la fonction carré en−2 ? 3)la fonction racine carrée en 1

4? 4)la fonction cube en−1 ?

4 Soit f une fonction définie et dérivable sur [−2 ; 2], représentée ci-dessous.T0est la tangente àCf 2)En quelle(s) valeur(s)

le nombre dérivé de la fonction est-il nul ?

3)Sur quel(s) intervalle(s) le nombre dérivé de la fonction est-il négatif ?

4)Sur quel(s) intervalle(s) le nombre dérivé de la fonction est-il positif ?

5 Soit f une fonction dérivable surR,Cf sa courbe représentative, A(−1 ; 3)un point deCf etTAla tan-gente àCf en A. Déterminer f(−1)lorsqueTApasse aussi par le point :

1)O(0 ; 0)? 2)B(1 ; 3)? 3)C(2 ; 5)? 6 Déterminer la fonction dérivée des fonctions sui-vantes :

Nombre dérivé et tangente

7 Parmi les notions suivantes, déterminer celles qui peuvent s’exprimer comme un nombre dérivé et lorsque c’est le cas, formaliser la notation :

1)le débit instantané d’une chute d’eau ; 2)l’accélération instantanée d’un mobile ;

3)la hauteur d’eau d’une rivière en un temps et lieu donnés ;

4)l’intensité du courant électrique dans un fil ;

5)le nombre de voitures par heure sur une route en un lieu donné ;

6)la vitesse moyenne d’un véhicule sur un trajet ; 7)la vitesse instantanée d’un véhicule en un lieu

donné.

8 La vitesse indiquée par les radars pédagogiques ou les radars automatiques (sur les avis de contraven-tion) est-elle une vitesse moyenne ou une vitesse ins-tantanée de la voiture visée ? Argumenter.

9 Cinétique chimique

On réalise deux expériences d’une même réaction chi-mique. Voici un diagramme représentant la quantité de matière (en mol) d’un composé en fonction du temps (en min) dans les deux expériences.

10+ +

1)Quelle est la réaction chimique la plus rapide ? 2)Graphiquement, et pour chaque expérience, quelle

est la vitesse d’apparition du composé à l’instant : a)t=15 min ? c)t=45 min ?

b)t=30 min ? d)t=60 min ?

3)L’une des réactions chimiques utilise un catalyseur.

Laquelle et pourquoi ?

4)On peut voir qu’au bout de 60 min, la quantité de matière du composé étudié n’est pas la même dans les deux expériences. Expliquer.

S’entraîner

10 MÉTHODE 1 p. 62

Pour chacune des fonctions suivantes, calculer xf(a), où a est un réel donné, puis déterminer si f est déri-vable ena. Lorsque c’est le cas, donner f(a).

1) f(x) =2x−7,a=3

2) f(x) =mx+p,m∈R,p∈R,aréel quelconque 3) f(x) =−3x2,a=2

4) f(x) =−2 x,a=1 5) f(x) =√

x−1,a=1

11 Même consigne qu’à l’exercice 10. 1) f(x) =−x2+7x,a=2

2) f(x) =x3,a=4 3) f(x) = 1

x+1,a=−2 4) f(x) =2√x−1,a=4

12 MÉTHODE 2 p. 63

Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsque cela est possible, l’équation réduite de la tangente enasous la formey=mx+p.

1) f :x7→ −x2+x+1,a=−1 2) f :x7→√x,a=4

3) f :x7→√x,a=0 4) f :x7→ 1

x,a=−2

13 Même consigne qu’à l’exercice 12. 1) f :x7→3x2−x−1,a=2

2) f :x7→ 1

x,a=−1 3) f :x7→x3,a=2 4) f :x7→x2+x+1,a=0

14 MÉTHODE 3 p. 63

On considère la fonction définie par la courbe ci-après et certaines des tangentes à la courbe.

1)Dans chacun des cas suivants, donner f(a)et f(a).

a) a=−3 b)a=−1 c) a= 5

2)Donner, si possible, un réel2 a en lequel f n’est pas dérivable. Justifier brièvement.

+1 1+

0

×A

×B

×C

Cf

15 Même consigne qu’à l’exercice 14.

1)a=−3, 5 3)a=−1

2)a=−2 4)a=2

+1 1+

0

×A

×B

×C

×D Cf

16 Soit fune fonction définie surR. On donne, pour certaines valeurs de x, la valeur de f(x)et le nombre dérivé de f enx.

x −2 0 3 5

f(x) −2 −1 4 2

f(x) −1 1 0 −2

Donner une allure possible de la courbe.

17 Même consigne qu’à l’exercice 16.

x 1 3 5 7

f(x) −2 0 112 52

f(x) 37 4 0 −3

S’entraîner

18 On considère la fonction f définie sur R par f(x) = x2+3x−1. On noteCf sa courbe représenta-tive.

1)Démontrer que, pour tout réela,f(a) =2a+3.

2)Déterminer l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1.

3)Existe-t-il une tangente en un point deCfqui soit pa-rallèle à la droite d’équationy=−2x+√

17 ? 4)Si oui, déterminer les coordonnées du point de

contact entre cette tangente etCf.

19 Voici une capture d’écran du logiciel Maxima.

1)En utilisant la réponse « %o2 » du logiciel, donner l’expression de f(a).

2)Existe-t-il une tangente à Cf qui soit parallèle à la droite d’équationy = −1

4x+5 ? Si oui, préciser les coordonnées du point de contact.

20 On considère la fonction valeur absolue définie surRpar f(x) =|x|.

1)Graphiquement :

a)pourquoi fn’est-elle pas dérivable en 0 ?

b)que vaut f(0)« à gauche de 0 », « à droite de 0 » ? 2)Algébriquement :

a)Vérifier que ∆xf(0) = |hh|.

b)En distinguant les cash>0 eth<0, retrouver les résultats des questions1)a)etb).

21 Soit f :x7→x|x|définie surR+.

Démontrer que fest dérivable en 0 et donner f(0).

22 Soit f :x7→ 1

1+|x|définie surR. Démontrer que fn’est pas dérivable en 0.

23 Calcul numérique d’un nombre dérivé ALGO

On considère une fonction f définie sur un intervalleI eta, un réel appartenant àI. On souhaite, pour évaluer numériquement f(a), calculer des valeurs de xf(a) pour des valeurs dehde plus en plus proches de 0, par exemple : 1

10,− 1 10, 1

100,− 1 100. . .

1)On propose l’algorithme suivant : 1. Liste des variables utilisées

2. a, k, TDroite, TGauche : nombre 3. f : fonction 9. Donner àTDroitela valeur de...

10. Donner àTGauchela valeur de...

11. Affichage

12. Afficher TDroite 13. Afficher TGauche 14. Fin Pour

15.Fin de l’algorithme

a)Quelles valeurs deh correspondent au calcul de TDroite, coefficient directeur de la sécante lorsque Mest à droite deA? de TGauche ?

b)Compléter alors cet algorithme.

2)Tester l’algorithme dans chacun des cas suivants à l’aide d’un logiciel adapté puis, selon les résultats af-fichés, dire sif est dérivable ena.

a) f :x7→x2eta=3

b) f : x 7→ √x eta = 4 puis a = 0. (Pourquoi ne faudra-t-il pas calculer TGauche poura=0 ?)

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