Enonc´e noA616 (Diophante) Une distribution bien in´egale
J’aikpetits-enfants d’ˆages diff´erents auxquels je d´ecide d’allouer g´en´ereuse- ment une somme globale de 2009 euros. Je constate que je peux distribuer
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a chaque enfant une somme enti`ere d’euros qui est un multiple > 1 de la somme re¸cue par tout enfant plus jeune que lui. Si j’avais un (k+ 1)i`eme petit-enfant, une telle r`egle serait impossible `a appliquer. Que vaut k et quelle est la plus grande somme possible qui ´echoit `a l’aˆın´e ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si le plus jeune enfant re¸coit c1 euros, le m-i`eme enfant (en comptant `a partir du plus jeune) recevrac1c2c3. . . cm euros, o`u les ck sont entiers, >1 quandk >1. La somme totale est
2009 =c1(1 +c2(1 +c3(. . .(1 +ck). . .))).
Il s’agit de trouver, parmi les d´ecompositions de cette forme du total 2009, celles qui maximisent k, et parmi celles-ci, celle qui maximise
c1c2c3. . . ck, somme revenant `a l’aˆın´e.
Cette derni`ere somme≥c12k−1 est major´ee par 2009 ;c1 est un diviseur de 2009, qu’il vaut mieux prendre aussi petit que possible, soit 1.
2009 s’´ecrit 11111011001 en base 2, soit
2009 = 1(1 + 8(1 + 2(1 + 4(1 + 2(1 + 2(1 + 2(1 + 2))))))) d’o`u une r´epartition `a 8 enfants, dont l’aˆın´e re¸coit 1024 euros : 2009 = 1 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024.
Mais on a aussi, pour 8 enfants
2009 = 1(1 + 4(1 + 3(1 + 2(1 + 2(1 + 4(1 + 3(1 + 2)))))))
2009 = 1 + 4 + 12 + 24 + 48 + 192 + 576 + 1152, l’aˆın´e re¸coit 1152 euros.
Les autres choix desck me donnent moins de termes.
Il y a donc 8 enfants et c’est la seconde r´epartition (de 1 `a 1152) qui r´epond au probl`eme.
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