A616 - Distribution inégale Solution de Fady Hajjar
Soit A1<A2<A3<…<Ak les âges des petits-enfants et Si la somme attribuée à l’enfant d’âge Ai.
Par hypothèse, on a : i, Si N*
Si+1= i x Si i>1 S1+S2+…+Sk = 2009
Ainsi, S1 + ( 1 x S1 )+ ( 1 x 2 x S1)+ ……+ ( 1 x 2x …x k x S1) = 2009 =>
S1 (1+ 1+ 1 2+ 1 2…. k) = S1 x Q1 = 2009 => Q1 =2009/S1 ON a Q1 = 1+ 1+ 1 2+ 1 2…. k = 2009 /S1 =>
1 x (1+ 2+ 2 3+ 2 3…. k) = 1 x Q2 = (2009 /S1)-1.
Donc 1 est un diviseur de (2009 /S1)-1. Ainsi de suite.
Pour balayer les possibilités on part du fait que S1, diviseur de 2009, ne peut prendre que les valeurs suivantes :
1, 7, 41, 49, 287.
On vérifie rapidement que si tous les i sont égaux à 2 et 1=1, i=2009 => on atteint le maximum de k qui est donc < 11. Intuitivement, le maximum de k est atteint pour les plus petites valeurs de S1 et les plus petits i possibles.
La vérification manuelle est à portée.
1) S1 = 287 => Q1 = 7=> 1 x Q2 = 6 => 1 = 2 => Q3 =2 => 2 = 2 et k= 3
2) S1= 49 => Q1= 41=> 1 x Q2 = 40. Si 1 = 4 => 2Q3 =9 => 2 = 3 et 3=3 donc k= 4 ; (A noter si 1 = 2, 2Q3 =19 donc k=3 ; de même si 1=8, k=3)
3) S1= 41 => Q1= 49 => 1 x Q2 = 48. Si 1 = 4 => 2Q3 =9 => 2 = 3 et 3=3 donc k= 4 (A noter si 1=8, 2Q3 =5 => 2=5 et k= 3 ; de même si 1 = 2, 2Q3 =23 donc k=3)
4) S1= 7 => Q1 = 287=> 1 x Q2 = 286=2 x 143 Si 1 = 2 => 2Q3 =142 =2x 71
Si 2 = 2 => 3Q4 =70 =2x 35 Si 3 = 2 => 4Q5 =34
Si 4 = 2 => 5Q6 =16
Si 5 = 2 => 6Q7 =7 => 6 = 7 (A noter si 5 = 4, 6 = 3) On a k=7
On vérifie aisément que pour des valeurs de i différentes possibles (ex 3 =5
=> 4Q5 =13 donc k=5) on ne dépasse jamais k=7.
5) S1 = 1 => 1 x Q2 = 2008 =8 x 251
5.1) 1 = 251 => 2Q3 =7, k=3
5.2) 1 = 2 => 2Q3 =1003 = 17x59 Si 2 = 17 => 3Q4 =58 =2x 29
Si 3 = 2 => 4Q5 =28 = 2x 14 = 4 x 7 Si 4 = 2 => 5Q6 =13 => k=6 Si 4 = 4 => 5Q6 =6 => 5 = 6 = 2 => k=7 De plus,
Si 2 = 59 => 3Q4 =16 (voir 4) => k=5
5.3) 1 = 4 => 2Q3 =501 = 3 x 167 Si 2 = 3 => 3Q4 =166 =2x 83 Si 3 = 2 => 4Q5 =82 =2x 41
Si 4 = 2 => 5Q6 =40 =2x 20 = 4x10 Si 5 = 2 => 6Q7 =19 => k = 7 Si 5 = 4 => 6Q7 =9
=> 6 = 3 et 7 = 2 => k=8
5.4) 1 = 8 => 2Q3 =250 = 2 x 125
Si 2 = 2 => 3Q4 =124 =2x 62 = 4x 31 Si 3 = 2 => 4Q5 =61 => k=5 Si 3 = 4 => 4Q5 =30 = 2x 15 = 3x 10 = 5x 6
Si 4 = 2 => 5Q6 =14=2x7 => 5 = 2 et 6Q7 =6 => 6 = 7 = 2 et k=8 Si 4 = 3 => 5Q6 =9=> 5 = 3, 6 = 3 et k = 7
Si 4 = 5 => 5Q6 =5 => k = 6
On en déduit que k=8 est le nombre maximum de parts pouvant être atteint.
Dans les 2 cas où k=8 on calcule les sommes remises à chaque enfant dans l’ordre croissant.
Cas 1 : 5.3)
1, 4, 12, 24, 48, 192, 576, 1152 La somme fait bien 2009
Cas 2 : 5.4)
1, 8, 16, 64, 128, 256, 512, 1024 La somme fait bien 2009
La somme maximale qui échoit à l’ainé est 1152 €.
