A616: Une distribution bien inégale
J'ai k petits-enfants d'âges différents auxquels je décide d'allouer généreusement une somme globale de 2009 €. Je constate que je peux distribuer à chaque enfant une somme entière d'euros qui est un multiple
> 1 de la somme reçue par tout enfant plus jeune que lui. Si j'avais un (k+1)ième petit-enfant, une telle règle serait impossible à appliquer. Que vaut k et quelle est la plus grande somme possible qui échoit à l'aîné ?
Soient a1, ..., ak les sommes allouées à chacun des enfants classés par âge croissant, et S=a1+...+ak =2009; on a donc a1<...<ak et si i<j, ai divise aj.
Il existe donc des entiers bi=ai/ai-1>1, pour 1<i≤k, et S=a1(1+b2(1+...(1+bk)...)
Ce qui permet de construire un algorithme de recherche des solutions admissibles: a1
(qui peut être égal à 1) est un diviseur de S ; si S2=S1/a1-1, b2>1 est un diviseur de S2, etc... , avec un nombre fini de possibilités.
Tous calculs faits on trouve que les plus longues solutions pour la suite a1, b2, ..., bk ont huit termes (donc huit petits-enfants), à savoir (1, 8, 2, 4, 2, 2, 2, 2) pour des sommes de 1, 2, 16, 64, 128, 256, 512 et 1024 €, et (1, 4, 3, 2, 2, 4, 3, 2) pour des sommes 1, 4, 12, 24, 48, 192, 576 et 1152 €, cette dernière attribuant une somme maximum à l’aîné.
La première correspond à l’écriture de S en base 2, qui est toujours une solution du problème.
