1 Marion et Théo vont jouer à 4 parties de backgam-mon. Ils sont de force égale et on rappelle qu’au back-gammon, il n’y a pas de partie nulle. La probabilité que chacun gagne la moitié des parties est égale 3
8. Quelle est la probabilité que Marion gagne plus de parties que Théo ?
2 Combien de fois doit-on lancer un dé équilibré, pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois le nombre 6 soit supérieure à 0,99 ?
3 Formats de papier
Le format de papier A0 correspond à un rectangle de largeur de 84,1 cm et une longueur de 118,9 cm.
Le format A1 est obtenu en coupant en deux parties égales le format A0, il a donc pour longueur la lar-geur de A0 et pour larlar-geur la moitié de la longueur de A0. Sur le même principe une feuille A1 contient deux feuilles A2, une feuille A2 deux feuilles A3, etc.
Déterminer les dimensions d’une feuille de format A6.
4 On souhaite enrouler un câble de 100 m autour d’un cylindre de rayon 50 cm. On considère que le câble est suffisamment fin pour négliger son épaisseur.
Combien faudra-t-il faire de tours pour enrouler tout le câble ?
5 On considère un cercle de diamètre [AB]tel que AB=8 cm.Mest un point quelconque sur le segment [AB]. On posex=AM.
On a construit de part et d’autre de [AB] des demi-cercles de diamètres[AM]et[MB].
A M B
x
Déterminerxpour que l’aire coloriée soit minimale.
6 C’est la tuile !
Pour couvrir un toit conique, un couvreur dispose des tuiles en rangs successifs, en partant du bas. Le premier rang comporte 215 ardoises, et chaque rang nécessite 6 ardoises de moins que le rang précédent. Sachant que le dernier rang compte 11 ardoises, calculer le nombre d’ardoises nécessaires pour couvrir le toit.
7 Le poids du plat
Le poids diminue avec l’altitude. Un astronaute em-mène des plats lyophilisés dont « Riz au petit légumes » de masse 150 g (sur Terre). Son poidsP(en N) à l’alti-tudea(en km) au-dessus du niveau de la mer est donné par :
P=0, 15×9, 8×
6400 6400+a
2
.
À quelle altitude le plat lyophilisé pèsera-t-il moins de 0,5 N ?
8 Soit n un entier naturel et P une fonction po-lynôme de degré n, c’est-à-dire une fonction pouvant s’écrire sous la forme :
P(x) =anxn+. . .+a2x2+a1x+a0, avecan6=0 On suppose qu’il existe un réelctel queP(c) > 0 et, pour tout entierk≥1,P(k)(c)≥0. Démontrer quePne s’annule pas dans l’intervalle[c;+∞[.
9 Résoudre l’équation cosnx−sinnx=1,nétant un entier naturel non nul.
D’après Olympiades internationales 1961
10 SoitPla parabole d’équationy=x2et Ale point de coordonnées (2; 2). Quels sont les points deP vi-sibles depuisA?
11 Justifier la construction ci-contre, à la règle et au compas, d’un triangle équilatéral inscrit dans un carré.
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12 En sortant de son phare, le gardien a laissé la porte ouverte, mais il a laissé son chienCattaché à un piquet Psitué à 2 m du piedK du phare avec une chaînePC de 10 m, à l’opposé de la porte dont l’ouvertureMN mesure 1 m de large. Le rayon de la base circulaire du phare est 3 m.
Je connais bien le gardien mais malheureusement le chien ne me connaît pas.
Vais je pouvoir entrer pour attendre mon ami ?
C P K O
M
N
D’après les Olympiades académiques
13 Parmi tous les triangles rectangles d’hypoténuse 1, en existe-t-il au moins un qui ait un périmètre plus grand que tous les autres ? Si oui, déterminer ses di-mensions.
14 Peut-on trouver une série de nombres positifs dont :
1)la médiane est strictement inférieure à la moitié de la moyenne ?
2)la moyenne est strictement inférieure à la moitié de la médiane ?
15 Étudier les variations de la fonction f définie sur Rpar :
f(x) =|x3+2x2−x−2| 16 Un objet se déplace sur un axe horizontal.
Sa position par rapport à l’origine à l’instanttest don-née parx(t) =√
t.
1)Sa vitesse augment-t-elle ou diminue-t-elle avec le temps ?
2)Entre les instants 10 et 11, quelle est l’évolution, en pourcentage, de la vitesse ?
17 Le sommetSd’une échelle de longueurlglisse le long d’un mur vertical qui repose sur un sol horizontal.
La vitesse du sommet de l’échelle est donnée parvS(t).
Quelle est la vitessevP(t)du piedPde l’échelle ?
S
P l
18 a et b sont deux entiers tels que a ∈ [−5; 5] et b∈[−5; 5].
Trouver toutes les valeurs possibles deaetbtels que la droitedd’équationax+by+5=0 passe parA(3; 2).
19 Où se trouvent les centres des cercles de rayon 1 qui sont tangents au cercle unité (deux cercles sont tangents en un point si ils ont la même tangente en ce point) ?
20 Dans un repère du plan, on considère les points A(1;−2),B(x; 6)etC(0;y)oùxetysont des nombres réels.
Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de x et de y les pointsA,BetCsont alignés.
21 Francis, qui est né le 1er février 1998, a vu la publicité suivante : « Envoie ta date de naissance (JJ/MM/AAAA) et celle de ta copine ou ton copain par SMS au 12345 et nous calculerons votre pourcentage de compatibilité ».
Ce qu’il ne sait pas, c’est que l’algorithme calculant ce pourcentage :
ajoute tous les chiffres de la 1redate de naissance, cela donne un nombred1;
ajoute tous les chiffres de la 2edate de naissance, cela donne un nombred2;
calcule 100× −→u · −→v avec−→u(cos(d1°); sin(d1°))et
−
→v(cos(d2°); sin(d2°)).
Donner les dates de naissances assurant une compati-bilité de plus de 99,9 % avec Francis sachant qu’il re-cherche quelqu’un né la même année que lui.
22 Lors d’un match de football, l’arbitre siffle un coup franc et la situation est la suivante :
le coup franc est tiré à 18,3 m du but et le ballon est décalé de 1,7 m par rapport au poteau droit ; le mur (mesurant 2,5 m de large et parallèle au but) se situe à 9,15 m du ballon et son extrémité droite est alignée avec le ballon et le poteau droit du but ; un but mesure 7,32 m de large.
Déterminer l’angle dont dispose le tireur s’il veut tirer entre l’extrémité gauche du mur et le poteau gauche du but.
23 Sur le bulletin scolaire du premier trimestre, le professeur de mathématiques d’Audrey a écrit qu’elle devait « gagner en constance dans les résultats ».
Audrey lui a demandé ce que cela voulait dire, il lui a répondu : « l’écart-type de tes notes doit être inférieur à 2 ».
Sachant qu’Audrey a pour l’instant eu 12, 14 et 14, quelle peut être sa dernière note du trimestre pour « être constante » ?
24 Gregor M. souhaite étayer sa théorie concernant les lois de la génétique et la transmission de caractères.
En croisant des plants de pois lisses avec des plants de pois ridés, il obtient 5 740 plants. Selon son modèle, il s’attend à trouver dans la nouvelle génération une pro-portion de 0, 75 de pois lisses.
Il publie ses résultats : il a trouvé 178 plants de pois lisses parmi les 5 740 plants, et crie victoire.
Jean-Baptiste L., biologiste concurrent, s’exclame :
« c’est impossible, c’est trop beau pour être vrai ! ».
En supposant que le nombre de pois lisses suive une loi binomiale de paramètresn = 5 740 et p = 0, 75, com-menter l’affirmation de Jean-Baptiste en vous aidant d’un intervalle de fluctuation judicieusement choisi.
25 Lorsqu’une personne achète un billet d’avion, la probabilité qu’elle ne prenne pas le vol est de 5 %.
Constatant cela, une compagnie aérienne a décidé de vendre plus de places que de disponibles pour ses avions qui peuvent contenir jusqu’à 150 passagers, pra-tique courante appelée surbooking.
Quel nombre de places peut-elle vendre si elle sou-haite que le risque qu’il n’y ait pas assez de places dans l’avion soit inférieur à 5 % ?
26 Un marchand de chaussures pense que le nombre de visiteurs quotidiens dans son magasin suit une loi binomiale de paramètresnetp. Il souhaite déterminer une estimation denet dep.
En épluchant son registre, il a noté les faits suivants : en moyenne, 18 visiteurs passent dans son magasin chaque jour ;
la probabilité que strictement moins de 20 visiteurs entrent dans son magasin durant une journée est d’environ 0, 74.
Déterminer les valeurs denet dep.