DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Exemples d’´ equations diff´ erentielles d’ordres 3 et 4
1L’ensemble demand´e est ´evidemment :
{x7→λex, λ∈R}
2Si g=f+f0+f00, f est implicitement suppos´ee deux fois d´erivable. Sig0=g alorsg est d´erivable, donc f est trois fois d´erivable etf000=f. R´eciproquement, sif est trois fois d´erivable, alorsgest d´erivable etg0=g (calculs imm´ediats).
3On est ramen´e `a trouver les solutions de
y00+y0+y=g
Or, g3 est une solution particuli`ere ´evidente de cette ´equation, et l’´equation homog`ene associ´ee se r´esout sans souci. L’ensemble recherch´e est :
(
x7→C1ex+ C2cos
√3 2 x
!
+C3sin √3
2 x
!!
e−x2, C1, C2, C3∈R )
4On a envie de poserg=f+f0+f00+f000, mais cela ne suffit pas, puisque si l’´equation que satisfaitgest facile `a r´esoudre, on est bloqu´e pour en d´eduire f. Remarquons que f0+f000 = (f +f00)0, ce qui nous invite
`
a introduire une seconde fonction auxiliaireh=f +f00 (l’introduction de g devient alors superflue, elle nous a seulement aid´e `a trouverh). hsatisfait l’´equation diff´erentielle y00 =y, ´equation dont les solutions sont les combinaisons lin´eaires des fonctionsx7→exet x7→e−x(ou ch et sh, si l’on pr´ef`ere).f est solution dey(4)=y si et seulement si elle est solution dey00+y=h. Une solution particuli`ere est ´evidemment h2, et l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee est bien sˆur engendr´e par les fonctions cosinus et sinus. L’ensemble des solutions dey(4)=yest donc :
x7→C1ex+C2e−x+C3cos(x) +C4sin(x), C1, C2, C3, C4
Remarque :L’ensemble des solutions est unR-espace vectoriel engendr´e par les quatre fonctions ind´ependantes exponentielle, inverse de l’exponentielle, cosinus et sinus. Cet espace est donc de dimension 4 (comme dansy(4)).
Ce n’est bien sˆur pas un hasard, comme vous pouvez vous en convaincre empiriquement en consid´erant les cas des
´equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes `a coefficients constants des premier et second ordres, et l’exemple pr´ec´edenty000=y du troisi`eme ordre.
