Chapitre 10 Exercices_Enonces

6. ´ Enonc ´ es des exercices

Exercice 10.1 D ´eterminer l’ensemble de d ´efinition des fonctions ci-dessous : 1. f(x) = ln(2x−1) + ln(−x+ 5)

2. g(x) = ln((2x−1)(−x+ 5)) 3. h(x) = ln(1 +x²)

4. i(x) = ln(1 +e^2x)

Exercice 10.2 Exprimer en fonction deln 2les r ´eels suivants :ln 8; ln(¹₄); ln(16e); ln√

2; ln(⁶⁴_e2) Exercice 10.3 Simplifier les expressions suivantes :

ln((√

2 + 1)(√

2−1)); ln(√

7−2) + ln(√

7 + 2); ln(p√

11−3) + ln(p√

11 + 3) Exercice 10.4 Calculer la d ´eriv ´ee des fonctions suivantes :

f(x) = ln(4x+ 1), x∈]−¹4; +∞[ g(x) = ln(1−x²), x∈]−1; 1[

Exercice 10.5 Pour chacune des fonctions suivantes, pr ´eciser l’ensemble de d ´efinition, de d ´erivabilit ´e, et calculer la d ´eriv ´ee.

1. f(x) = (lnx)² 2. g(x) = ln(lnx) 3. h(x) = ln_x

+1 x−1

Exercice 10.6 D ´eterminer les limites de chacune des fonctions suivantes aux bornes de leurs ensembles de d ´efinitions respectifs, et indiquer les ´eventuelles asymptotes.

1. x7→x−lnx 2. x7→xln(√

x) 3. x7→x−ln(x²) 4. x7→ ^ln(2x2+1^x)

Exercice 10.7 Calculer les limites suivantes : 1. lim

x→+∞ x−1

x lnx 2. lim

x→0 x−1

x lnx 3. lim

x→0 ln(1+x) ln(1+2x)

4. lim

x→+∞ ln(1+x) ln(1+2x)

Exercice 10.8 R ´esoudre les ´equations suivantes : 1. ln(x−2) = 11

2. ln(3−2x) =−11 3. ln(4x+ 1) = 0 4. ln 7−¹₂x

= 1

Exercice 10.9 R ´esoudre les ´equations suivantes : 1. ln_x

+1 2x+1

= ln ¹₃

2. ln(3x−1)−ln(x+ 2) =−ln(2)

Exercice 10.10 R ´esoudre les in ´equations suivantes : 1. ln(x)>ln 4−ln(x+ 1)

2. ln(1 +e^x) + ln(1−e^x)> ¹₂

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M ´ethode Dans les deux exercices suivants, nous allons int ´egrer des fractions rationnelles (”quotients de polyn ˆomes”) en utilisant uned ´ecomposition en ´el ´ements simples : il s’agit d’ ´ecrire la fraction rationnelle sous la forme d’une somme de fractions plus faciles `a int ´egrer.

Un exemple de cette m ´ethode est donn ´e dans l’exercice r ´esolu 3 p.188.

Exercice 10.11 Soitf la fonction d ´efinie sur]3; +∞[parf(x) = ⁵_x−3^x−2.

1. D ´eterminer deux r ´eelsaetbtels que pour toutx∈]3; +∞[,f(x) =a+_x−3^b 2. En d ´eduire toutes les primitives def sur]3; +∞[

Exercice 10.12 Soitf(x) = ⁵_(x−1)(^x2+21x^x+3)⁺²²², x∈]1; +∞[.

1. Montrer qu’il existe trois r ´eelsa,betctels que :∀x∈]1; +∞[,f(x) =x−^a1+x+3^b −₍x+3)^{c 2}

2. En d ´eduire la primitive def sur]1; +∞[qui s’annule en2.

Probl ` eme de Bac

Soit (vⁿ) la suite d´efinie par

v1= ln(2) et, pour tout entier naturel nnon nul, vⁿ+1= ln 2−e^−vn . On admet que cette suite est d´efinie pour tout entier naturelnnon nul.

On d´efinit ensuite la suite (Sⁿ) pour tout entier naturelnnon nul par : Sⁿ=

n

X

k=1

v^k =v1+v2+· · ·+vⁿ. Le but de cet exercice est de d´eterminer la limite de (Sⁿ).

Partie A – Conjectures `a l’aide d’un algorithme

1. Recopier et compl´eter l’algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur deSⁿ pour une valeur den choisie par l’utilisateur :

2. `A l’aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs deS<sup>n</sup>. Les valeurs arrondies au dixi`eme sont donn´ees dans le tableau ci-dessous :

En expliquant votre d´emarche, ´emettre une conjecture quant au comportement de la suite (Sn).

Partie B – ´Etude d’une suite auxiliaire

Pour tout entier naturelnnon nul, on d´efinit la suite (uⁿ) paruⁿ= e^vn.

1. V´erifier queu1= 2 et que, pour tout entier naturelnnon nul,un+1 = 2− 1 un

. 2. Calculeru2, u3 etu4. Les r´esultats seront donn´es sous forme fractionnaire.

3. D´emontrer que, pour tout entier naturel nnon nul,un=n+ 1 n . 115

Partie C – ´Etude de (Sn)

1. Pour tout entier naturel nnon nul, exprimervn en fonction deun, puisvn en fonction den.

2. V´erifier queS3= ln(4).

3. Pour tout entier naturel nnon nul, exprimerSn en fonction den. En d´eduire la limite de la suite (Sⁿ).

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