Equivalence ´el´ementaire

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

Jean-Eric Pin

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris 7 Jean-Eric.Pin@liafa.jussieu.fr

11 octobre 2005

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Equivalence ´el´ementaire

Lerang de quantificationd’une formule est d´efini par r´ecurrence :

(1) r(ϕ) = 0siϕest atomique, (2) r(¬ϕ) =r(ϕ),

(3) r(ϕ∨ψ) = max{r(ϕ), r(ψ)}, (4) r(∃x ϕ) =r(∀x ϕ) =r(ϕ) + 1.

On dit que deux mots sont (´el´ementairement) n-´equivalents(notationu∼_nv) s’ils satisfont les mˆemes ´enonc´es de rang6n.

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L’´equivalence ´el´ementaire est d’index fini

On consid`ere un langage logique ne contenant aucun symbole de fonction et unnombre finide symboles de relations et de constantes. (par exemple,L={S} ∪ {a|a∈A})

Proposition

Etant donn´e unnombre finide variables, il n’y a, `a

´equivalence logique pr`es, qu’unnombre finide formules de rang6rutilisant ces variables.

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D´emonstration par r´ecurrence sur r

Casr= 0. Les formules atomiques sont de la forme x₁=x₂,x=c(o`ucest un symbole de constante) ouR(x<sub>1</sub>, . . . , x<sub>n</sub>)(o`uRest un symbole de relation).

Elles sont ennombre fini. Il y a donc aussi un nombre finide combinaisons bool´eennes de formules atomiques.

Der−1`ar. Les formules de rangrsont

combinaisons bool´eennesde formulesϕou∃x ϕ, o`u ϕest de rang< r, qui sont, par hypoth`ese de r´ecurrence, en nombre fini. Les formules de rangr sont donc ennombre fini.

Types (`a ´equivalence logique pr`es)

Soientϕ₁, . . . , ϕ_N les formules `anvariables de rang 6k. PourK⊆ {1, . . . , N}, on pose

τ_K =^

i∈K

ϕ_i∧^

i /∈K

¬ϕ_i (τ_K est untype)

Proposition

(1) Les types sontmutuellement exclusifs.

(2) Toute formule de rang6kennvariables est unedisjonctionde types.

Type de p

Sip∈Uⁿ, on appelletype depde rangnle type

τ = ^

U|=ϕ(p)

ϕ ∧ ^

U6|=ϕ(p)

¬ϕ AlorsU satisfaitτ(p)etr(τ)6n.

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Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

SoientU etV deux structures de domaine respectif U etV. Le jeuG_n(U,V)est un jeu `a 2 joueurs,I (s´eparateur, spoiler)etII (duplicateur). Les joueurs jouentncoups en suivant `a chaque tour les r`egles suivantes :

(1) Le joueurI choisitl’une des deux structures et choisit un´el´ementdans cette structure.

(2) Le joueurII choisit un´el´ementdansl’autre structure.

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Exemple

U

V

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Exemple

U

V

p₁

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Exemple

U

V

p₁

q₁

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Exemple

U

V

p1

q₁

p2

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Exemple

U

V

p1

q₁

p2

q₂

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Exemple

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

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Exemple

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃ p₃

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Exemple

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃ p₃

p₄

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Exemple

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃ p₃

p₄

q₄

Isomorphisme partiel

Soientp= (p1, . . . , p_n)(resp.q= (q1, . . . , q_n)) un n-uplet deU (resp.V). On dit que (p,q) d´efinit un isomorphisme partiel entreU etVsi :

(1) pour touti, j6n,

p_i=p_j ssiq_i=q_j, (2) pour touti6n, pour tout symbole de

constantec

p_i=cssiq_i=c,

(3) Pour tout symbole de relationk-aireRdeL, et pour toute suitei1, . . . , ik d’indices,

(pi1, . . . , p_ik)∈Rssi(qi1, . . . , q_ik)∈R.

Conditions de gain

Apr`esntours de jeu,n´el´ements ont ´et´e choisis dans les deux structures. Notonspetqlesn-uplets correspondants.

Cas sans constantes. Le duplicateur gagne le jeu G_n(U,V), si (p,q) d´efinit un isomorphisme partiel entreU etV.

Cas avec constantes. Soientc₁, . . . , c_ℓles symboles de constantes. Le duplicateur gagne le jeu Gn(U,V), si ((p,c),(q,c)) d´efinit un isomorphisme partiel entreU etV.

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) pi< pj ssiqi< qj

U

V

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) pi< pj ssiqi< qj

U

V

p₁

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) p_i< p_j ssiq_i< q_j

U

V

p₁

q₁

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) p_i< p_j ssiq_i< q_j

U

V

p₁

q₁

p₂

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) pi=pj ssiqi=qj

(2) p_i< p_j ssiq_i< q_j

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) pi=pj ssiqi=qj

(2) p_i< p_j ssiq_i< q_j

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) pi< pj ssiqi< qj

U

V

p₁

q1

p₂

q2

q3

p₃

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) pi< pj ssiqi< qj

U

V

p₁

q1

p₂

q2

q3

p₃ p₄

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Structures lin´eaires

SoientU etV deux ensembles totalement ordonn´es (ordres lin´eaires). Le duplicateur gagne si, pour tout i, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) p_i< p_j ssiq_i< q_j

U

V

p₁

q₁

p₂

q₂ q₃ p₃

p₄

q4

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Cas des mots (L = { S } ∪ { a | a ∈ A })

Soientuetvdeux mots.

(1) Le joueurI choisit l’un des mots (uouv) et pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueurII pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres de l’autre mot.

Soientp= (p1, . . . , pn)(resp.q= (q1, . . . , qn)) la suite des positions marqu´ees suru(resp.v). Le duplicateur gagne si, pour touti, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) S(p_i, p_j)ssiS(q_i, q_j) (3) api ssiaqi

Cas des mots (L = { < } ∪ { a | a ∈ A })

Soientuetvdeux mots.

(1) Le joueurI choisit l’un des mots (uouv) et pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueurII pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres de l’autre mot.

Soientp= (p1, . . . , p_n)(resp.q= (q1, . . . , q_n)) la suite des positions marqu´ees suru(resp.v). Le duplicateur gagne si, pour touti, j6n,

(1) p_i=p_j ssiq_i=q_j (2) p_i< p_j ssiq_i< q_j (3) apissiaqi

Structures lin´eaires (suite)

Si le duplicateur a une strat´egie gagnante pour le jeuG_n(U,V), on noteU ≡nV.

Th´eor`eme

SoientU etV deux ordres lin´eaires de taille>2^k. AlorsU ≡_kV.

◮Exercice `a r´ediger.

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Va-et-vient

On d´efinitpar r´ecurrenceune suite d’´equivalence sur les structures :

•U ≃₀VsiU etV v´erifient lesmˆemes formules atomiques.

•U ≃n+1V si

(1) Va. Pour toutp∈U, il existeq∈V tel que (U, p)≃n(V, q).

(2) Vient. Pour toutq∈V, il existep∈U tel que(U, p)≃_n(V, q).

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Jeux et ´equivalence ´el´ementaire

Th´eor`eme (Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht)

Deux structures relationnellesU etV sont n-´equivalentes ssi leduplicateura une strat´egie gagnante pour le jeuG_n(U,V).

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Version avec va-et-vient

Th´eor`eme (Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht)

SoientU etV deux structures relationnelles. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(1) U ∼nV(mˆemes ´enonc´es de rang 6n), (2) U ≡nV(Duplicateur gagne le jeuG_n(U,V)), (3) U ≃nV(´equivalence de va-et-vient)

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D´emonstration

On raisonne par r´ecurrence surn. Le casn= 0est

´evident. On suppose le th´eor`eme vrai jusqu’`an, on le prouve pourn+ 1.

(3)⇒(2). Supposons queIjouep∈U au premier coup. D’apr`es (3), il existeq∈V tel que

(U, p)≃n(V, q)et donc, d’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence,(U, p)≡n(V, q), i.e.IIgagne le jeu G_n((U, p),(V, q)).

Mˆeme raisonnement siIjoue surV au premier coup. Donc IIgagneGn(U,V).

(2)⇒(3). Mˆeme preuve.

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D´emonstration (suite)

(1)⇒(3). Supposons queU etVv´erifient les mˆemes ´enonc´es de rang6n+ 1. Montrons le cas Va(le casVientest similaire).

Soitp∈U et soitτ sontypede rangndansU. AlorsUsatisfaitτ(p)et donc aussiσ=∃x τ(x). Or r(σ) =r(τ) + 16n+ 1. D’apr`es (1),V satisfaitσ.

Il existe doncq∈V tel queVsatisfasseτ(q).

Comme les types sontmutuellement exclusifs,τ est letypedeqde rangndansV. Donc, pour tout

´enonc´eϕde rang6n,(U, p)satisfaitϕssi(V, q) satisfaitϕ. Donc, par r´ecurrence,(U, p)≃n(V, q).

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D´emonstration (fin)

(3)⇒(1). On veut montrer queU etV v´erifient les mˆemes ´enonc´es de rang6n+ 1. Un tel ´enonc´e est combinaison bool´eenne de formules de la forme

∃x ϕ(x), o`uϕest de rang6n.

SiU satisfait∃x ϕ(x), il existep∈U tel queU satisfasseϕ(p). D’apr`esVa, il existeq∈V tel que (U, p)≃n(V, q). Donc(U, p)∼n(V, q)et en particulier,V satisfaitϕ(p). DoncV satisfait

∃x ϕ(x).

La r´eciproque d´ecoule deVient.

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Une cons´equence du th´eor`eme de FE

On notePARIT´Ela propri´et´e d’ˆetre de taillepaire.

Th´eor`eme

PARIT ´En’est pas expressible au premier ordre pour les ordres lin´eaires finis.

Preuve. Supposons quePARIT´Es’exprime par une formuleϕde rang de quantificationk. Alors un ordre lin´eaire de taille2^k satisfaitϕmais un ordre lin´eaire de taille1 + 2^k ne satisfait pasϕ.

Contradiction.

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La connectivit´e d’un graphe

Th´eor`eme

Laconnectivit´ed’un graphe fini n’est pas expressible au premier ordre.

Prenons un ordre lin´eaire fini. La relation<permet de d´efinir les relationsS,minetmax. SoitRla relation d´efinie par R(x, y)ssiy=x+ 2(yestle successeur du successeur dex) oux= max−1et y= min, oux= maxety= min +1.

SoitGle graphe deR. AlorsGestconnexessi l’ordre lin´eaire est de tailleimpaire.