MAT 301, 2017-2018 Université Grenoble Alpes
Examen du 11 janvier 2018
Durée : 2 heures
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Exercice 1 (Questions de cours)
Soit f : E → E un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie sur le corps K, et P(X) = a0+a1X+· · ·+adXd un polynôme deK[X].
(a) Rappeler la définition de l’endomorphisme P(f). Si Q ∈ K[X] est un autre polynôme, quelle relation y a-t-il entre P(f), Q(f) et (P Q)(f) ?
(b) SiP, Q∈K[X], montrer que KerP(f) et ImP(f) sont stables par Q(f).
(c) Que peut-on en déduire pour ce qui est de la stabilité des sous-espaces propres et des sous-espaces caractéristiques de f (on en rappellera la définition) ?
Exercice 2
Le but de cet exercice est de résoudre dans Zle système de congruences
(∗) x≡a mod 78, x≡b mod 114
oùa, b∈Z sont donnés et où x∈Z est l’inconnue.
(a) Déterminerd= pgcd(78,114), puis des entiers u, v tels que 78u+ 114v =d.
(b) Montrer que (∗) ne peut avoir de solution que si a≡b mod d.
(c) On suppose désormais que a ≡ b mod d et on écrit b = a+kd, x−a = yd où y est la nouvelle inconnue. Montrer que (∗) est équivalent à un système (∗∗) de deux congruences pour y, modulo des entiers premiers entre eux. Montrer que y = 13uk est solution de ce système et résoudre alors complètement le système (∗∗) en fonction de k, puis le système (∗) en fonction de a et b.
Exercice 3
On considère le polynôme P(X) =X4+ 3X2+ 9∈Q[X].
(a) Montrer que P n’a pas de racines réelles et que les racines complexes sont simples.
(b) Montrer qu’il existe deux réelsα, β >0 tels que l’on puisse écrireP(X) = (X2+α)2−βX2. En déduire (explicitement) les décompositions deP en facteurs irréductibles dansR[X] et dans C[X].
(c) P est-il réductible dans Q[X] ?
Exercice 4
Soient a, b, c dans un corps K (on pourra se restreindre si on le souhaite à K = R), et on considère l’endomorphisme f :K3 →K3 de matrice
A=
a+b 2−c c−a−b
a 2 −a
a 2−c c−a
dans la base canonique B0 = (e1, e2, e3), soit e1
1 0 0
, e2
0 1 0
, e3
0 0 1
en vecteurs colonnes.
MAT 301, 2017-2018 Université Grenoble Alpes
(a) Calculer l’image du vecteurw =e1+e2+e3 et en déduire l’existence d’une valeur propre
“évidente” qu’on explicitera – aucun calcul n’étant nécessaire pour cela.
(b) Montrer que le plan P engendré par e2 et w est stable par f. Déterminer la matrice de l’endomorphisme g de P obtenu par restriction de f à P dans la base BP = (e2, w), et montrer que g admet une base (v, w) de vecteurs propres (avecv ∈P), dont on précisera les valeurs propres associées.
(c) Montrer que le plan P0 engendré par w et e1 est également stable par f. Déterminer la matrice de l’endomorphisme h de P0 obtenu par restriction de f à P0 dans la base BP0 = (w, e1). Déterminer le polynôme caractéristique χh et le polynôme minimal µh, et trouver la condition nécessaire et suffisante sur les coefficients a, b, c pour que h soit diagonalisable.
(d) Montrer queB= (v, w, e1) est une base deK3et que la matrice defdansBest triangulaire supérieure.
(e) Montrer qu’un polynôme P ∈ K[X] annule f (i.e. P(f) = 0), si et seulement si c est racine deP etP(h) = 0. En déduire le polynôme minimalµf def en fonction des valeurs dea, b, c et la condition nécessaire et suffisante pour que f soit diagonalisable dans K3.
