Etude de fonctions exponentielles

Etude de fonctions exponentielles

Rappel

Pour étudier une fonction « qui contient l’exponentielle », on procède aux mêmes démarches que pour les fonctions classiques :

• étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition ;

• dérivation ;

• étude du signe de la dérivée ;

• tableau de variation complété.

Les spécificités de la fonction exponentielle f( x) = e

sont celles vues en cours :

• f est définie sur R

• e

= e

e

; e

= e

e

; e

= 1

e

; ( ) e

= e

.

• ┐ x ☻ R , e

> 0 (ne s’annule pas ET est toujours positive)

• f ′ ( x) = e

• f est strictement croissante et continue sur R

• e

= 1 et e

= e % 2,718

• lim

x−>-õ

e

= 0 et lim

x−>+

e

= + õ

• lim

x−>-õ

x

e

= 0 et lim

x−>+õ

e^x

xⁿ

= + õ pour tout entier n à 1 (croissance comparée)

• si f (x ) = e

où u est une fonction dérivable, alors f ′ ( x) = u ′ (x )e

.

Exercices

1) Etudier la fonction définie sur R par f (x ) = e

− 1 e

+ 1 . 2) Etudier la fonction définie sur R par f (x ) = x

e

3) Etudier la fonction définie sur R par f (x ) = e

4) Etudier la fonction définie sur R par f (x ) = x + 3 − e

5) Etudier la fonction définie sur R par f (x ) = 1 + e

Corrections 1) lim

x−>-õ

e

= 0 donc par quotient, lim

x−>-õ

f (x) = - 1.

En + õ c’est indéterminé mais en divisant par e

en haut et en bas, f (x) = 1 −

e^x

1 +

avec lim

x−>+

e

= + õ donc lim

x−>+õ

1

e^x

= 0 et ainsi lim

x−>+

f(x

) = 1.

f ′ ( x) = u ′ v − u v ′

v

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

> 0 sur R .

Donc :

x - õ + õ f ′ (x) +

f(x )

1

- 1

2) lim

x−>-õ

f(x ) = 0 par croissance comparée.

lim

x−>+

x

= + õ et lim

x−>+

e

= + õ donc par produit lim

x−>+

f(

x) = + õ . f = uv avec u = x

et donc u ′ = 2x et v = e

et donc v ′ = e

.

Donc f ′ (x ) = u ′ v + uv ′ = 2 xe

+ x

e

= ( ^{2x + x}

) ^e

est du signe de 2 x + x

car pour tout réel x, e

> 0.

Mais le trinôme 2 x + x

a pour racines 0 et - 2 donc : D’où le tableau suivant :

x - õ - 2 0 + õ f ′ (x ) + 0 - 0 +

f(x )

4e

+ õ

0 0 Avec f ( - 2) = ( - 2)

e

= 4e

et f (0) = 0

e

= 0 × 1 = 0.

3) lim

x−>-õ

x

− 2x = lim

x−>-õ

x

= + õ et lim

->+õ

e

= + õ donc par composition, lim

x− > -

f

(x) = + õ . lim

x−>+

x

− 2x = lim

x−>+

x

= + õ et lim

x−>+

e

= + õ donc par composition, lim

x−>+

f

(x) = + õ .

f( x) = e

donc f ′ (x ) = u ′ (x )e

= (2 x − 2)e

est du signe de 2 x − 2 car e

> 0 sur R . Donc :

x - õ 1 + õ f ′ ( x) - 0 +

f( x)

+ õ + õ

1 e Avec f (1) = e

= e

= 1

e .

4) lim

x−>-õ

x + 3 = - õ et lim

x−>-õ

e

= 0 donc par somme, lim

x−>-õ

f( x) = - õ . En + õ c’est indéterminé. Mais f( x) = x

 

  1 +

x

−

x

avec lim

x−>+õ

3

x

= 0, lim

x−>+õ

e^x

x

= + õ par croissance comparée, donc lim

x−>+

 

  1 +

x

−

x

= - õ or lim

x−>+

x =

+ õ donc par produit, lim

x−>+

f

(x) = - õ . f ′ ( x) = 1 − e

.

Pour le signe de f ′ ( x) on étudie l’inéquation 1 − e

à 0 ñ 1 à e

ñ 0 Ã x et ainsi :

x - õ 0 + õ f ′ ( x) + 0 -

f( x)

2

- õ - õ

Avec f (0) = 0 + 3 − e

= 3 − 1 = 2.

5) lim

x−>-õ

( - x ) = + õ et lim

x−>+

e

= + õ donc par composition lim

x−>-õ

e

= + õ puis par somme lim

x−>+

1

+ e

= + õ mais lim

x−>+õ

x = + õ donc par composition lim

x−>-õ

f(x ) = + õ . lim

x−>+

(

- x ) = - õ et lim

x−>-õ

e

= 0 donc par composition, lim

x−>-õ

e

= 0 puis par somme lim

x−>+

1

+ e

= 1 mais lim

x−>1

x = 1 = 1 donc par composition, lim

x−>+

f(

x) = 1.

f( x) = u (x ) donc f ′ ( x) = u ′ ( x)

u (x ) avec u (x ) = 1 + e

mais e

= e

où v(x ) = - x donc a pour dérivée v ′ (x )e

= ( - 1)e

= - e

.

Ainsi f ′ (x ) = - e

1 + e

< 0 sur R car e

> 0 et 1 + e

> 0 sur R . Donc :

x - õ + õ f ′ (x) -

f(x ) + õ

1