Notion de suite 5
MÉTHODE 2 Utiliser la calculatrice dans l’étude d’une suite définie
par une formule explicite Ex. 16 p. 118
Exercice d’application
Calculer la suite(un)définie parun= 1
npourn≥1.
Correction
CASIO TI
Choisir le menu 6 (RECUR)
Appuyer sur e pour choisir le type de suite :
Définie par sa forme explicite :q
On complète la ligneanen tapantrpour n
Réglage de la table de valeurs en tapanty (SET) :
Taperdpour revenir à la formule puis u(TABL) pour voir la table de valeurs :
Visualisation de la représentation gra-phique : Taperu(G.PLT) avec une fenêtre adaptée
Choisir le mode SEQ ou SUIT
Taper sur la touche f(x) et entrer l’expression de la suite avec la touche„pourn:
Réglage de la table de valeurs en tapant déf 0:
Taper0pour voir la table de valeurs :
Visualisation de la représentation gra-phique :
Tapersavec une fenêtre adaptée
Cours - Méthodes
DÉFINITION :Suite définie par une relation de récurrence
Définirune suite par une relation de récurrence, c’est donner le premier terme de la suite et une méthode de calcul deun+1en fonction du terme précédentun.
REMARQUE :On ne peut alors calculer un terme que si l’on connaît le précédent, il faut calculer de proche en proche tous les termes à partir du premier.
MÉTHODE 3 Étudier une suite définie par récurrence Ex. 17 p. 118 et Ex. 38 p. 120 Algébriquement
On calcule les termes de proche en proche à partir du premier et d’une expression de la forme un+1= f(un).
Graphiquement
• Construire la courbe représentant f.
• Construire la droite d’équationy=x.
• Placeru0sur l’axe des abscisses.
• Construire son imageu1.
• La reporter sur l’axe des abscisses à l’aide de la droite d’équationy=x.
• Construire de la même façonu2puisu3. . .
Exercice d’application
Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnparu0 =2,un+1= 1 2un+6.
1)Calculeru3.
2)Représenter graphiquement(un).
Correction
1)Pour calculeru3, il faut calculeru1,u2puisu3:u1=7 ;u2= 19
2 ;u3= 43 4 . 2)
1 1
0 y=x
y= f(x)
u0 u1 u2 u3u4
u1= f(u0) u2= f(u1) u3= f(u2) u4= f(u3)
REMARQUE :Une relation de récurrence peut aussi faire intervenir plusieurs des termes précédents, par exemple la célèbre suite de Fibonacciun+1 = un+un−1. Pour définir la suite, la donnée du premier terme ne suffit pas, il faut en donner plusieurs. Ici par exemple u0=1 etu1=1.
Cours - Méthodes
MÉTHODE 4 Utiliser la calculatrice dans l’étude d’une suite définie
par une relation de récurrence Ex. 17 p. 118
Exercice d’application
Calculer les dix premiers termes de la suite définie pour tout entier naturelnpar :
u0=2 un+1= 1
2un+6.
Correction
CASIO TI
Choisir le menu 6 (RECUR)
Appuyer sur e pour choisir le type de suite :
Définie par une relation de récurrencew On complète la lignean+1en tapantwpour an.
Réglage de la table de valeurs en tapant y(SET).
Penser à écrire le premier terme.
Taper dpour revenir à l’écran précédent puis u(TABL) pour visualiser la table de valeurs et enfin r(WEB) pour la repré-sentation graphique, en tapantlplusieurs fois :
Taper f(x) pour rentrer l’expression.
Attention : écrire u(n) en fonction de u(n−1)
Table de valeurs
Pour représenter la suite, aller dans FOR-MAT
Et choisir Web ou Esc
Taperspuisret la flèche de droite plusieurs fois pour tracer pas à pas.
Cours - Méthodes
2. Les suites arithmétiques
DÉFINITION
On dit qu’unesuite(un)est arithmétique, s’il existe un réelrtel que pour tout entier naturel, on aun+1=un+r.
Le réelrest appelé laraisonde la suite arithmétique(un).
REMARQUE:Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence ; on ajoute toujours le même terme. Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple La suite définie par
( u3=4
un+1=un−5 pourn ≥ 3 est une suite arithmétique de raison−5.
MÉTHODE 5 Démontrer qu’une suite est arithmétique Ex. 41 p. 121 Pour tout entier appartenant àN, on calcule la différenceun+1−un.
On montre que cette différence est constante.
Exercice d’application
Montrer que la suite(un)définie surN parun=2+3nest arithmétique.
Correction
Pour toutndansN:
un+1−un=2+3(n+1)−(2+3n)
=2+3n+3−2−3n
=3
Donc(un)est une suite arithmétique de raison 3.
MÉTHODE 6 Démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique Ex. 43 p. 121 On utilise un contre-exemple pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique.
On calcule deux différences de termes consécutifs et on montre qu’elles ne sont pas égales.
Exercice d’application La suite définie par
( u0 =0
un+1=un+2n pour n ≥ 0 est-elle une suite arithmé-tique ?
Correction
On calcule les trois premiers termes, par exemple : u0=0 u1=u0+2×0=0 u2=u1+2×1=2 Puis on calcule les différences :
u1−u0=0 etu2−u1=2 doncu1−u0 6=u2−u1. La suite(un)n’est pas arithmétique.
THÉORÈME :Forme explicite d’une suite arithmétique
Si(un)est une suite arithmétique de raisonr, alors pour tout entier natureln, on a : un=u0+nr.
Si(un)est une suite arithmétique de raisonr, alors pour tous les entiers naturelsnetk, on a :
un=uk+ (n−k)r.
Cours - Méthodes
PREUVE
• Par définition, on sait que pour tout entier natureln, on aun=un+r.
Donc
u1=u0+r u2=u1+r u3=u2+r
...
un=un−1+r .
On ajoute alors membre à membre et on obtient :
u1+u2+...+un−1+un=u0+u1+...+un−1+nr.
On retranche de chaque côté le termeu1+u2+...+un−1et on obtientun=u0+nr.
• Soient deux nombres entiers naturelsnetk. En écrivant la propriété précédente pourk, on obtient :
uk=u0+kr, soitu0 =uk−kr (1) D’autre part :un=u0+nrdonc en utilisant l’égalité (1) :
un=uk−kr+nrdoncun=uk+ (n−k)r.
MÉTHODE 7 Déterminer la forme explicite d’une suite arithmétique Ex. 44 p. 121 Exercice d’application
1)Soit la suite arithmétique(un)de premier termeu0=3 et de raison−4. Déterminer sa forme explicite.
2)Soit la suite arithmétique(vn)de raison 5 et telle quev10=7. Déterminer sa forme explicite.
Correction
1)Pour tout entier natureln,un=3−4n.
2)Pour tout entier natureln,vn=v10+ (n−10)r⇔vn=7+5(n−10) =5n−43.
PROPRIÉTÉ
La somme desnpremiers entiers naturels est égale àn(n+1)
2 .
PREUVE On peut exprimer la somme desnpremiers entiers naturels de deux manières : S=1+2 +...+n
S=n+ (n−1) +...+1 2S= (n+1) + (n+1) +...+ (n+1)
On additionne les deux égalités.
Puis on obtient 2S=n(n+1)d’où le résultatS= n(n+1)
2 .
NOTATION:La somme dek=0 àndesukse noteS= ∑n
k=0uk=u0+u1+...+un. Ainsi, la propriété précédente peut s’écrire ∑n
k=0k= n(n+1)
2 .
Cours - Méthodes
3. Les suites géométriques
DÉFINITION
On dit qu’unesuite(un)est géométriques’il existe un réelqnon nul tel que pour tout entier natureln, on aun+1=un×q=qun.
Le réelqest appelé laraisonde la suite géométrique(un).
REMARQUE:Une suite géométrique est définie par récurrence ; on multiplie toujours par le même terme. Pour définir une suite géométrique, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemples
• La suite des puissances de 10 est géométrique de raison 10.
• La suite définie par un = (−1)npourn∈ Nest géométrique de raison−1. Elle ne prend que les valeurs−1 et 1.
MÉTHODE 8 Démontrer qu’une suite est géométrique Ex. 51 p. 122 On calcule le quotientun+1
un et on montre qu’il est égal à une constante.
Exercice d’application
Montrer que la suite(un)définie surN parun= 2n+1
32n est géométrique.
Correction
Pour tout entierndeN: un+1
un = 2n+2 32(n+1)
2n+1 32n
= 2n+2 32n+2 × 32n
2n+1
= 2n+2−n−1 32n+2−2n = 2
32 = 2 9. Donc(un)est une suite géométrique de raison 2
9.
MÉTHODE 9 Démontrer qu’une suite n’est pas géométrique Ex. 53 p. 122 On utilise un contre-exemple pour démontrer qu’une suite n’est pas géométrique.
On calcule deux quotients de termes consécutifs et on montre qu’ils ne sont pas égaux.
Exercice d’application La suite définie par
( u1 =1
un+1=un×2n pourn≥1 est-elle géométrique ?
Correction
On calcule les trois premiers termes.
u1=1,u2 =u1×2×1=2,u3=u2×2×2=8.
Puis on calcule les quotients : u2
u1 =2 et u3
u2 = 8
2=4 doncu3
u2 6= u2
u1.
On en déduit que la suite(un)n’est pas géométrique.
Cours - Méthodes
THÉORÈME :Forme explicite d’une suite géométrique
Si(un)est une suite géométrique de raisonq, alors pour tout entier naturelnon a : un=u0qn.
Si(un)est une suite géométrique de raisonq, alors pour tous entiers naturelsnetkon a : un=ukqn−k.
PREUVE
• Par définition, on sait que pour tout entier natureln, on aun=qun. Doncu1=qu0, u2=qu1, u3=qu2, ..., un=qun−1.
On multiplie membre à membre et on obtient :
u1×u2×...×un−1×un=qn×u0×u1...×un−1
On divise de chaque côté par le termeu1×u2×...×un−1et on obtientun=u0×qn.
• Soient deux nombres entiers naturelsnetk.
Commeq6=0, en écrivant la propriété précédente pourk, on obtient : uk=u0×qk⇔u0= uk
qk. (1)
D’autre part,un=u0×qn. Donc en utilisant l’égalité (1) : un= uk
qk ×qn donc un=uk×qn−k.
MÉTHODE 10 Déterminer la forme explicite d’une suite géométrique Ex. 54 p. 122 Exercice d’application
1)Soit la suite géométrique(un)de premier termeu0=1 et de raison 2. Déterminer sa forme explicite.
2)Soit la suite géométrique(un)telle queu4=21 et de raison 3. Déterminer sa forme explicite.
Correction
1)un=2×2n=2n+1 2)un=u4qn−4=2×3n−4
PROPRIÉTÉ :Somme des
n + 1
premières puissances d’un réelq
non nul etq 6 = 1
Pour tout réelqnon nul et différent de 1, ∑n
k=0qk=1+q+...+qn= 1−qn+1 1−q .
PREUVE On écrit la somme desn+1 premières puissances d’un réelqnon nul et différent de 1 :
S=1+q+...+qn (1)
On multiplieSparqet on obtient
qS=q+q2+...+qn+1. (2) On soustrait membre à membre les équations (1) et (2), donc on obtient :
(1−q)S=1−qn+1, c’est-à-direS= 1−qn+1 (1−q) .
S’entraîner
Activités mentales
1 uest la suite définie pour tout entier naturelnpar un= 2n+1
n+1 . Calculeru4.
2 uest la suite définie pour tout entier naturelnnon nul parun=√
n−1.
Calculer les trois premiers termes de la suite.
3 uest la suite définie pour tout entier naturelnpar un= (n−5)2+2. Calculeru3.
4 uest la suite définie pour tout entier naturelnpar ( u0=3
un+1=2un−4 . Calculeru1puisu2.
5 uest la suite définie pour tout entier naturelnpar
u0=3 un+1= 1
un +1 . Calculeru1,u2etu3.
6 uest la suite définie pour tout entier naturelnpar ( u0=2
un+1= (n+1)un . 1)Calculeru1puisu2.
2)Écrireunen fonction deun−1.
7 uest la suite définie pour tout entier naturelnnon nul parun=1+2+...+n.
Calculer les quatre premiers termes de cette suite.
8 uest la suite définie pour tout entier naturelnnon nul parun=1+1
2+ 1 22...+ 1
2n.
Calculer les quatre premiers termes de cette suite.
9 Calculer. re-présentative defet les premiers termes de la suite(un).
2 + 2 +
u0
y=x
Lire graphiquement une valeur approchée deu4. 12 On a construit ci-dessous la courbe représentative de f et les premiers termes de la suite(un).
Lire graphiquement une valeur approchée deu3.
1