Problème A527 – Solution de Jean Drabbe
Il n'est pas difficile de montrer que pour N = 101 , il n'existe aucun carré de la forme ab...mNx avec x = 0,1,4,5,6,9 .
Ceci résulte de l'impossibilité de carrés se terminant par
010 , 011 , 014 , 015 ou 019 (lorsque u = 0,1,2,3,5,7,8 ou 9 , le chiffre des dizaines de (10k + u)^2 doit être pair).
D'autre part, la terminaison 1016 est exclue car tout carré divisible par 8 est divisible par 16.
Comme 247^2 = 61009, il nous reste à établir que les valeurs 00 à 99 ne satisfont pas aux conditions de l'énoncé.
Proposition 1 - Pour u de 00 à 99 , l'ensemble des valeurs de
(10u + 2)^2 mod 1000 est de cardinal 50.
Démonstration – On a
(10u + 2)^2 ≡ (10v + 2)^2 mod 1000 ssi (u - v)*(5(u + v) + 2) ≡ 0 mod 50
Comme 5(u + v) + 2 ne peut être divisible par 5 , cette dernière congruence implique que 25 divise (u – v) . De plus, u et v ne peuvent être de parités différentes. Il faut donc que 50 divise (u – v) .
Proposition 2 - Pour u de 00 à 99 , l'ensemble des valeurs de
(10u + 4)^2 mod 1000 est de cardinal 50.
Démonstration – Analogue à celle donnée pour la proposition 1.
Un carré ne pouvant se terminer par les deux chiffres t4 où t est impair
t6 où t est pair
les propositions 1 et 2 montrent que les valeurs 00 à 99 ne peuvent être retenues.
CONCLUSION : N = 101
