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PROBLÈMES DE SYNTHÈSE

Dans le document trAvAiLLEr AutrEmENt (Page 159-164)

27 On considère la fonction fdéfinie surR\ {1}par f(x) = x2−x−1

x−1 .

On noteCf la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal.

1) a)Déterminer le réelatel que pour tout réelx 6= 1,

a)Montrer que chercher les points communs à la courbe Cf et à la droite Dm revient à résoudre l’équation du second degré :

(Em) (1−m)x2+ (m−1)x−1=0.

b)Discuter le nombre de solutions de l’équation (Em) selon les valeurs dem. En donner une interpréta-tion graphique.

3)Vérifier les résultats obtenus à l’aide d’un logiciel.

28 Une urne contient 3 boules rouges, 4 boules bleues etnboules vertes (oùnest un entier naturel non nul).

Les boules sont indiscernables au toucher. On tire suc-cessivement et avec remise 2 boules de l’urne. On note Xle nombre de couleurs apparues.

1)Déterminer la loi de probabilité deX.

2)Montrer queE(X) =n2+28n+73 (n+7)2

3)Étudier les variations de la fonction f définie sur [1;+∞[par f(x) = x2+28x+73

(x+7)2 .

4)En déduire la valeur de npour laquelle l’espérance E(X)est maximale.

29 On lance deux dés bien équilibrés et on note la somme des chiffres obtenus sur la face supérieure des deux dés. On répète cette expériencenfois de suite.

1)Quelle est la probabilité de ne pas obtenir la somme 12 une seule fois lors desnlancers ?

2)Pour toutn∈N, on notepncette probabilité.

a)Étudier la nature de la suite(pn).

b)Étudier le sens de variations de la suite(pn).

c) À l’aide d’une table de valeurs de(pn), conjectu-rer la limite de la suite.

d)À l’aide d’une table de valeurs de(pn), détermi-ner le plus petit entier naturel k à partir duquel pk<0, 01 et interpréter ce résultat.

30 Le nombre d’or

PARTIEA : La suite de Fibonacci et le nombre d’or

Ses deux premiers termes sont 1 et 1, puis chaque terme et la somme des deux termes qui le précèdent.

En notantunle terme d’indicende la suite, on au0=1 ; u1 =1. . .

1)Donner les valeurs des cinq termes suivants.

2)Donner la relation de récurrence permettant de cal-culer un terme en fonction des deux termes qui le précèdent.

3)Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? 4)À l’aide d’un algorithme programmé sur calculatrice

ou ordinateur ou à l’aide d’un tableur, calculer les 40 premiers termes de cette suite.

PARTIEB : Construction géométrique d’une spirale

On construit un premier carré de côtéu0=1, un second carré de côtéu1 = 1 puis, en tournant dans le sens di-rect, des carrés dont le côté est la somme des deux côtés précédents.

1)Quelle relation de récurrence vérifie la suite(un)des côtés des carrés successifs ?

PARTIEC : Une suite auxiliaire

Soit(vn)la suite définie pour toutn∈Npar vn= un+1

un .

1)À l’aide d’un algorithme programmé sur calculatrice ou ordinateur ou à l’aide d’un tableur, calculer les 40 premiers termes de cette suite.

2)Conjecturer une valeur approchée de la limite de cette suite.

Dans la suite de l’exercice, on admet que la suite(vn) converge vers φ = 1+√

5

2 . Ce nombre est appelé nombre d’or.

PARTIED : Propriété du nombre d’or

1)Résoudre l’équationx2−x−1= 0. Que

1)Calculer les trois premiers termes de la suite.

2)On a obtenu à l’aide d’un logiciel de calcul formel les résultats suivants.

Interpréter ces résultats.

3)Rechercher des informations sur le nombre d’or : en architecture ; dans la nature. . .

31 L’objectif de ce problème est d’étudier la fonction dérivée de la fonction sinus.

PARTIEA

On a représenté sur la figure suivante la courbe de la fonction sinus f :x7→ sinxsur l’intervalleh

0;π 2

iet sa tangente au point d’abscisse 0.

On peut obtenir à l’aide d’un logiciel de géométrie que cette tangente ait pour équationy=x.

0.5

1)Que peut-on conjecturer pour le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 ?

2)Déterminer le taux d’accroissement de la fonction si-nus en 0.

3)Pour démontrer le résultat conjecturé en 1), il faut étudier le quotientsinx

x .

SoitC le cercle trigonométrique de centreO. SoitMle point deC tel que# »

1)Que valent les aires du secteur circulaireOIM, des trianglesOIMetOIT?

2)Justifier que1

2sinx≤ x 4)En déduire que lim

x0

sinx

x =1. Conclure.

PARTIEB

En traçant les tangentes à la courbe de la fonction sinus enO,A,B,CetD, on a pu remplir le tableau suivant :

1)Que peut-on conjecturer pour la dérivée de la fonc-tion sinus ?

2)Déterminer le taux d’accroissement de la fonction si-nus entrexetx+h.

3)Transformer l’expression précédente à l’aide des for-mules d’addition.

4)On a démontré que lim

x0

sinx

x = 1 à la partie A.

Remplir le tableau de valeurs suivant et conjecturer

hlim0

5)En déduire la fonction dérivée de la fonction sinus.

32 On considère un système masse-ressort horizon-tal, accroché à un support, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Position au repos :

0 x +

On écarte le mobile de 1 cm par rapport à la position au repos . . .

. . . et on le lâche. Le ressort induit alors une oscillation du mobile :

etc. . .

On notex(t)(en cm) l’abscisse du mobile en fonction du temps (en s). Un relevé des positions du mobile nous donne la courbe suivante, représentant x en fonction det.

0 1

1

t x

Par exemple, pour t = 0 s on a x(0) = 1 cm, pour t ≈ 0, 78 s on ax(0, 78) = 0 cm, pour t ≈ 1, 55 s on ax(1, 55) =−0, 86 cm.

1)Représenter graphiquement la droite permettant de lire la vitesse moyenne (en cm·s−1) entre les instants t = 0 s ett ≈ 1, 55 s puis calculer la valeur de cette vitesse.

2)Représenter graphiquement les droites permettant de lire les vitesses instantanées aux instants suivants puis donner des valeurs approchées de ces vitesses instantanées :

a)t=1, 55 s ; b)t=3, 93 s.

3)Comment interpréter une vitesse négative ?

33 On considère le trapèze ABDCrectangle enAet tel queAB=4 etAC=3 représenté ci-dessous :

A B

C D

On cherche à déterminer par trois méthodes différentes, pour quelle(s) mesure(s) de [CD], les droites (CB)et (BD)sont perpendiculaires.

PARTIEA : Avec des équations de droites

On se place dans le repère orthonormé

A; 1 4

−→AB,1 3

−→AC

.

1)Déterminer l’équation de la perpendiculaire à(CB) passant parB.

2)En déduire les coordonnées de D puis la distance CD.

PARTIEB : Avec des coordonnées et le produit scalaire

On se place toujours dans le repère orthonormé

A; 1 4

−→AB,1 3

−→AC

et on considèreD(x; 3).

1)Exprimer−→BC·−→BDen fonction dex.

2)En déduire les coordonnées de D puis la distance CD.

PARTIEC : Avec des décompositions de vecteurs 1)Développer−→BA+−→AC

·−→BA+−→AC+−→CD . 2)En déduire−→BC·−→BDen fonction deCD.

3)Conclure.

34 SoitABCDun carré de côté 1 etMun point libre sur le segment[AB]. On place le point Nsur la demi-droite [BC) de telle sorte que CN = AM. La droite (MN)coupe[CD]enP.

Où placer le point M pour que la longueur CP soit maximale ? Mun point mobile surP, d’abscissex.

1)Déterminer une expression deAMen fonction dex.

2) a)Justifier qu’il suffit de déterminer les variations de x 7→ AM2 pour en déduire les variations de x7→ AM.

b)Déterminer les variations dex7→AM2surR. c) En déduire que les deux points M1(1; 1) et

M2(−1; 1)minimisent la distanceAM.

3) a)Déterminer les équations des droitesT1etT2, tan-gentes àPrespectivement aux pointsM1etM2. b)Déterminer, s’il existe, leur point d’intersection.

c) Que peut-on dire de(AM1)et T1? de (AM2)et T2?

4)On considère à partir de maintenant que le pointAa pour coordonnées(0;a),a≥0.

a)En étudiant les variations dex 7→ AM2, démon-trer que sia > 1

2, il existe deux points M1et M2

minimisant la distance AMdont on donnera les coordonnées et que sia≤ 1

2, il n’existe qu’un seul pointM0dont on donnera aussi les coordonnées.

b)On se place dans le cas oùa> 1 2.

Déterminer les équations des droites T1 et T2, tangentes à P respectivement aux points M1 et M2puis, s’il existe, leur point d’intersection. Que peut-on dire de(AM1)etT1? de(AM2)etT2? c) On se place dans le cas oùa≤ 1

2.

Déterminer l’équation deT0, tangente àPenM0. Que peut-on dire de(AM0)etT0?

36 Dans un repère orthonormé

O;−→i ,−→j

, on consi-dère les pointsA(3; 1)etB(−6; 4).

1) a)Déterminer une équation deC1, le cercle de centre Aet de rayon 5.

b)DéterminerCetD, les points d’intersection deC1 et de l’axe des ordonnées.

On appelleraCle point d’ordonnée positive.

2) a)Déterminer une équation deC2, le cercle de dia-mètre[OB].

b)Déterminer les coordonnées deE, le point d’inter-section deC2et de l’axe des abscisses distinct de O.

3) a)Déterminer une équation de la hauteur issue deC dans le triangleCDE.

b)Justifier que l’axe des abscisses est une hauteur de CDE.

c) Déterminer les coordonnées de l’orthocentreHde CDE.

4) a)SoitIle milieu de[CD]. Déterminer une équation de la médiane issue deEdans le triangleCDE.

b)Déterminer les coordonnées de G, point d’inter-section des médianes du triangleCDE.

5) a)Démontrer queP

−7 4; 1

est le centre du cercle circonscrit au triangleCDE.

b)Démontrer que les pointsH,GetPsont alignés.

37 Le bon échantillon

PARTIEA

Des études très complètes ont montré que 3,25 % de la population française apprécient Justin Bieber.

On prélève un échantillon de 200 personnes dans la po-pulation française (celle-ci est assez grande pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise) et on appelleXla variable aléatoire donnant le nombre de personnes appréciant Justin Bieber dans cet échantillon.

1)Justifier queXsuit une loi binomiale dont on préci-sera les paramètres.

2)DonnerP(X=7).

3)Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 10 per-sonnes appréciant Justin Bieber dans cet échantillon.

PARTIEB

On appelle F = X

200 la variable aléatoire donnant la fréquence de personnes appréciant Justin Bieber dans l’échantillon de 200 personnes de la partie précédente.

1)Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % deF.

2) a)Dans un échantillon de 200 personnes, 22 appré-cient Justin Bieber. Que peut-on en penser ? b)Imaginer un contexte expliquant ce résultat.

38 Pour la rentrée de septembre, la société TEXASIO a lancé un nouveau modèle de calculatrice, la T1000.

1) a)Par ailleurs, TEXASIO a demandé aux vendeurs de « pratiquer des tarifs attractifs ».

Le directeur de la société, M. Texasio, s’est rendu dans dix grandes surfaces et y a relevé les prix en euros de la T1000. Il a obtenu :

49,90 ; 49,90 ; 49,90 ; 49,90 ; 48,90 ; 50 ; 49,90 ; 50 ; 50,90 ; 48,90.

Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette sé-rie des prix en grande surface.

b)Arnold, le fils de M. Texasio, fait la même vérifi-cation à l’aide d’un comparateur de prix sur inter-net. Sur les huit sites comparés, il obtient :

Prix 46,90 49,90 69,90

Nombre de sites 4 3 1

Déterminer la moyenne et l’écart-type de cette sé-rie des prix sur internet.

c) D’après les deux questions précédentes :

les prix sont-ils plus élevés en grande surface ou sur internet ?

les prix sont-ils plus homogènes en grande sur-face ou sur internet ?

2) a)Calculer le couple médiane-écart interquartile pour chacune des deux séries précédentes.

b)D’après la question précédente :

les prix sont-ils plus élevés en grande surface ou sur internet ?

les prix sont-ils plus homogènes en grande sur-face ou sur internet ?

3)Commenter et expliquer les résultats des questions 1.c et 2.b.

39 Une question parlementaire

1)Le parlement européen est constitué de 751 députés venant des 28 différents états-membres de l’Union européenne. La répartition des députés par pays est donnée dans le tableau ci-dessous :

Nombre de députés 6 8 11 13 17 18

Nombre de pays 4 2 3 3 1 1

20 21 26 32 51 54 73 74 96

1 5 1 1 1 1 2 1 1

Déterminer la médiane, les quartiles Q1 et Q3, la moyenne et l’écart-type de la série du nombre de dé-putés par pays.

2)La chambre des représentants des États-Unis est constituée de 435 représentants issus des 50 états américains. Les indicateurs de la série du nombre de représentants par état sont :

min=1,Q1=3, médiane=6,Q3=10, max=53, moyenne=8, 7 et écart-type≃9, 5.

a)Tracer sur le même graphique les diagrammes en boîte des séries du nombre de députés européens par pays de l’Union européenne et du nombre de représentants par état des États-Unis (on prendra pour unité 1 cm pour 10 députés ou représen-tants).

b)Dans laquelle de ces deux institutions y a-t-il glo-balement le plus de représentants par état ? 3)Le coefficient interquartile relatif est défini par

écart interquartile

médiane et permet de mesurer la disper-sion d’une série.

a)Calculer les coefficients interquartiles relatifs des deux séries.

b)Laquelle est la plus homogène ?

c) Cela était-il prévisible en observant les dia-grammes en boîtes ? Expliquer pourquoi.

4)Le coefficient de variation est défini par écart-type moyenne et permet lui aussi de mesurer la dispersion d’une série.

a)Calculer les coefficients de variation des deux sé-ries.

b)Les résultats confirment-ils la réponse à la ques-tion 3.c ?

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