A616. Une distribution bien inégale
Notons si la somme reçue par le petit-enfant de rang 1 6 i 6 k. En partic- uliersi est un multiple de si+1 pour tout1 6i6k−1, aussi considérons les entiersni+1 = ssi
i+1 > 2. Toutes les sommes peuvent ainsi s'exprimer en fonc- tion desk que nous noterons désormais s.Il s'agit donc de résoudre l'équation diophantiennes(1 +n2+n2n3+· · ·+n2. . . nk) = 2009.
Comme2009 = 72·41,nous avonss∈ {1,7,41,49,287,2009}.
Remarquons que1 +n2+n2n3+· · ·+n2. . . nk>1 + 2 + 2²+· · ·+ 2k−1= 2k−1.
D'où2009>s 2k−1
et donck610.
s 1 7 41 49 287 2009
k6? 10 8 5 5 3 1
En réécrivant la relation sous la forme 1 +n2(1 +n3(1 +. . .(1 +nk). . .)) =
2009
s ,il est aisé d'exhiber des exemples pour des valeursk comprises entre 1 et 8. Néanmoins pour montrer qu'il n'existe pas de cas où k ∈ {9,10}, il faut explorer exhaustivement l'arborescence du cass= 1.Donck= 8.
L'arborescence du cass= 7ne permet pas d'obtenirk= 8.En revanche, le cas s= 1permet d'obtenir de 2 façons le cas k= 8,mais l'aîné recevra 1024 dans l'une et 1152 dans l'autre.
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