Soit P la parabole de foyer F et de sommet O . 1. On considère une fonction ϕ dénie dans R par :

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Énoncé

Un plan muni d'un repère orthonormé direct R = (O, ( − → i , − →

j )) . Dans ce plan, soit F et A les points respectivement de coordonnées (1, 0) et (1, − 2) .

Soit P la parabole de foyer F et de sommet O . 1. On considère une fonction ϕ dénie dans R par :

ϕ(t) = 1 + 4t + 2t ² + t ⁴

a. Factoriser ϕ(t) en produit de facteurs de degré 1 et 3 sachant qu'elle prend la valeur 0 en − 1 . On pourra utiliser des coecients indéterminés.

b. Montrer que ϕ s'annule deux fois dans R : en − 1 et en un certain α tel que

− 1 < α < 0 . On ne cherchera pas à préciser davantage ce réel α . 2. Former une équation cartésienne de P et vérier que A ∈ P.

3. Pour tout t ∈ R, soit M (t) le point de P d'ordonnée 2t . a. Former une équation de la tangente D t à P en M (t) .

b. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal N(t) de A sur la tangente D t . 4. Étude de la courbe paramétrée N . Le support de cette courbe est noté E.

a. Former les tableaux de variations des coordonnées de N . b. Préciser les branches innies.

c. Le point A appartient à E . Que peut-on dire de A ? Préciser un vecteur directeur de la tangente à E en ce point.

5. Soit t ₁ , t ₂ , t ₃ trois réels deux à deux distincts.

a. On considère trois points de coordonnées (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , (x 3 , y 3 ) . Montrer qu'ils sont alignés si et seulement si le déterminant suivant est nul

x ₁ y ₁ 1 x ₂ y ₂ 1 x ₃ y ₃ 1

= 0

b. Démontrer les expressions suivantes des déterminants :

1 t ₁ t ² ₁ 1 t ₂ t ² ₂ 1 t ₃ t ² ₃

= (t 3 − t 2 )(t 2 − t 1 )(t 3 − t 1 )

1 t ₁ t ³ ₁ 1 t ₂ t ³ ₂ 1 t 3 t ³ ₃

= (t ₃ − t ₂ )(t ₂ − t ₁ )(t ₃ − t ₁ )(t ₁ + t ₂ + t ₃ )

c. Montrer que N(t 1 ) , N (t 2 ) , N(t 3 ) sont alignés si et seulement si t ₁ t ₂ t ₃ − (t ₁ + t ₂ + t ₃ ) = 2

6. Soit t ∈ R \ {− 1, 1 } et ∆ t la tangente en N (t) à E.

a. Montrer que ∆ t ∩ E est constitué de N (t) et d'un unique autre point N(θ) . Ex- primer θ en fonction de t . Ce point est appelé tangentiel de N(t) .

b. Un point peut-il être confondu avec son tangentiel ?

c. Montrer que si trois points de E\{ N( − 1), N(1) } sont alignés alors leurs tangentiels sont alignés.

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Corrigé

Directrice

A F Foyer

M (t)

N (t)

E P

Fig. 1: Podaire d'un point de la parabole

1. a. On peut factoriser ϕ(t) en utilisant des coecients indéterminés ou une division euclidienne polynomiale. On obtient

ϕ(t) = (t + 1)(t ³ − t ² + 3t + 1)

b. Notons ψ(t) = t ³ − t ² + 3t + 1 . La dérivée ψ ⁰ (t) = 3t ² − 2t + 3 est une fonction du second degré dont le discriminant est strictement négatif ( = − 32 ). Elle est à valeurs strictement positives. On en déduit que ψ est strictement croissante.

Comme ψ( − 1) = 4 et ψ(0) = 1 , elle s'annule en un unique réel α ∈ ] − 1, 0[ .

2. L'axe focal de la parabole P est l'axe Ox car il contient le sommet et le foyer. Le sommet d'une parabole est à égale distance du foyer et du point d'intersection de l'axe focal avec la directrice (gure 1). On en déduit que la directrice est la droite d'équation x = − 1 . On en tire l'équation de P qui est

y ² = 4x

3. a. Les coordonnées de M (t) sont (t ² , 2t) . En calculant la vitesse et en utilisant un déterminant, on forme l'équation de la tangente D t .

x − t ² 2t y − 2t 2

= 0 ⇔ x − ty + t ² = 0

b. Le vecteur − → n de coordonnées (1, − t) est normal à D t . Le projeté N (t) de A sur D t est de la forme A + λ − → n . On calcule λ en injectant dans l'équation de D t

l'expression des coordonnées de N (t) . On trouve

λ = − (1 + t) ² 1 + t ²

On en déduit

coordonnées de N (t) : − 2t

1 + t ² , − 2 + t + t ³ 1 + t ²

4. a. On dénit des fonctions u et v par u(t) = x(N (t)) et v(t) = y(N (t)) . Le calcul des dérivées conduit à :

u ⁰ (t) = 2 t ² − 1

(1 + t ² ) ² v ⁰ (t) = t ⁴ + 2t ² + 4t + 1

(1 + t ² ) ² = (t + 1)ψ(t) (1 + t ² ) ² On en déduit le tableau des variations.

−∞ − 1 α 0 1 + ∞

u 0 % 1 & % 0

v −∞ % − 2 & % + ∞

b. Il existe deux branches innies pour t en −∞ ou en + ∞. Dans chaque cas, la droite d'équation x = 0 est asymptote.

En −∞, la courbe est à droite de l'asymptote. En + ∞, la courbe est à gauche de l'asymptote.

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c. Le point A ∈ E car comme il appartient à P , il est son propre projeté orthogonal sur la tangente en A . En fait A = M ( − 1) = N ( − 1) .

Il apparait sur le tableau de variations que A est un point stationnaire car u ⁰ ( − 1) = v ⁰ ( − 1) = 0 . On peut factoriser la vitesse :

−

→ N ⁰ (t) = t + 1 (1 + t ² ) ²









4(t − 1) − →

i + ψ(t) − → j

| {z }

= − → d (t)









Le choix de − →

d (t) comme vecteur directeur de D t montre que la tangente en A admet − →

d ( − 1) comme vecteur directeur. La direction en A est donc − → i + − →

j . 5. a. On se donne trois points arbitraires de coordonnées (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) , (x 3 , y 3 ) et

on considère le système S aux inconnues a , b , c :

S



 

 

x ₁ a + y ₁ b + c = 0 x 2 a + y 2 b + c = 0 x ₃ a + y ₃ b + c = 0

Si les trois points sont alignés, il existe une droite d'équation ax +by +c = 0 (avec (a, b) 6 = (0, 0) ) qui les contient tous les trois. Le système admet donc une solution autre que (0, 0, 0) et le déterminant doit être nul.

Réciproquement, si le déterminant est nul, le système admet une solution (a, b, c) 6 = (0, 0, 0) . En fait (a, b) 6 = (0, 0) car (a, b) = (0, 0) entraine c = 0 . On peut donc considérer la droite d'équation ax + by + c = 0 , elle contient les trois points qui sont donc alignés.

b. Le calcul se fait chaque fois en utilisant L 3 ← L 3 − L 2 puis L 2 ← L 2 − L 1 (ce qui ne change pas le déterminant). On utilise ensuite la multilinéarite.

1 t 1 t ² ₁ 1 t 2 t ² ₂ 1 t 3 t ² ₃

=

1 t 1 t ² ₁ 1 t 2 t ² ₂ 0 t 3 − t 2 t ² ₃ − t ² ₂

=

1 t 1 t ² ₁ 0 t 2 − t 1 t ² ₂ − t ² ₁ 0 t 3 − t 2 t ² ₃ − t ² ₂

= (t 2 − t 1 )(t 3 − t 2 )

1 t ₁ t ² ₁ 0 1 t ₂ + t ₁ 0 1 t ₃ + t ₂

= (t ₂ − t ₁ )(t ₃ − t ₂ )

1 t ₁ t ² ₁ 0 1 t ₂ + t ₁ 0 0 t 3 + t 1

= (t ₂ − t ₁ )(t ₃ − t ₂ )(t ₃ − t ₁ )

1 t 1 t ³ ₁ 1 t 2 t ³ ₂ 1 t 3 t ³ ₃

=

1 t 1 t ³ ₁ 0 t 2 − t 1 t ³ ₂ − t ³ ₁ 0 t 3 − t 2 t ³ ₃ − t ³ ₂

= (t 2 − t 1 )(t 3 − t 2 )

1 t 1 t ³ ₁ 0 1 t ² ₂ + t 1 t 2 + t ² ₁ 0 1 t ² ₃ + t 2 t 3 + t ² ₂

= (t 2 − t 1 )(t 3 − t 2 ) t ² ₃ − t ² ₁ + t 2 (t 3 − t 1 )

= (t ₂ − t ₁ )(t ₃ − t ₂ )(t ₃ − t ₁ )(t ₁ + t ₂ + t ₃ ) c. D'après la question a. on peut caractériser l'alignement par la nullité d'un déter-

minant que l'on transforme par multilinéarité par rapport aux lignes. Finalement : N(t 1 ) , N (t 2 ) , N(t 3 ) sont alignés si et seulement si

− 2t ₁ − 2 + t ₁ + t ³ ₁ 1 + t ² ₁

− 2t ₂ − 2 + t ₂ + t ³ ₂ 1 + t ² ₂

− 2t ₃ − 2 + t ₃ + t ³ ₃ 1 + t ² ₃

= 0

On note respectivement D et ∆ les déterminants calculés en b. On développe ce déterminant par multilinéarité par rapport aux colonnes. On obtient la somme des déterminants

D 1 =

− 2t 1 − 2 1

− 2t 2 − 2 1

− 2t 3 − 2 1

= 0

D 2 =

− 2t 1 − 2 t ² ₁

− 2t 2 − 2 t ² ₂

− 2t 3 − 2 t ² ₃

= − 4D

D 3

− 2t 1 t 1 1 + t ² ₁

− 2t 2 t 2 1 + t ² ₂

− 2t 3 t 3 1 + t ² ₃

= 0

D 4 =

− 2t 1 t ³ ₁ 1

− 2t 2 t ³ ₂ 1

− 2t 3 t ³ ₃ 1

= − 2∆

D 5 =

− 2t 1 t ³ ₁ t ² ₁

− 2t 2 t ³ ₂ t ² ₂

− 2t 3 t ³ ₃ t ² ₃

= 2t 1 t 2 t 3 D

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En simpliant par 2D qui est non nul car les points sont deux à deux distincts on obtient la relation demandée.

6. a. Soit t ∈ R \ {− 1, +1 } xé. Considérons un u 6 = t dans R \ {− 1, +1 }. La droite (N(t), N (u) coupe E en un point N(θ) où dépend de t et u selon la formule de la question précédente. Lorsque u tend vers t , la direction de la droite (N (t), N(u)) tend vers celle de la tangente. La droite ∆ _t recoupe donc E seulement en N (θ) avec

t ² θ − 2t − θ = 2 ⇒ θ = 2 1 + t t ² − 1 = 2

t − 1

On peut remarquer qu'en N(1) , la tangente est verticale et ne recoupe pas la courbe.

b. L'étude des variations des coordonnées montre que la courbe paramétrée N est simple. Un point N (t) est donc son propre tangentiel si et seulement si

t = 1

t − 1 ⇔ t ² − t − 1 = 0 ⇔ t = 1 ± √ 5

En ces points, la courbe traverse sa tangente. Il s'agit de points d'inexions.

c. Notons F (t 1 , t 2 , t 3 ) = t 1 t 2 t 3 − (t 1 + t 2 + t 3 ) − 2 et θ i = _t ²

i

−1 pour i = 1, 2, 3 . Exprimons F (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) : après réduction au même dénominateur, développement et simplication, on obtient

F (θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ ) = − 2F(t ₁ , t ₂ , t ₃ ) (t 1 − 1)(t 2 − 1)(t 3 − 1)

Lorsque N (t 1 ) , N(t 2 ) , N (t 3 ) sont alignés,

F(t 1 , t 2 , t 3 ) = 0 ⇒ F (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) = 0 et les trois tangentiels sont alignés (voir g 2).

Fig. 2: Tangentiels et alignements

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