45 Soientuetvles suites définies pour tout entier na-tureln, par :
2)Soit(wn)la suite définie pour tout entier natureln parwn=un+vn.
Démontrer que(wn)est constante.
46 Une balle rebondissante est telle que chaque re-bond a une hauteur égale à 80 % du rere-bond précédent.
1)Si on appellehnla hauteur en cm dun-ième rebond, montrer que(hn)est une suite géométrique.
2)Étudier les variations de cette suite.
3)Au bout de combien de rebonds sa hauteur sera-t-elle inférieure au cinquième de sa hauteur initiale ?
S’entraîner
47 Un peu d’écologie
On jette chaque année 160 kg de déchets dans un bois.
On estime que 20 % de la totalité des déchets présents se dégradent.
On note un la quantité de déchets présents l’année 2014+n, sachant qu’en 2014 un grand nettoyage du bois a été effectué et que l’on suppose donc queu0 =0.
1)Montrer queun+1=0, 8un+160 pour tout entier na-tureln.
2)Construire les six premiers termes de la suite (un) (échelle : 1 cm pour 50 kg sur les deux axes).
3)Conjecturer le sens de variations ainsi que la conver-gence de la suite.
4)Que peut-on en déduire quant à l’évolution de la quantité de déchets dans ce bois ?
48 On considère la suite(un)définie par tout entier naturelnparu0=5 etun+1= 6un+4
un+9. Soitvla suite définie surNparvn= un+4
un−1.
1)Démontrer que la suitevest géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2)En déduire l’expression devnen fonction den.
3)Exprimerunen fonction devnet en déduire l’expres-sion deunen fonction den.
4)Étudier les variations de la suite(un).
49 CALC
On considère la suite(un)définie par tout entier naturel nparu0=1 etun+1= 9
6−un.
1)À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de va-riations de la suite(un)ainsi que sa limite éventuelle.
2)On considère la suite (vn)définie pour tout entier naturelnparvn= 1
un−3.
3)Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison−1
3.
4)En déduire l’expression devnpuis deunen fonction den.
5)Étudier les variations de la suite(un).
50 Concentration d’un réactif en chimie ALGO
Lors d’une réaction chimique, on étudie l’évolution de la concentration en mol.L−1d’un dérivé chloré.
Pendant 1,5 heures, on a relevé la concentration du dé-rivé chloré et obtenu le tableau ci-après.
ten min 0 10 20 30 40 50 60
Concentration
en mol.L−1 0,500 0,357 0,277 0,227 0,192 0,167 0,147
On souhaite modéliser cette situation de façon à estimer l’évolution de la concentration. On notecnla concentra-tion du dérivé chloré à l’instantn(en minutes).
L’observation des données relevées conduisent à conjecturer quecn+1−cnest proportionnel àcn2. On obtient ainsic0=0, 5 etcn+1=cn−0, 08cn2. On utilise l’algorithme ci-dessous.
1. Liste des variables utilisées 2. n : entier naturel 3. c et A : réels 12. Fin tant que
13.Affichage 14. Afficher n
1)Quelle valeur est affichée en sortie pour A = 0,2 ? Pour A = 0,1 ?
2)Expliquer le rôle de cet algorithme.
51 Filtre lumineux
En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lu-mineux perd 23 % de son intensité lumineuse.
On superposenplaques de verre identiques et on note inl’intensité du rayon à la sortie de lan-ème plaque ex-primée en candela.
1)i0étant l’intensité lumineuse du rayon avant son en-trée dans la première plaque de verre eti1l’intensité à la sortie de cette plaque de verre, exprimer i1 en fonction dei0.
2)Étude de la suite(in)
a)Quelle est la nature de la suite(in)? b)Exprimerinen fonction denet dei0. c) Étudier les variations de la suite(in).
S’entraîner
3)Déterminer l’intensité initiale d’un rayon dont l’in-tensité après avoir traversé 4 plaques teintées est égale à 15 candelas.
4)Combien faut-il au minimum qu’un rayon traverse de plaques pour que son intensité lumineuse soit di-visée par 5 ?
ALGO CALC 52 Disparition de la pie bavarde
La pie bavarde est une espèce existant en Alsace. On comptait 270 pies dans une réserve naturelle en 2001.
Une étude a révélé que la population de pies diminuait de 10 % chaque année.
On notera dans la suite de l’exercice pn le nombre de pie l’année 2001+n.
1) a)Déterminer la nature de la suite(pn).
b)Écrirepnen fonction den.
c) Dresser une table de valeurs de la suite(pn)sur la calculatrice.
2)En 2010, il y avait 105 pies dans la réserve. Cette don-née est-elle cohérente avec le modèle proposé ? 3)On considère l’algorithme ci-dessous.
1. Liste des variables utilisées 2. n : entier naturel 3. p : réel
4. Entrées
5. Affecter à n la valeur 0 6. Affecter à p la valeur 270 7. Traitements
8. Tant que p ≥ 1 faire
9. Affecter à p la valeur 0,9p 10. Affecter à n la valeur n + 1 11. Fin tant que
12.Affichage
13. Afficher 2001 + n
a)Expliquer le rôle de l’algorithme.
b)Quelle valeur est obtenue en sortie ?
c) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exer-cice.
53
1)Démontrer qu’une suite géométrique de premier termeu0 >0 et de raisonq>1 est croissante.
2)Démontrer qu’une suite géométrique de premier termeu0 <0 et de raison 0<q<1 est croissante.
3)Démontrer qu’une suite géométrique de premier termeu0 ∈ R∗et de raison q < 0 n’est pas
1)Compléter l’algorithme suivant afin qu’il calcule et affiche les 10 premiers termes de la suite(un).
1. Liste des variables utilisées 2. n est un entier naturel 3. u est un réel
4. Entrées
5. Affecter à u la valeur ...
6. Affecter à n la valeur ...
7. Traitements
8. Afficher la variable u 9. Pour n allant de ... à ...
10. Affecter à u la valeur ...
11. Afficher la variable u 12. Fin tant que
2)En utilisant cet algorithme ou la calculatrice, conjec-turer le sens de variations de la suite (un) et son éventuelle limite.
3)Peut-on étudier les variations de la suite(un)à l’aide de la formule de récurrence ?
4)Démonstration des variations à l’aide d’une suite auxiliaire
On considère la suite(vn)définie surNpar : vn=un−3.
a)Calculer à la mainv0etv1.
b)Déterminer la nature de la suite(vn).
c) En déduire la formule explicite de vn puis celle deun.
d)Étudier la monotonie de la suite(un).
Approfondir
55 On considère la suite(wn)définie, pour tout en-tier natureln, parwn= n+2(−1)n
n+2 .
1) a)Déterminer l’expression dewnpour les entiers na-turelsnpairs.
b)Déterminer l’expression dewnpour les entiers na-turelsnimpairs, puis simplifier l’expression.
2)Soient(pn)et(in)les suites définies, pour tout entier natureln, parpn=w2netin=w2n+1.
a)Donner l’expression depnen fonctionden.
Que remarque-t-on ?
b)Exprimerin etin+1 en fonction den. En déduire que la suite(in)est croissante.
3)Que peut-on dire sur la monotonie de(wn)? ALGO CALC 56 Vers le BAC
On considère la suite(un)définie pour tout entier natu-relnnon nul par son premier termeu1=2 et la relation de récurrenceun+1= (n+1)un+n−1
2n .
PARTIEA : Algorithme et conjecture
1)Écrire un algorithme permettant de calculer et d’affi-cher les 20 premiers termes de la suite(un).
2)À l’aide de cet algorithme ou de la table de valeurs de la calculatrice, conjecturer le sens de variations et la convergence de la suite(un).
PARTIEB : Suite auxiliaire
On considère la suite(vn)définie pour tout entier natu-reln≥1 parvn= un−1
n .
1)Montrer que(vn)est géométrique.
2)Écrirevnen fonction den.
En déduire le sens de variations de la suite(un).
ALGO INFO 57 Conjecturer pour démontrer
On considère la suite(un)définie pour tout entier na-turelnpar son premier termeu0 = 1 et la relation de récurrenceun+1=un+6n+5.
1)Compléter l’algorithme suivant permettant de calcu-ler lesnpremiers termes de la suite oùnest fixé par l’utilisateur.
1. Liste des variables utilisées 2. n : entier naturel
3. u : réel
À l’aide de cet algorithme, on obtient la table de va-leurs suivante.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
un 1 6 17 34 57 86 121 162 209 262
2)On a représenté graphiquement les points de coor-données(n; un)pournallant de 0 à 9 ci-dessous.
a)Conjecturer le sens de variations de la suite(un) puis démontrer cette conjecture.
b)L’allure parabolique de cette représentation gra-phique permet de conjecturer que la forme expli-cite de la suite(un)s’écrit :
un=an2+bn+c oùa,betcsont trois réels eta6=0.
Approfondir
En utilisant les valeurs deu0,u1etu2fournies par la table de valeurs, déterminer les valeurs dea,b etc.
3)Étude d’une suite auxiliaire
Soit(dn)la suite définie surNpardn=un+1−un. a)Démontrer que la suite(dn)est arithmétique.
b)CalculerSn= ∑n
i=0dn=d0+d1+...+dn. c) En remarquant que :
Sn= (u1−u0) + (u2−u1) +...+ (un+1−un) et en simplifiant cette expression, déterminer l’ex-pression deun+1en fonction den.
d)En déduire l’expression deunen fonction den.
58 Achille et la tortue INFO
ou le paradoxe de Zénon
Le philosophe grec Zénon raconte qu’un jour, le héros grec Achille a disputé une course contre une tortue.
Achille avait accordé 100 mètres d’avance à la tortue ré-putée très lente.
Zénon énonça qu’Achille ne peut rattraper la tortue car, pendant qu’Achille court jusqu’au point où a démarré la tortue, l’animal avance, de telle sorte qu’Achille ne peut jamais la rattraper.
1)Intuitivement, le fait qu’Achille ne rattrape jamais la tortue vous paraît-il correct ?
2)En modélisant la situation, nous allons justifier que le raisonnement précédent est faux.
Pour cela, nous allons considérer qu’Achille courait à 10 m.s−1(proche du record du monde actuel) et la tortue à 0,1 m.s−1.
On noterad0l’avance de la tortue,d1la distance par-courue par la tortue pendant qu’Achille parcourt la distance d0, d2 la distance parcourue par la tortue pendant qu’Achille parcourt la distanced1et de ma-nière générale,dnla distance parcourue par la tortue pendant qu’Achille parcourtdn−1pour toutn∈N∗. On noteratnle temps nécessaire à Achille pour par-courir la distancedn.
a)Déterminert0puisd1,t1etd2.
b)Justifier que pour tout entier natureln: tn+1= 1
100tn.
c) En déduire la nature de la suite(tn)et l’expression detnen fonction den.
d)Exprimer alors ∑n
k=0tk = t0+t1+...+tnen fonc-tion den.
e)Selon Zénon, il faut une infinité d’étapes pour rat-traper la tortue. À l’aide de la copie d’écran d’un logiciel de calcul formel ci-dessous, montrer que Zénon se trompe.
La situation décrite par Zénon apparaît comme un paradoxe si l’on croit que la somme d’une in-finité de nombres positifs est infinie. Mais ce n’est pas le cas, comme on vient de le voir !
59 Gestion de stock ALGO
dans une bibliothèque
On reprend la situation de l’activité 1 page 132.
Début 2014, une bibliothèque dispose de 30 000 ou-vrages. Elle change de locaux et va dorénavant pou-voir stocker jusqu’à 100 000 ouvrages. Chaque année, la commune achète 3 000 nouveaux livres à la biblio-thèque. Les bibliothécaires décident de se débarrasser chaque année de 5 % des ouvrages, trop abîmés.
Écrire un algorithme déterminant en quelle année le stock aura dépassé les 100 000 ouvrages.
60 La « hauteur » d’un son est liée à sa fréquence.
Plus celle-ci est élevée, plus le son est aigu. Lorsque l’on multiplie la fréquence d’une note de musique par 2, on obtient une note portant le même nom séparé par un in-tervalle sonore appelé octave. Chaque octave comporte les notesdo,ré,mi,fa,sol,laetsi.
Le violoncelle possède des cordes de longueur L = 70 cm. Le joueur a la possibilité de réduire la longueur de la corde en appuyant sur le manche de l’instrument.
La gamme de fréquences d’un violoncelle va approxi-mativement de 65 Hz à 1 000 Hz.
Sachant que le do, correspondant à une des cordes à vide, a une fréquence de 65,4 Hz, quelles sont les fré-quences des différents do audibles sur cette corde ?
Approfondir
61 On considère la suiteudéfinie pour tout entier na-turelnpar :
u0=1
un+1=un+4n+3.
1)Démontrer que la suiteuest strictement croissante.
2)On admet que lim
n→+∞un= +∞.
3)Écrire un algorithme déterminant, pour un réel A, à partir de quelle valeur denon aun≥A.
INFO ALGO 62 Tapis de Sierpinski
On décompose un carré de 81 cm de côté en 9 carrés comme ci-dessous dans la figure 1. On noircit le carré central. Puis les 8 carrés restants sont divisés en 9 car-rés. Dans ces 8 carrés, on noircit le carré central et ainsi de suite. . .
Étape 0 Étape 1 Étape 2
PARTIEA : Aire non noircie
Soit(An)l’aire non noircie du carré à l’ordren.
1)CalculerA0,A1,A2.
2)Trouver une relation liant An+1et Anpour tout en-tiern.
3)À l’aide d’un tableur ou d’un algorithme, conjecturer la limite de la suite(An).
4)Que peut-on en déduire ?
PARTIEB : Périmètre de la surface non noircie Soit(Pn)la somme des périmètres de tous les carrés à l’ordren(blancs et noirs)
1)CalculerP0,P1,P2.
2)Trouver une relation liantPn+1etPnpour tout entier natureln.
3)À l’aide d’un tableur ou d’un algorithme, conjecturer la limite de la suite(Pn).
4)Que peut-on en déduire ?
63 CALC
Une ligne de transmission est un ensemble de nom-breuses cellules conductrices (n) acheminant un signal électrique d’une source (émetteur) vers une charge (ré-cepteur).
On s’intéresse à la valeur efficace de la tension à l’entrée de lan-ième cellule, notéeunsachant qu’à la source, la valeur de la tension efficace est u0 = 10 V, et que le passage dans une cellule multiplie la valeur efficace de la tension par 0,95 (cette valeur est appelée transmit-tance).
1)Exprimer un+1 en fonction de un, puis en fonction den.
2)À l’aide de la table de la calculatrice, conjecturer la valeur de la tension efficace lorsque le nombre de cel-lules tend vers l’infini.
3)On réalise à l’aide d’un circuit sommateur, un circuit dont la tension en sortie est la somme des valeurs successives deukpourkvariant de 1 àn, notéeSn. a)ExprimerSnen fonction den.
b)À l’aide de la table de la calculatrice, conjecturer la valeur de la tension en sortie avec le circuit som-mateur lorsque le nombre de cellules tend vers l’infini.
64 ALGO
On considère la suite(un)définie pour tout entier natu-relnnon nul par :
1)Calculer à la main les quatre premiers termes de la suite(un).
2)Étudier la monotonie de la suite(un).
3)n étant un entier naturel non nul, écrire un algo-rithme qui calcule lesnpremiers termes de la suite (un).
4)Conjecturer la limite éventuelle de la suite(un).
5)Écrire un algorithme permettant de déterminer un seuilN(entier naturel non nul) tel que pour tout en-tiern≥ N,un≥103.
Je teste mes connaissances
À la fin de ce chapitre, je dois être capable de :
Étudier
◮ la monotonie d’une suite
◮ une suite à l’aide d’une suite auxiliaire Déterminer
◮ le sens de variations d’une suite arithmétique ou géométrique
Conjecturer
◮ la limite d’une suite à l’aide d’une table de valeurs ou d’une représentation graphique
QCM d’auto-évaluation
Des ressources numériques pour préparer le chapitre surmanuel.sesamath.net
@
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes.
65 La suite(un)définie pour tout entier naturelnparun= 2n−3 n+4 est :
a croissante b décroissante c non monotone
66 La suite(un)définie pour tout entier naturelnpar
u0=5 un+1= 3
2un est :
a croissante b décroissante c non monotone
67 La suite(un)définie pour tout entier naturelnnon nul parun= 3
n−1 est :
a croissante b décroissante c non monotone
On considère la suite(un)définie pour tout entier naturelnparun=5−2n.
68 La suite(un)est une suite :
a arithmétique b géométrique c ni arithmétique ni géométrique
69 La suite(un)est une suite :
a croissante b décroissante c non monotone
70 Quelle semble être la limite de cette suite ? a lim
n→+∞un= +∞ b lim
n→+∞un=−∞ c (un)n’a pas de limite
On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnparvn=3+2n. 71 La suite(vn)est une suite :
a arithmétique b géométrique c ni arithmétique ni géométrique
72 La suite(vn)est une suite :
a croissante b décroissante c non monotone
73 La feuille de tableur ci-dessous calcule des termes de la suite(vn).
Quelle formule a-t-on entré en C2 ?
a =3+2ˆC1 b =3+2ˆB2 c =3+2∗C1 d =3+2∗B2
74 À l’aide de la feuille de tableur ci-dessus, on conjecture que : a lim
n→+∞vn=3 b (vn)n’a pas de limite c lim
n→+∞vn =1 d lim
n→+∞vn= +∞
On considère la suite(wn)définie parw0=4 etwn+1=−2wn+3 pour toutn∈N. 75 La suite(wn)est une suite :
a arithmétique b géométrique c ni arithmétique ni géométrique
76 La suite(wn)est une suite :
a croissante b décroissante c non monotone
77 Soit(tn)la suite définie pour tout n∈Npartn=wn−1.(tn)est une suite : a arithmétique de raison –1 c arithmétique de raison 3 b géométrique de raison−1 d géométrique de raison−2 78 L’expression dewnen fonction denest :
a wn=3n+4 b wn=3(−2)n−1 c wn=3(−2)n+1 d wn=3(−1)n+1 79 On considère une suiteudéfinie surN, strictement positive et décroissante. Alors :
a la suitevdéfinie surNparvn=−3unest croissante b la suitewdéfinie surNparwn= (un)2est croissante c la suitetdéfinie surNpartn= 1
un est croissante
Travaux pratiques
TP 1 Vitesse de convergence
INFOOn considère les suitest,u,vetwdéfinies pour tout entier naturel non nul par : tn= 1
n;un= 1
n2;vn= (0, 7)netwn= (0, 4)n.
1)Dresser un tableau de valeurs de chacune de ces suites à l’aide d’un tableur et conjecturer leur limite.
2)Étudier les variations de chacune de ces suites.
3)On admet dans la suite de l’exercice que ces quatre suites convergent vers 0.
Réaliser sur le modèle ci-dessous une feuille de calcul indiquant à partir de quel indicen0 les termes de ces suites sont inférieurs à un seuil fixé.
4)Recopier le tableau ci-dessous et le remplir à l’aide de la feuille de calcul.
Seuil t u v w
0,1 0,01 0,001 0,0001
5)Interpréter les résultats précédents en comparant les quatre suites étudiées.
TP 2 Évolution d’une population
INFOLe modèle de Verhulst est un modèle de croissance proposé par Pierre François Verhulst vers 1840. On s’intéresse à l’effectif d’une population d’insectes. L’effectif de la population, exprimé en millions d’individus, est approché pour l’annéenpar le nombreun.
On s’intéresse à une population qui reste inférieure à un million.
On admet que l’évolution de la population d’une année sur l’autre est donnée par le modèle de Verhultz suivant :
un+1= (a+1)un(1−un), aveca+ 1 le taux de reproduction.
On cherche à savoir comment se comporte la suite en fonction des valeurs dea.
Travaux pratiques
1)Pour chacun des cas suivants, sur un tableur, faire apparaître les 30 premiers termes de la suite et tracer sa représentation graphique.
a) a=0 etu0=0, 5 b)a=0, 9 etu0=0, 1 c) a=2, 5 etu0=0, 3
2)Décrire l’évolution de la population dans chacun des cas.
TP 3 Le flocon de Koch
INFOÉtape 0 :On considère un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 1 unité.
Étape 1 :On divise chaque segment en 4 segments demême longueurformant une ligne brisée.
Étapes suivantes :On recommence ce procédé en divisant chaque segment par quatre seg-ments de même longueur formant une ligne brisée.
À chaque étape, on obtient un polygone dont on va étudier l’aire et le périmètre.
1 Étude du périmètre de la figure
On appellepnle périmètre du polygone à l’étapen.
1)Déterminerp0,p1etp2. 2)Montrer quepn+1 = 4
3pnpour toutn∈N.
3)En déduire la nature de la suite(pn)et l’expression depnen fonction den.
4)Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
1 Limite (3× 4
3 n
,n, +infini) + infini
Traduire ce résultat dans le cadre du problème traité.
Travaux pratiques
2 Étude de l’aire de la figure
On appelleanl’aire du polygone à l’étapen.
1)Déterminera0,a1eta2. 2)Montrer quean+1=an+
√3
4×3n pour tout n∈N. 3)Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :
1 a(n+1)=a(n)+
√3
4×3n, a(0)=
√3 4 a(n)= 5√
3
8 −
√3 8
1 3
n−1
2 Limite(5√ 3
8 −
√3 8
1 3
n−1
,n, +infini) 5√
3 8
Traduire ces résultats dans le cadre du problème traité.
Helge Von Koch, mathématicien suédois du XXe siècle, a ainsi exposé à la communauté scientifique pour la première fois, un polygone dont le périmètre peut être aussi grand que l’on veut, mais dont l’aire tend vers 5√
3
8 en restant toujours inférieure à cette valeur.
Récréation, énigmes
Le flocon de Koch (étudié dans le TP3) est un exemple de fractale.
1)Rechercher la définition du mot fractale.
2)Des formes fractales sont observables dans la nature, en art et en mathématiques. . . En donner différents exemples.