Leçon 71 : Fonctions exponentielles Pré requis

Leçon 71 : Fonctions exponentielles

Pré requis : Continuité et dérivabilité des fonctions + théorème de la bijection réciproque Fonction logarithme népérien ainsi que ses propriétés et

Logarithme en base a (a>0 et a≠1) Puissance rationnelle

I)Définition de la fonction exponentielle de base

Définition 1 : On appelle l’unique réel (strictement positif) tel que .

Théorème-Définition 2 : On appelle fonction exponentielle de base et notée la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.

Ainsi

Par définition, la fonction exponentielle est une bijection continue et dérivable sur ℝ et de plus, elle vérifie :

(ii) (iii)

En particulier à partir de et on obtient et .

2-Propriétés fondamentales Propriété 1 :

Démonstration : Soit alors il existe tel que

Alors ∎

Propriété 2 : i) ii) iii)

Démonstration : ii)

i) Appliquons ii) pour a=0

iii) .∎

3-Changement de base

On remarque que .

Or la fonction est définie pour tout donc il est légitime d’utiliser la notation .

Les formules démontrées s’écrivent alors : .

II) Etude de la fonction exponenetielle

Propriété 3: La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et

Remarque : On sait déjà que la fonction exponentielle est dérivable par le théorème de la bijection réciproque mais celui-ci ne nous donne pas la dérivée cherchée.

0

1

Démonstration : Montrer que exp est dérivable sur ℝ revient à montrer qu’elle est dérivable en tout point de ℝ. Soit . La fonction exponentielle est dérivable en ssi il existe tel que

.

Observons d’abord que donc .

Il suffit donc de calculer .

Pour cela, on introduit la fonction définie par . Ainsi la fonction est définie sur ℝ car .

Or on sait que . De plus, d’où d’après la

composition des limites, on obtient : .

On a ainsi obtenu et par conséquent d’où

Remarque : La fonction exponentielle est sur ℝ et

Corollaire 1: Si est une fonction dérivable sur alors est dérivable sur et on a .

2-Limites

Propriété 4: i) et (donc l’axe des abscisses est asymptote à en )

ii)

iii) iv)

Démonstration :i) On veut montrer que

Soit M>0 et N∈ℝ tel que donc si alors par stricte

croissance de la fonction exponentielle.

Donc et

ii) or donc

iii) or donc

iv) d’où .

3- Tableau de variation et représentation graphique

Le théorème des fonctions réciproques (ou sa dérivée) nous permet d’affirmer que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.

- 0 1 +∞ +

Graphe : Puisque la fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien, alors sa représentation graphique se déduit de celle de ln par symétrie par rapport à la première bissectrice.

III) Fonctions exponentielles de base a (a>0)

Définition 3 : On appelle fonction exponentielle de base a>0 la fonction définie de dans . Proposition : *Si a≠1 (a>0) la fonction exponentielle de base a est la fonction réciproque de la fonction logarithme

de base a.

*Si a=1, on obtient la fonction constante . 2-Notation

On a . Or, comme la fonction , la fonction est définie sur ℝ donc on

utilisera la notation pour tout . 3- Propriétés

Propriété : i)

ii) iii) Démonstration : i)

ii)

iii)

4- Dérivabilité

Proposition : est dérivable sur ℝ et .

5-Représentation graphique

*Si a>1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur ℝ et ,

et .

*Si 0<a<1, la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur ℝ et ,

et .

Démonstration : Si a>1, donc donc est strictement croissante.

Si 0<a<1, donc donc est strictement décroissante.

Les limites se déduisent de celles de la fonction ∎