ECE1-B 2015-2016
Feuille d’exercices n°1 :
Logique et raisonnements mathématiques
Opérateur d’implication
Exercice 1. (☆)
1) A-t-on(1 = 2)⇒(1 = 1)? 2) A-t-on(1 = 2)⇒(ln 1 = 1)?
3) A-t-on, pour x réel,(x >1)⇒(x>2)?
4) A-t-on, pour x réel,(x2−3x+ 2 = 0)⇒(x>0)?
5) Que peut-on dire des réciproques des propositions précédentes ?
Exercice 2. (☀)
On considère la proposition « s’il pleut, mon jardin est mouillé ».
Quelle est sa négation ?
a. « s’il ne pleut pas, mon jardin n’est pas mouillé » b. « s’il ne pleut pas, mon jardin est mouillé » c. « s’il pleut, mon jardin n’est pas mouillé »
d. « si mon jardin n’est pas mouillé, il ne pleut pas » e. « il pleut et mon jardin n’est pas mouillé »
f. autre réponse.
Exercice 3. (☀)
Traduire les propositions suivantes (exprimées en français) à l’aide de sym- boles mathématiques.
1) Pour que psoit vraie, il faut que q soit vraie.
2) Pour que psoit vraie, il suffit que q soit vraie.
3) La propositionq est une condition suffisante de la propositionp.
4) Pour qu’un réelx soit positif, il suffit qu’il ne soit pas négatif.
Opérateur d’équivalence Exercice 4. (☆)
Soitx un réel. A-t-on (x2= 9)⇔(x= 3)?
(en français : pour que x2 = 9 il faut et il suffit que x= 3)
Exercice 5. (☀)
Démontrer que (p⇒q)⇔(NON(q)⇒NON(p)).
Exercice 6. (☀)
Soientp etq deux propositions. Montrer que : 1) NON(pETq)⇔(NON(p)OU NON(q))
2) NON(pOUq)⇔(NON(p)ET NON(q)) 3) NON(NON(p))⇔p
4) [(p⇒q)ET(q ⇒r)]⇒(p⇒r)
Exercice 7. (☀)
Soientp etq deux propositions. Exprimer la proposition(p⇔q) en n’utili- sant que les connecteurs logiquesET,OU etNON.
Utilisation de quantificateurs Exercice 8. (☀)
Établir la négation de : ∀x∈R,∀y∈R, x6y⇒f(x)6f(y)
(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1
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Exercice 9. (☀) Vrai ou faux ?
Justifier les assertions suivantes quand elles sont justes et donner un contre- exemple quand elles sont fausses.
a. ∀x∈R, x2>x
b. ∀x∈R,∃y∈R, x=y2
Exercice 10. (☀) Vrai ou faux ?
Parmi les propositions ci-dessous, exhiber un élément qui permet de satisfaire celles qui sont justes.
a. ∃x∈R, x2= 3
b. ∃x∈R,∀n∈N, x6n c. ∃p∈Z,∀n∈Z, p6n
d. ∃x∈R,∀y∈R,∃z∈R, ey =xz2
Exercice 11. (☀☀)
Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes définies surN. 1) Tout entier est le carré d’un entier.
2) Tout entier a pour carré la somme des carrés de deux entiers.
3) Certains entiers ont pour carré la somme des carrés de deux entiers.
4) Aucun entier n’est plus grand que tous les autres.
5) L’entiern est impair.
Exprimer la négation de ces propositions.
Exercice 12. (☀☀)
Soit f une fonction de R dans R. Que signifient les deux propositions sui- vantes ?
1) (∀x∈R),(∃M ∈R+), f(x)6M 2) (∃M ∈R+),(∀x∈R), f(x)6M
Exercice 13. (☀☀)
Écrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes.
a. La fonction f :R→Radmet un maximum.
b. L’équationf(x) = 0 a exactement une solution dans R. c. L’équationf(x) = 0 n’a pas de solution.
d. La fonction f est constante.
e. Tout réel a un antécédent par f.
f. La fonction f ne prend pas deux fois la même valeur.
g. La fonction f est strictement croissante.
Méthodes de démonstration Exercice 14. (☆)
Démontrer que la proposition suivante est fausse.
∀x∈]− ∞,1[, 23x.(ln(1−x) + 1).(3x3+xex−4)>0
Exercice 15. (☀☀)
Pourx élément de R, montrer que :((∀ε>0), x6ε)⇒x60.
On procédera par contraposée.
Exercice 16. (☀☀)
Pourx élément de R, montrer que :((∀ε>0), x6ε)⇒x60.
On procédera par l’absurde.
Exercice 17. (☀☀)
Soitn∈N. Montrer par l’absurde que sin2 est pair alors nest pair.
Faire de nouveau la démonstration en procédant par contraposée.
Exercice 18. (☀☀)
Soitn∈N∗. Démontrer que n2−nest pair.
(☆): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2
