Exercices sur les fractions rationnelles

Exercices sur les fractions rationnelles

1 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

    ^{ }

4

2 4 2

F X X

X X

   .

2 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle ^{F X}

 

₄¹

X X

  . 3 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

  

¹



²



^{2 1}



²

F X X

X X



 

.

4 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

  

²



²



16 32

2 3 3 2

F X X

X X X X

 

   

.

5 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) des fractions rationnelles suivantes :

 

3

2 2

F X X

X X

   ;

   



²



²



4 2

2 1

G X X

X X X

 

   ;

 

  

2

2 2

30

2 1

H X X

X X X

    ;

   



²



²



²

4 2

2 1

K X X

X X X

 

  

.

6 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

    

2

2 4

2 1

1 1

X X

F X X X

 

   .

Simplifier d’abord puis donner la décomposition en éléments simples formelle de la fraction.

Calculer enfin les coefficients.

7 Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

 

₄¹

F X 1

 X

 . 8 1°) Déterminer la décomposition en éléments simples dans (X) de la fraction rationnelle

 

²

 

2 1 F X X

X X

 

 .

2°) En déduire les primitives de la fonction f : x 

 

2

2 1 x x x



 . 9 On considère la fonction f : x  ³₂ 3 ² 8

2 2 4

x x x x

 

  et on note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.

Déterminer l’(les) asymptote(s) en +  et en –  de C.

10 Soit P un polynôme à coefficients complexes admettant n racines simples z₁, z₂ …, z_n dans  (n est un entier naturel supérieur ou égal à 2).

1°) Décomposer en éléments simples 1

P dans (X).

2°) En considérant la partie entière de X

P, démontrer que ₁ 

 

1 0

'

n

i P zi





 ^.

11 Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction rationnelle

 

1

1 ⁿ

F n

X X





(n *).

12 Décomposer en éléments simples dans (X) la fraction rationnelle

3

1 F 1

X

 . Faire la vérification.

13 Soit x₁, x₁, …, x_n n réels deux à deux distincts. On pose

 

1 n

i i

H X x







 ^. Démontrer que

  

 

   

2 3

2 1

1 1 ''

' '

n

i

i i i i

i

H x

H _ H x X x H x X x

 

 

 

   

 



^.

14 Soit P un polynôme non constant à coefficients réels scindé à racines simples.

1°) Décomposer en éléments simples P' P.

2°) Démontrer que pour tout réel x, on a : ^P''

   

^{x P x} _{ }^{P x'}

 

^_^2.

Questions de cours

1 Soit F une fraction rationnelle dont les polynômes du numérateur et du dénominateur sont de même degré.

Que vaut la partie entière de F ?

2 Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle.

3 Soit F une fraction rationnelle.

Compléter la phrase :

« Si les polynômes du numérateur et du dénominateur sont de même degré, alors la partie entière de F est égale à … »

3 Définition de la partie entière d’une fraction rationnelle.

4 Définition du corps des fractions d’un anneau.

Cas particulier de K[X] où K est un corps commutatif.

5 Existence et unicité de la décomposition d’une fraction rationnelle de (X) par sa partie polaire et sa partie polynomiale.

Corrigés

1

 

  ^{ }

4

2 4 2

F X X

X X

  

   

²

1 4 1

2 2 2 2

F X X

X X X

    

  

2 ^{F X}

 

₄¹

X X

 

    

²



1 1 2 1

3 1 3 1

F X X

X X X X

    

  

Détail de la démarche :

 

  

²



1

1 1

F X

X X X X



  

 

₂

1 1

A B CX D

F X X X X X

   

  



¹ ₁



^{A B}₁



^{X2 X 1}



^{CX D}

X X X X

 

      

   

On remplace X par j eⁱ³



 puis on fait une identification. C’est un peu « limite » mais c’est juste quand même.

On trouve ainsi les valeurs de C et D.

Finalement, on obtient :

  

²

 ^{ }

2 1 1 1

3 1

3 1

F X X

X X

X X

   

   3

 



¹



²



^{2 1}



²

F X X

X X



 

   

²

  

²



²



²



1 1 1

4 1 4 1

4 1 2 1

F X X

X X

X X

    

 

 

(prendre X = i ou X = – i, puis X = 0) 4

 



²



²



16 32

2 3 3 2

F X X

X X X X

 

   

   

²

4 1 1

1 3

1 F X

X X

X

  

 



5

 

₂ ³

2 F X X

X X

   ;

   



²



²



4 2

2 1

G X X

X X X

 

   ;

 

  

2

2 2

30

2 1

H X X

X X X

    ;

   



²



²



²

4 2

2 1

K X X

X X X

 

  

.

Réponses :

     

8 1

1 3 2 3 1

F X X

X X

   

  ;

 

 

²

2 1 1

1 1

1

G X  X X X

 



;

 

₂

2 1 1

A B CX D

H X X X X

   

  

C et D sont des réels. On les trouve en faisant :



^X21



^{H X}

^{ }

^



^X21



^_X^A₂^_X^B₁^^CXD Puis on fait : X = i.

 

^{8 5 3} ₂ ⁹

2 1 1

H X X

X X X

    

   ; on doit d’abord rendre K(X) irréductible :

    

²



^{2 2}



²



²

4 1 1 1

1 1 2

1 1 1

X X

K X X X X X X

 

   

 

  

6

 

  

2

2 4

2 1

1 1

X X

F X

X X

 

  

  

²



²

^{ }

1

1 1

F X X

X X

 

 

 

^{2 1}



^{2 1}



^{2 1}

AX B A' X B' C

F X X X X

 

  

  

On trouve : 1 C2. On fait Xi.

  

^{2 1}



²

  

^{2 1}

 

^{2 1}



²

1

F X X AX B X A' X B' C X

      X 



  

²

 

²



²

1 1 1

1 1

X C

AX B X A' X B' X

X X

       

 

i 1 i i

i 1 A' B'

   



On multiplie par X on fait la limite en + .

    

²



^{2 2}

1 1 1

2 1 1 2 1

X X

F X X X X

   

  

7

 

₄¹

F X 1

X



      

²



1 1 1

4 1 4 1 2 1

F X  X  X  X

  

8 1 2₂ 1

F 1

X X X

   

 ln x 2 ln x 1

 x 

9 Méthode de division euclidienne. On divise le polynôme X³3X²8 par le polynôme 2X²2X4. La courbe C admet la droite  d’équation 1

2 1

y x pour asymptote oblique en + et en – .

10 1°) ^{1 2}

1 2

1 ... ⁿ

P X z X z X zn



 

   

   avec ¹ 

 

1

1 '

 P z … 

 

1

n ' P zn

  .

2°) partie entière de X

P =    _{1 2} ... _n (somme des résidus) 11 Utilise des décompositions suivants les puissances croissantes.

12 On commence par décomposer dans .

1 2

a b c

FX X jX j

  

Pour le calcul des résidus, on utilise les dérivées.

1

a3 ; 1₂

3 3

b j

 j  ;

2 2

1 3 c j

j X j

 



     

2

2 2

1 1 1 2

3 1 3 3 1 3 1

j j X

F X X j X j X X X

  

     

       

13 Taylor

 

²

   

²

    

2 _i ' _i ' _i '' _i ...

H  Xx H x H x H x Xx  

14 1°) On pose P 



Xz1



Xz2

 

... Xz_n



.



2

 

... _n

 

1



3

 

... _n

 

1



2

 

... _n1



P  Xz Xz  Xz Xz Xz  Xz Xz Xz_ 

1 2

' 1 1 1

...

n

P

PX z X z  X z

  