Etude de fonctions logarithmiques
A6
Rappel
Pour étudier une fonction « qui contient un logarithme », on procède aux mêmes démarches que pour les fonctions classiques :
• étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition ;
• dérivation ;
• étude du signe de la dérivée ;
• tableau de variation complété.
Les spécificités de la fonction logarithme népérien ln sont celles vues en cours :
• ln est définie sur R
• ln
( )
ex = x ; elnx = x ; y = lnx ñ x = ey• ln(xy) = lnx+lny ; ln
1
x = -lnx ; ln
x
y = lnx−lny ; ln
(
x)
= 12lnx ; ln
( )
xn = nlnx• ln′(x) = 1 x
• ln est strictement croissante et continue sur ]0 ; +õ[
• ln1 = 0 et lne = 1
• signe :
x 1 1 +õ ln x - 0 +
• lim
x−>0 x<0
lnx = -õ et lim
x−>+lnõ x = +õ
• lim
x−>0 x>0
xnlnx = 0 et lim
x−>+õ
lnx
xn = 0 pour tout entier n à 1 (croissance comparée)
• si f(x) = lnu(x) où u est une fonction dérivable et strictement positive, alors f′(x) = u′(x) u(x).
Exercices
1) Etudier la fonction définie sur ]0 ; +õ[ par f(x) = x−lnx.
2) Etudier la fonction définie sur R par f(x) = ln
(
ex+1 .)
3) Etudier la fonction définie sur ]-1 ; 0[ ∟ ]0 ; +õ[ par f(x) = ln
x2 x+1 4) Etudier la fonction définie sur ]0 ; +õ[ par f(x) = lnx
x2
5) Etudier la fonction définie sur ]0 ; +õ[ par f(x) = (lnx+1)2.
Corrections 1) lim
x−>0 x>0
lnx = -õ donc lim
x−>0 x>0
f(x) = +õ. C’est indéterminé en +õ mais f(x) = x
1−lnx
x or lim
x− > +õ
lnx
x = 0 par croissance comparée, donc lim
x−>+õ
1−lnx
x = 1 et ainsi lim
x−>+f(õx) = +õ.
f′(x) = 1−1
x = x−1
x est du signe de x−1 car sur ]0 ; +õ[ on a x > 0 donc : x 0 1 +õ f′(x) - 0 +
f(x)
+õ +õ 1
Avec f(1) = 1−ln1 = 1−0 = 1.
2) lim
x−>-õex = 0 donc lim
x−>-õex+1 = 1 or lim
x−>1 lnx = ln1 = 0 donc par composition lim
x−>-õf(x) = 0.
lim
x−>+eõx = +õ donc lim
x−>+eõx+1 = +õ or lim
x−>+lnõ x = +õ donc par composition lim
x−>+fõ(x) = +õ. f = lnu donc f′(x) = u′(x)
u(x) = ex
ex+1 > 0 sur R. D’où le tableau suivant :
x -õ +õ f′(x) +
f(x)
+õ 0
3) lim
x−>-1 x>-1
x2
x+1 = +õ or lim
x−>+lnxõ = +õ donc par composition lim
x−>-1 x>-1
f(x) = +õ. lim
x−>0
x2
x+1 = 0 et lim
x−>0 x>0
lnx = -õ donc par composition lim
x−>0 f(x) = -õ (des deux côtés de 0).
lim
x−>+õ
x2
x+1 = lim
x−>+õ
x2
x = lim
x−>+x = õ +õ or lim
x−>+lnõ x = +õ donc par composition lim
x−>+fõ(x) = +õ. f = lnu donc f′(x) = u′(x)
u(x) avec u(x) = v
w donc u′(x) = v′w−vw′
v2 = 2x×(x+1)−x2×1
(x+1)2 = x2+2x (x+1)2 Donc f′(x) =
x2+2x (x+1)2
x2 x+1
= x2+2x (x+1)2
×x+1
x2 = x2+2x
x2(x+1) est du signe de x2+2x car sur ]-1 ; 0[ ∟ ]0 ; +õ[ on a x2 > 0 et (x+1)2 > 0.
Or x2+2x est un trinôme de racines -2 et 0 donc :
x -1 0 +õ f′(x) - +
f(x) +õ
-õ
+õ -õ
4) f = u
v avec u = lnx donc u′ = 1
x et v = x2 donc v′ = 2x. Donc f′(x) = u′v−u v′
v2 = 1
x×x2−lnx×2x
( )
x2 2 =x−2xlnx
x4 = x(1−2lnx)
x3 = 1−2lnx x3 . Pour tout réel x > 0 on a x3 > 0 donc f′(x) est du signe de 1−2lnx.
Pour le déterminer, posons l’inéquation 1−2lnx à 0 ñ 2lnx  1 ñ lnx  1
2 ñ x Âe
1
2 = e. D’où le tableau suivant :
x 0 e +õ f′(x) + 0 -
f(x)
1 2e
-õ 0
Avec f( e) = ln
(
e) (
e)
2 =1 2 e = 1
2e .
5) lim
x−>0 x>0
lnx = -õ donc lim
x−>0 x>0
lnx+1 = -õ or lim
x−>-õx2 = +õ donc par composition lim
x−>0 x>0
f(x) = +õ. lim
x−>+lnxõ = +õ donc lim
x−>+lnxõ +1 = +õ or lim
x−>+xõ2 = +õ donc par composition lim
x−>+f(õx) = +õ. f(x) = u2 avec u = lnx+1 donc f′(x) = 2uu′ = 2(lnx+1)×1
x = 2lnx+2
x est du signe de 2lnx+2 car sur ]0 ; +õ[ on a x > 0.
Pour le signe de 2lnx+2 on étudie l’inéquation 2lnx+2 à 0 ñ 2lnx Ã-2 ñ lnx Ã-1 ñ x à e-1 = 1
e et ainsi :
x 0 1
e +õ f′(x) - 0 +
f(x)
+õ +õ 0
Avec f(1
e ) = f(e-1) =
