Université de Rouen L2 Math/Info Année 2013-2014
Algèbre
Examen du 14 janvier 2013, durée 3h
L’USAGE DE TOUT DISPOSITIF ÉLECTRONIQUE AUTRE QUE LA MONTRE EST INTERDIT. IL EN EST DE MÊME DE TOUT DOCUMENT.
Une rédaction claire et concise sera appréciée. Toute affirmation devra être justifiée.
Exercice 1.
(a) Expliciter l’algorithme d’Euclide pour montrer que les entiers 15 et 191 sont premiers entre eux et trouveruetv tels que 15u+191v=1.
(b) En déduire l’inverse de 15 dansZ/191Z.
On cherche à résoudre le système de congruences suivant
n≡1 mod 3, n≡3 mod 5, n≡30 mod 191.
(1)
Pour cela on cherche une solution particulièremde la forme
m=γ1+3γ2+15γ3 avec 0≤γ1≤2, 0≤γ2≤4 et 0≤γ3≤190. (2) (c) Calculerγ1en utilisant une des équations du système (??).
(d) À l’aide éventuellement de l’algorithme d’Euclide, trouver un couple d’entiers (u1,v1) tel que 3u1+5v1=1. En déduire l’inverse de 3 dansZ/5Zpuis avec une des équations du système (??) calculerγ2.
(e) À l’aide des questions précédentes montrer que 15γ3≡17 mod 191. En déduire, à l’aide de la question (b) la valeur deγ3.
(f ) Calculerm.
(g) Montrer que sinest solution du système (??) si et seulement sin−m≡0 mod 2865. En déduire l’ensemble des solutions de (??).
Exercice 2. Pourn≥3, on considère le groupe (Sn,◦) des permutations de {1, . . . ,n}. Le centre d’un groupe se définit par l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres. NotonsCn le centre deSn :
Cn=©
σ∈Sn;∀τ∈Sn τ◦σ=σ◦τª
(a) Pouri ∈{1, . . . ,n} construireτ élément deSn tel queτ(i)=i et tel que pour tout j 6=i on a τ(j)6=j.
(b) Soiti∈{1, . . . ,n} etσ∈Cn. À l’aide de la question précédente, montrer queσ(i)=i. Conclure queCnest réduit à l’identité.
Exercice 3. Soitσla permutation deS10définie par σ=
µ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 9 6 3 7 1 10 8 2 5
¶
(a) Décomposerσen produit de cycles à supports disjoints.
(b) Décomposerσen produit de transpositions.
1
(c) Calculer la signature deσet son ordre.
(d) Calculerσ2014.
Exercice 4. Soit A={a+bp
7 ;a,b∈Z}.
(a) Montrer que (A,+,×) (où ’+’ et ’×’ sont respectivement l’addition et la multiplication usuelle des réels) est un anneau unitaire commutatif. [ il suffira de montrer que c’est un sous anneau unitaire de (R,+,×).]
SoitG l’ensemble des éléments inversibles de A. On définit l’application N de A dansZparN(a+ bp
7)=a2−7b2.
(b) Montrer que six=a+bp
7 ety=a0+b0p
7 sont deux éléments deAon aN(x y)=N(x)N(y).
(c) Déduire de la question précédente quea+bp
7∈Gsi et seulement siN(a+bp
7)= ±1.
(d) Montrer que si n ∈Z est un entier non nul premier avec 7 alors n2 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
(e) Déduire des deux questions précédentes quea+bp
7∈Gsi et seulement siN(a+bp 7)=1.
(f ) En calculant la quantité 1+7b2 pourb=1, 2, 3, 4 donner un élément non trivial (différent de 1=1+0p
7) deG. On notex0=a0+b0p
7 cet élément (a0∈Zetb0∈Z).
(g) Montrer que {±(a0+b0p
7)n;n∈Z}⊂G.
Exercice 5. Décomposer la fraction rationnelleF en éléments simples dansR[X], où
F=2X4+X3+3X2−6X+1 2X3−X2 .
Exercice 6. Calculer le reste de la division euclidienne deP= −5X10+8X7+5X6+5X4−3X2+2 par (X−2)2. [Indication : calculer le reste ne veut pas nécessairement dire « effectuer la division euclidienne ».
On pourra par exemple écrire queP =Q(X−2)2+R, préciser le degré maximal de R, utiliser les fonctions polynômes pour calculerR(2), puis faire appel aux polynômes dérivés, etc.]
Exercice 7. Montrer, pour tout entiern≥1, quenXn+1−(n+1)Xn+1 est divisible par (X−1)2.
2
