30 MÉTHODE 5 p. 16
Donner le nombre de solutions des équations suivantes.
1)x2+x+1=0 3)1 31 Donner le nombre de solutions des équations sui-vantes suivant la valeur du paramètre réelm.
1)x2+mx+1=0 2)x2−2x+3m=0 32 Résoudre les équations suivantes.
1)x2+x−2=0 3)3 4x2+1
2x+3 8 =0 2)−3x2+2x−1=0 4)−3x2−1=0
33 Résoudre les équations suivantes.
1)−x2+3−4x=0 3)4x2+2x− 1 2 =0 2)x2+1
2x=0 4)x 4x2+x+1
=0 34 Factoriser, si possible, les trinômes du second de-gré suivants en un produit de polynômes de dede-gré 1.
1)x2+3x−4 3)3x2−3x+1
2)x2+4 4)−x2+4x
S’entraîner
35 Le nombreaest-il racine du trinômeP(x)? 1) a=1 P(x) =8x2−7x−1
2) a=0 P(x) =−x2+2x−1 3) a=−2 P(x) =x2−2x−4 4) a=2 P(x) =x2+x+2
36 ALGO
1)On souhaite écrire un algorithme qui détermine si le nombrezest solution de l’ équation du second degré ax2+bx+c=0.
1. Algorithme: Second degré 2. Liste des variables utilisées 3. a, b, c, z, t : nombre réels
15.Fin de l’Algorithme
2)Programmer cet algorithme avec un logiciel ou une calculatrice.
On souhaite trouver les solutions de l’équation : 2x2−80x+399=0.
Tester les trois nombres suivants : a)19
b)20 c) 21
3)Modifier l’algorithme précédent pour qu’il permette de vérifier si le nombre 2 est solution de l’équation de degré 3 :
x3+8x2−16x−8=0.
37 Résoudre les équations suivantes.
1) x2+3x−1=2x2+5x+2
38 Résoudre les équations suivantes.
1)(x−1)2=2(x+3)2 3) 1
On considère l’équation suivante qui dépend de la va-leur du paramètrem:
x2+3mx+9=0.
1) a)Avec la calculatrice, créer un programme qui dé-termine le nombre n de solutions de l’équation pour les valeurs demsuivantes.
m −3 −2 −1 0 1 2 3
n
b)Conjecturer le nombre nde solutions de l’équa-tionx2+3mx+9=0 suivant la valeur dem.
2)Résoudre l’équationx2+3mx+9=0 en se plaçant dans les différents cas de la question1) b).
40 Déterminer les racines des trinômes suivants.
1)1
1)À l’aide de la calculatrice, conjecturer les coordon-nées des éventuels points d’intersection dePet (d).
2)Déterminer par le calcul, s’il(s) existe(nt), le(s) point(s) d’intersection dePet (d).
42 CALC
Soit Pla parabole d’équationy = 2x2+x+4 et P′la parabole d’équationy=−x2−5x+1.
1)Conjecturer à l’aide de la calculatrice, le nombre de points d’intersection dePetP′.
2)Déterminer, par le calcul, le nombre de points d’in-tersection dePetP′.
3)En déduire les coordonnées des points d’intersection des parabolesPetP′.
43 La parabole P coupe l’axe des ordonnées en A(0 ; 3)et passe parB(1 ; −1)etC(3 ; 1). Déterminer son équation sous la formey=ax2+bx+c.
S’entraîner
44 À l’intérieur d’un jardin carré dont la longueur du côté est 10 mètres, un jardinier souhaite installer, le long du bord, une allée en graviers de largeur constante.
Comment faire en sorte que l’aire de l’allée soit égale à celle du carré intérieur ?
45 ALGO
1)On souhaite écrire un algorithme qui détermine le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2+bx+c=0.
1. Algorithme:Second degré 2. Liste des variables utilisées 3. a, b, c, D : nombre réels 4. Traitements
5. Demander a 6. Demander b 7. Demander c
8. Donner à D la valeur ...
9. Si ... alors
10. Afficher « l’équation a 2 solutions » 11. sinon si ...
12. Afficher « l’équation a 1 solution » 13. sinon
14. Afficher «...»
15. Finsi
16.Fin de l’Algorithme
2)Modifier l’algorithme précédent pour qu’il donne les solutions éventuelles de l’équation :
ax2+bx+c=0.
46 Un tennisman frappe droit devant lui une volée à 1 m du filet alors que la balle est à 0,9 m de hauteur en A. La balle franchit le filet enBà une hauteur de 1,1 m et atteint enCune hauteur maximale de 1,3 m.
La longueur d’un terrain de tennis est 23,77 m.
La balle sortira-t-elle du cours ?
1 1
0 A
B
C
47 Un designer doit réaliser un logo pour une en-treprise. Il veut créer la partie blanche de la figure ci-dessous, située à l’intérieur du demi-disque de mètre [BC] et à l’extérieur des demi-disques de dia-mètre [CM] et [MB] oùMest un point quelconque du segment [BC].
On aBC=10 cm et on posex=CM.
C M B
Le designer doit faire en sorte que l’aire de la partie blanche soit égale à la moitié de l’aire du demi-disque de diamètre [BC].
Comment doit-il positionner le pointM?
48 Plusieurs personnes se sont réunies pour fêter le Nouvel An. Chaque personne a apporté trois cadeaux à chacune des autres personnes.
Sachant que 468 cadeaux ont été distribués, combien de personnes étaient présentes à cette fête ?
S’entraîner
Inéquations du second degré
49 Soit Cf la courbe représentative ci-contre d’une fonction fdu second degré.
Résoudre graphiquement l’inéquation : 1) f(x)>0
2) f(x)≤2
1 1
0
C f
50 SoitCf etCg les courbes représentatives de deux fonctions du second degré f etg.
1 1
0
C f
Cg
1)Résoudre graphiquement :
a)f(x)≥0 b)f(x)> g(x)
2)Donner, à l’aide du graphique, la position relative des courbesCf etCg.
51 MÉTHODE 6 p. 18
Résoudre les inéquations du second degré suivantes dansR.
1)x2+x−2>0 3)2x2+3x≥0 2)−3x2+x−2≤0 4)2x2−8<0
52 Résoudre les inéquations du second degré sui-vantes surR.
1)1
2x2+7x−3>0 3)−2x2−9≥0 2)−3x2+4x+1≤0 4)2x2−4x<0
53 Résoudre les inéquations suivantes surI.
1)2x2+8x>4 I=R
2) x3−4x2+2x−1≤x3+3x2+2x+48 I=R 3) 1
x2−1− 1
x+1 <1 I=R\{−1 ; 1}
4) x2+x+1
x−4 ≥0 I=R\{4} 54 Résoudre les inéquations suivantes surR.
1) x2−4>3x I=R
2)2x2−x+1≤x2+3x−4 I=R 3) 1
x−4− 1 x−3 < 1
2 I=R\{3 ; 4} 4) x+1
2x2−5x−4 <0 I=R
55 Un carréABCDde côté 2 est partagé en deux par-ties en utilisant un pointEdu segment [AC].
Comment faire en sorte que l’aire du triangleDCEsoit supérieure ou égale à 3
2? 56 CALC
SoitCfetCgles courbes représentatives des fonctionsf etgdéfinies surRpar :
f(x) =x2−6x+2 et g(x) =−2x2−3x+8.
1)Conjecture
a)On étudie la variable booléenne {f(x) ≤ g(x)}
obtenue avecy . Elle vaut 1 siCf est en-dessous de Cg et 0 sinon. Entrer dans la calcula-trice les informations suivantes.
b)Que peut-on conjecturer sur la position relative des courbesCf etCg?
2)Étudier le signe de f(x)−g(x).
3)En déduire la position relative des courbesCf etCg.
Approfondir
57 Un pont est soutenu par un arc parabolique d’une portée de 200 m et d’une hauteur de 80 m. Le pont et
Quelle est la hauteur du pont ?
58 Soit xla longueur de l’arête du cube. Si on aug-mente de deux centimètres la longueur de l’arête d’un cube, son volume augmente alors de 2 402 cm3. Quelle est la longueur de l’arête de ce cube ?
59 Le directeur d’une salle de théâtre a remarqué qu’à 40 e la place, il peut compter jusqu’à 500 spec-tateurs et que chaque baisse de 2,50 elui amène 100 personnes de plus. On souhaite savoir combien il doit faire payer la place pour avoir une recette maximale.
1)Soit x le nombre de baisses du prix de la place de 2,50e.
a)Parmi les fonctions suivantes, choisir celle qui per-met de modéliser le problème.
f1(x) = (40+2, 5x) (500+100x) f2(x) = (40−2, 5x) (500+100x) f3(x) = (40+2, 5x) (500−100x) f4(x) = (40−2, 5x) (500−100x) b)Préciser son ensemble de définition.
2)En étudiant les variations de la fonction choisie, ré-soudre le problème.
60 Transformisme
L’objectif est de résoudre l’équation suivante : 1
x−1+ 1 x+1 =1.
1)Deux valeurs sont à exclure d’emblée de l’ensemble des solutions. Lesquelles ?
2)Montrer que cette équation équivaut à : (x+1) + (x−1) = (x−1) (x+1). 3)En déduire l’ensemble des solutions de l’équation.
61 Encore plus fort
On souhaite résoudre l’équation de degré 4 suivante :
2x4+x2−3=0. (1)
1)On poseX=x2. Quelle équation enXobtient-on ? 2)Résoudre l’équation obtenue. On note X1 et X2 ses
solutions.
3)En résolvantx2 = X1 puisx2 = X2, déterminer les solutions de l’équation (1).
4)En déduire que l’on peut écrire : 2x4+x2−3=2(x−1) (x+1)
x2+ax+b oùaetbsont des nombres à déterminer.
62 Somme et produit des racines
L’objectif est de démontrer et d’illustrer la propriété.
PROPRIÉTÉ
Un trinôme du second degré X2 −SX+P dont le discrimi-nant est strictement positif a deux racines x1 et x2 telles que b)En déduire, par unicité des coefficients d’un
poly-nôme du second degré, que l’on a le système sui-vant
Donner l’écriture d’un trinôme du second degré dont les racines sont :
a)2 et 3 b)1 et−4
3)Application 2
a)On considère l’équation du second degré suivante
x2−5x+6=0. (2)
Montrer que 2 est solution de l’équation(2).
En déduire la deuxième solution de l’équation(2) en résolvant le système (1).
b)On considère l’équationx2+x−2=0.
Trouver une solution évidente, puis en déduire la deuxième solution en résolvant le système(1).
Approfondir
63 Ni trop chaud, ni trop froid
Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes), on peut faire l’hypothèse que la relation du taux de croissance µ (en pourcentage du nombre d’individus par heure) de la population avec la températureT(en °C) de l’environnement est un po-lynôme du second degré.
Les valeurs des coefficientsa,bet cvont dépendre de l’espèce considérée.
Du point de vue de la biologie, on a nécessairement µ≥0.
On sait qu’il existe pour chaque individu un optimum de croissanceTopt, ainsi que des températures minimale T1 et maximaleT2 de croissance au-delà desquelles il n’y a plus de croissance. On noteµ(T) =a(x−α)2+β la forme canonique deµ.
1)Modélisation
2)Étude de la bactérieMethylosinus trichosporium On connaît approximativement Topt = 23 qui cor-respond à µ Topt
= 0, 012 soit une croissance du nombre d’individus de 1,2 % par heure etT1 =9.
a)En déduire la forme canonique deµ.
b)Quelle est la températureT2pour cette bactérie ? c) Si la population deMethylosinus trichosporiumest
composée de 300 individus, quelle sera la popula-tion à une température de 30 °C au bout de 12 h ? 64 CALC
On place une bille sphérique de rayonxcm dans un récipient cylin-drique de rayonR1=8 cm. On sou-haite savoir pour quelle(s) valeur(s)
du rayon x la bille affleure à la surface de l’eau si on verse le contenu d’un verre d’eau dans le récipient. Le verre d’eau a un rayon R2 = 4 cm et une hauteur h= 355
12 .
1) a)Quel volume d’eauVeest contenu dans le verre ? b)Quelle relation relie le volume d’eauVedu verre
et le volume de la billeV(x)pour que la bille af-fleure à la surface de l’eau ?
c) En déduire que x est solution de l’équation sui-vante
x3−96x+355=0. (1) 2)Pour résoudre l’équation précédente, on cherche si
elle possède une solution entière.
a)À l’aide la calculatrice, trouver la solution entière de l’équation (1).
b)On peut alors factoriser l’équation (1) sous la forme
(x−n)(ax2+bx+c) =0 (2) Déterminer les nombres a,bet cen développant puis en résolvant un système.
c) Résoudre l’équation(2).
d)Conclure sur la (ou les) valeur(s) du rayon de la bille pour qu’elle affleure à la surface de l’eau.
65 SoitABCun triangle rectangle enAtel que : AB=4 etAC=3.
On cherche la position du pointMsur le segment [BC]
telle que la distanceAMsoit minimale.
A B
C M
1) a)Préciser le repère orthonormé
R
dans lequel les pointsA,BetCont pour coordonnées respectives (0 ; 0), (4 ; 0) et (0 ; 3).b)Déterminer l’équation de la droite (BC) dans ce re-père.
c) Quelle relation peut-on en déduire pour les coor-données deM?
En déduire la distance AMminimale et les coor-données du pointMcorrespondantes.
c) Représenter le repère